2021数学（理）统考版二轮复习学案：板块1 命题区间精讲 精讲15 椭圆、双曲线含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学（理）统考版二轮复习学案：板块1命题区间精讲精讲15椭圆、双曲线含解析椭圆、双曲线命题点1椭圆、双曲线的定义与标准方程利用定义求解圆锥曲线的标准方程要做到“两要素、一结合"（1)两个要素：一是等式，二是条件．①椭圆：｜PF1|＋｜PF2|＝2a(2a〉｜F1②双曲线：｜|PF1|－|PF2|｜＝2a（2a〈|F1(2）一结合:数形结合，即把题设中的几何等量关系代数化，同时要分析几何图形所隐含的等量关系．［高考题型全通关]1．[教材改编]方程eq\f(x2,4＋m)＋eq\f（y2，2－m)＝1表示椭圆的必要不充分条件是（）A．m∈(－1，2）B．m∈（－4，2）C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)D．m∈(－1，＋∞)B［方程eq\f(x2,4＋m)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示椭圆的充要条件是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4＋m＞0，，2－m＞0，，4＋m≠2－m，))即m∈(－4，－1）∪(－1,2)．而当m＝－1时,方程表示圆，不是椭圆．由题意可得，所求的m的范围真包含集合（－4，－1)∪(－1,2)，结合所给的选项，故选B．］2．(2020·东莞市模拟）已知F1、F2分别为椭圆C:eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b〉0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点,若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为（)A．eq\f(x2,4）＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f（x2,9）＋eq\f(y2，6)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f（y2，4)＝1 D．eq\f(x2,16）＋eq\f（y2,9）＝1B[因为△AF2B是边长为4的等边三角形，所以∠AF2F1＝30°，2a＝｜AF1｜＋｜AF2c＝｜F1F2｜＝eq\r(3)|AF1｜＝2eq\r（3），所以b2＝a2－c2＝9－3＝6,所以椭圆的方程为eq\f(x2,9）＋eq\f（y2，6）＝1，故选B．］3．（2020·濮阳一模)已知P为圆C：(x－5）2＋y2＝36上任意一点，A（－5，0）,若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为(）A．eq\f(x2,9）＋eq\f（y2，16）＝1 B．eq\f（x2,9）－eq\f(y2，16)＝1C．eq\f（x2，9)＋eq\f(y2,16）＝1(x<0） D．eq\f(x2，9）－eq\f（y2，16)＝1（x>0)B[由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴｜AQ|＝|PQ|。又∵｜|QA|－|QC｜｜＝|PC|＝6＜｜AC｜＝10，满足双曲线定义且a＝3，c＝5，∴b＝4,∴轨迹方程:eq\f(x2,9)－eq\f（y2，16)＝1.故选B．]4．(2020·桂林联考)已知双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a>0,b>0）的一条渐近线方程y＝2x，且点P为双曲线右支上一点，且F1，F2为双曲线左右焦点，△F1F2P的面积为4eq\r(3)，且∠F1PF2＝60°，则双曲线的实轴的长为(）A．1B．2C．4D．4eq\r(3）B[双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a)x，由一条渐近线方程为y＝2x，可得b＝2a,由双曲线定义有｜PF1｜－｜PF2|＝2a两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2｜PF1|·｜PF2｜＝4a2 由余弦定理，有|F1F2|2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2|PF1｜·|PF2即为|PF1｜2＋|PF2｜2－|PF1|·|PF2｜＝4c2 由①②可得|PF1｜·|PF2｜＝4c2－4a2＝4b△F1F2P的面积为4eq\r(3）,可得eq\f(1,2)|PF1|·｜PF2｜sin60°＝eq\f(1,2）·4b2·eq\f(\r（3），2)＝eq\r(3）b2＝4eq\r(3),解得b＝2，a＝1，所以实轴长2a5．椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2,eq\r（3））是椭圆上一点，且|PF1|，｜F1F2|,|PF2｜成等差数列，则椭圆方程为________．eq\f（x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1[∵椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵P(2，eq\r(3)）是椭圆上一点，且｜PF1|，｜F1F2｜，|PF2|成等差数列，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(4，a2）＋\f(3,b2)＝1,，2a＝4c,））且a2＝b2＋c2，解得a＝2eq\r（2)，b＝eq\r(6)，c＝eq\r(2），∴椭圆方程为eq\f(x2，8）＋eq\f(y2,6）＝1.］6．（2020·重庆期末）已知动圆E与圆A：（x＋4）2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4）2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________．eq\f（x2，2）－eq\f(y2，14)＝1(x≥eq\r（2))[由圆A：(x＋4）2＋y2＝2，可得圆心A(－4，0），半径r1＝eq\r(2）;由圆B：(x－4）2＋y2＝2可得圆心B(4，0），半径r2＝eq\r(2)。设动圆的半径为R，由题意可得|EA｜＝R＋eq\r(2），｜EB｜＝R－eq\r（2)。∴|EA｜－｜EB｜＝2eq\r(2）＜2×4.由双曲线的定义可得：动圆的圆心E在以定点A(－4，0），B(4，0)为焦点的双曲线的右支上．∵a＝eq\r（2)，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴动圆圆心E的轨迹方程为eq\f（x2,2）－eq\f（y2,14）＝1（x≥eq\r(2））．]7．设F1,F2分别是椭圆eq\f（x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4)，则|PM|＋|PF1｜的最大值为________．15［因为椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f（y2,16）＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦点为F1（－3，0），F2（3,0）．根据椭圆的定义，得｜PM|＋｜PF1｜＝｜PM|＋（2a－｜PF2|）＝10＋（|PM|－|PF2因为|PM|－|PF2｜≤｜MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时｜PM|＋|PF1｜的最大值为10＋5＝15。][教师备选]1．设F1，F2为椭圆eq\f(x2,9）＋eq\f(y2，5)＝1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则eq\f(|PF2｜，｜PF1｜)的值为(）A．eq\f（5，14）B．eq\f(5，9）C．eq\f（4,9）D．eq\f（5，13）D［如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，｜PF2|＝eq\f（b2,a）＝eq\f（5,3)，|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f（13,3），所以eq\f（|PF2｜，｜PF1｜）＝eq\f（5,13).]2．椭圆eq\f（x2，5）＋eq\f（y2，4)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M,N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(）A．eq\f（\r(5）,5）B．eq\f（6\r(5),5)C．eq\f(8\r（5）,5)D．eq\f(4\r（5),5）C［如图,设椭圆的右焦点为F′，连接MF′,NF′.因为|MF｜＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF｜＋｜NF｜＋|MN｜，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时,△FMN的周长最大．此时｜MN|＝eq\f（2b2，a）＝eq\f（8\r（5),5)，又c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r（5－4）＝1，所以此时△FMN的面积S＝eq\f(1，2)×2×eq\f(8\r(5)，5)＝eq\f(8\r(5)，5）.故选C．］命题点2椭圆、双曲线的几何性质1．求解椭圆或双曲线的离心率问题的常用方法（1）直接求出a，c的值，利用e＝eq\f(c,a）求解．(2）直接求出a,b的值，利用e＝eq\f（c，a）＝eq\r（1－\f(b，a)2)（椭圆）或e＝eq\f(c,a）＝eq\r（1＋\f(b,a）2)(双曲线）求解．(3)构造关于a，c的齐次方程,再利用e＝eq\f（c,a)转化成关于e的一元二次方程求解．2．双曲线渐近线的四个常用结论(1)双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为定值b;(2）由双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1（a＞0,b＞0)求渐近线方程，只需方程右边的常数1变成0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝0便可；(3）由双曲线的一条渐近线方程y＝eq\f(b，a）x求双曲线方程可设eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝λ（λ≠0）即可；（4)双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0）的渐近线y＝±eq\f（b，a)x的斜率k同离心率e的关系：e＝eq\r（1＋\f(b2，a2)）＝eq\r(1＋k2）.［高考题型全通关]1．已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(eq\r（5），0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为（）A．y＝±eq\f(1,2）x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f（3,2）x D．y＝±2xD[设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a>0，b>0)，则由题意得c＝eq\r（5).双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a）x，即bx±ay＝0，所以eq\f（\r（5）b，\r（b2＋a2）)＝2，又c2＝a2＋b2＝5,所以b＝2，所以a＝eq\r(c2－b2)＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x,故选D．]2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（)A．1B．eq\r（2)C．2D．2eq\r（2）D［设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，eq\f(1,2）×2cb＝1⇒bc＝1，2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r（2bc)＝2eq\r（2),当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D．]3．设双曲线C:eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝eq\f(1，2)x，则双曲线C的方程为(）A．eq\f(x2,16）－eq\f(y2，4)＝1 B．eq\f（x2,4）－eq\f(y2，16）＝1C．eq\f（x2,64)－eq\f（y2,16）＝1 D．x2－eq\f(y2，4)＝1A［由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2.又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝eq\f（b,a）x＝eq\f(1，2）x,可得a＝4，所以双曲线C的方程为eq\f(x2，16）－eq\f（y2，4）＝1，故选A．］4．(2020·东莞市模拟)已知双曲线C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－c)2＋y2＝2a2截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距)，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r（2),2)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2B[如图所示，双曲线的两条渐近线关于x轴对称，取y＝eq\f(b,a）x与圆相交于点A，B，｜AB｜＝2b，圆心（c，0)到直线bx－ay＝0的距离d＝eq\f(|bc|，\r（a2＋b2）)＝b。结合垂径定理可得2a2＝b2＋b2，即a＝b。∴双曲线为等轴双曲线,其离心率e＝eq\r(2)。故选B．］5．已知F1,F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(5）,5)，1）） B．eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2)，1）)C．eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5）)) D．eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f（\r(2）,2))）B［∵F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，∴F1(－c，0），F2(c，0）,c2＝a2－b2。设点P(x，y),由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y）＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝c2，,\f（x2，a2）＋\f(y2,b2)＝1,））整理得，x2＝(2c2－a2）·eq\f(a2,c2）≥0，解得e≥eq\f(\r(2),2).又0＜e＜1，∴eq\f（\r(2),2)≤e＜1。］6．若三个点(－2,1）,(－2，3）,（2，－1)中恰有两个点在双曲线C：eq\f(x2，a2）－y2＝1(a＞0)上，则双曲线C的渐近线方程为________．y＝±eq\f(\r（2)，2)x[由于双曲线的图象关于原点对称,故（－2，1），（2，－1）在双曲线上，代入方程解得a＝eq\r(2).又因为b＝1，所以渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2)，2）x.］7．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线eq\f（x2,a2)－y2＝1(a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq\o（OP，\s\up7(→))·eq\o（FP,\s\up7（→))的取值范围为________．［3＋2eq\r(3),＋∞)［由题意，得22＝a2＋1，即a＝eq\r（3），设P(x，y），x≥eq\r（3)，eq\o（FP，\s\up7(→))＝（x＋2,y），则eq\o(OP,\s\up7(→））·eq\o(FP，\s\up7（→）)＝（x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋eq\f(x2,3）－1＝eq\f(4,3）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4))）eq\s\up7（2)－eq\f（7,4),因为x≥eq\r(3）,所以eq\o（OP，\s\up7（→））·eq\o(FP，\s\up7(→))的取值范围为［3＋2eq\r(3）,＋∞）．］8．[一题两空]已知椭圆M:eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0)，双曲线N：eq\f(x2，m2)－eq\f（y2，n2）＝1。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________．eq\r(3）－12[如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝eq\r(3）x，∴eq\f(n,m）＝eq\r（3）.设m＝k,则n＝eq\r（3）k，则双曲线N的离心率e2＝eq\f(\r（k2＋\r(3）k2），k）＝2.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，｜CF1|＝eq\r(3)c,再由椭圆的定义得｜CF1|＋|CF2｜＝2a，即（eq\r(3)＋1）c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝eq\f（c，a）＝eq\f（2,\r(3)＋1）＝eq\f（2\r（3）－1,\r(3）＋1\r（3)－1）＝eq\r（3)－1.]［教师备选］1．已知双曲线M:eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1（a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2，eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(F1F2）)＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，使eq\f（a,sin∠PF1F2）＝eq\f(3c,sin∠PF2F1），则双曲线M的离心率的取值范围为（）A．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f(2＋\r（7)，3)）) B．eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（1，\f（2＋\r（7),3））)C．（1，2） D．eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（1，2)）A[根据正弦定理可知eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,|PF1｜），因为eq\f（a,sin∠PF1F2）＝eq\f（3c,sin∠PF2F1)，所以eq\f（|PF2|，｜PF1|）＝eq\f(a,3c)，即｜PF2｜＝eq\f(a，3c）|PF1|，eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF1）)－eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PF2)）＝2a，所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（a,3c))）eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PF1））＝2a，解得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF1))＝eq\f(6ac,3c－a），而eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PF1))〉a＋c,即eq\f（6ac,3c－a）〉a＋c,整理得3e2－4e－1〈0，解得eq\f(2－\r(7）,3)<e<eq\f(2＋\r(7），3).又因为离心率e〉1，所以1〈e<eq\f(2＋\r（7），3）。］2．(2020·百校联盟三月联考）已知椭圆C:eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的右焦点为F，点A,B是椭圆C上关于原点O对称的两个点，且｜AO|＝｜AF｜,eq\o（FA，\s\up7（→）)·eq\o(FB,\s\up7(→))＝0，则椭圆C的离心率为（）A．eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3）C．eq\f（\r（2),2) D．eq\f（\r(2)，3)A[因为eq\o(FA，\s\up7(→））·eq\o(FB，\s\up7（→))＝0，所以∠AFB＝90°,因为｜AO｜＝|AF｜，所以｜AB｜＝2|AF｜，故∠ABF＝30°，设椭圆C的左焦点为F1，根据椭圆的性质，四边形AF1BF为平行四边形，且∠AFB＝90°，所以四边形AF1BF为矩形，在直角三角形AF1F中，∠AF1F＝30°，|AF1｜＝eq\r（3）c,|AF|＝c，根据椭圆的定义，｜AF1｜＋｜AF｜＝2a,即eq\r（3)c＋c＝2a,则椭圆C的离心率e＝eq\f（c，a）＝eq\r（3)－1,故选A．］命题点3圆锥曲线与直线、圆的综合问题圆锥曲线与直线、圆的综合问题的4个注意点(1）注意使用圆锥曲线的定义;(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；（3）注意用好平面几何性质；(4)涉及中点弦问题时,可用“点差法”快速求解．［高考题型全通关］1．已知椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1（a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点，且AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f（1,2))），则椭圆的离心率为(）A．eq\f(1，2）B．eq\f(\r（2），2)C．eq\f（1,4）D．eq\f（\r（3）,2）B［∵FP的斜率为－eq\f（b，c)，FP∥l，∴直线l的斜率为－eq\f(b,c）。设A(x1，y1)，B(x2,y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（x\o\al(2，1）,a2)＋\f（y\o\al（2，1），b2）＝1，,\f（x\o\al(2,2），a2）＋\f(y\o\al（2,2），b2)＝1，)）得eq\f（y\o\al(2,1），b2）－eq\f（y\o\al（2，2），b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al（2,1),a2)－\f(x\o\al(2，2),a2））），即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2，a2y1＋y2）。∵AB的中点为Meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1，2))）,∴－eq\f(b,c)＝－eq\f（2b2,a2),∴a2＝2bc,∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝eq\r(2）c，∴椭圆的离心率为eq\f（\r(2），2），故选B．］2．(2020·包头一模）已知F1,F2是双曲线C：eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，A，B是C的左、右顶点，点P在过F1且斜率为eq\f(\r(3),4）的直线上,△PAB为等腰三角形,∠ABP＝120°，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f（1,2）x B．y＝±2xC．y＝±eq\f（\r（3)，3)x D．y＝±eq\r（3)xD[如图，∵△PAB为等腰三角形，∠ABP＝120°，∴P点的坐标为（2a,eq\r(3)a)，F1P∶y＝eq\f（\r(3）,4）(x＋c）,把P点坐标代入，可得eq\r（3)a＝eq\f(\r（3）,4）（2a＋c),即2a＝c，∴4a2＝c2＝a2＋b2，得eq\f（b，a）＝eq\r(3）。∴C的渐近线方程为y＝±eq\r（3)x。故选D．］3．已知椭圆Γ：eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b>0）的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k〉0)的直线与Γ相交于A，B两点．若eq\o(AF，\s\up7(→))＝3eq\o(FB，\s\up7(→））,则k＝（）A．1B．2C．eq\r(3）D．eq\r(2)D［设A(x1,y1）,B（x2，y2)，因为eq\o（AF,\s\up7(→）)＝3eq\o（FB,\s\up7（→))，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b,设b＝t，则a＝2t，故c＝eq\r(3)t，所以eq\f(x2,4t2）＋eq\f(y2,t2)＝1。设直线AB的方程为x＝sy＋eq\r(3）t,代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2eq\r（3)sty－t2＝0,所以y1＋y2＝－eq\f（2\r（3)st，s2＋4）,y1y2＝－eq\f（t2,s2＋4)，即－2y2＝－eq\f（2\r(3）st，s2＋4），－3yeq\o\al(2，2）＝－eq\f(t2，s2＋4)，得s2＝eq\f（1，2)，k＝eq\r（2），故选D．]4．（2020·深圳中学联考）已知椭圆C的焦点为F1（－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A,B两点．若eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（AF2\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(＝3)）BF2))，eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（BF1\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（＝5））BF2)），则C的方程为(）A．eq\f（x2，2)＋y2＝1 B．eq\f(x2，3）＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f（x2，4）＋eq\f（y2，3)＝1 D．eq\f（x2,5）＋eq\f（y2,4)＝1A[∵|AF2|＝3｜BF2｜,∴｜AB｜＝4|BF2|,又｜BF1｜＝5｜BF2｜，又|BF1|＋|BF2|＝2a∴|BF2|＝eq\f(a，3)，∴｜AF2|＝a，|BF1|＝eq\f（5，3)a，∵|AF1|＋|AF2|＝2a∴｜AF1｜＝a，∴｜AF1|＝|AF2｜，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝eq\f（1,a）,在△BF1F2cos∠BF2F1＝eq\f（4＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,3))）\s\up7(2)－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5,3)a)）\s\up7（2）,2×2×\f（a,3））,根据cos∠AF2O＋cos∠BF2F1eq\f（1,a）＋eq\f（3－2a2，a)＝0，解得a2＝2,b2＝a2－c2＝2－1＝1.所以椭圆C的方程为eq\f（x2,2）＋y2＝1。故选A．］5。设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b〉0)的左、右焦点，B为椭圆的下顶点，P为过点F1,F2，B的圆与椭圆C的一个交点，且PF1⊥F1F2，则eq\f（b,a)的值为________．eq\f（\r（5)－1，2）[设过F1,F2，B三点的圆的圆心为M，∵PF1⊥F1F2，∴PF1是通径的一半，｜PF1｜＝eq\f（b2,a)。∵PF1是圆M中的一条弦，∴根据圆的对称性可知圆心的坐标Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(b2,2a）)).∵｜MB|2＝|MF1|2＝R2,∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（b2,2a)）)eq\s\up12（2）＋c2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,2a）＋b）)eq\s\up12（2)，整理得ac2＝b3＋ab2，∵c2＝a2－b2，∴a（a2－b2)＝b3＋ab2，整理得b2＋ab－a2＝0，∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（b,a）)）eq\s\up12(2）＋eq\f（b，a）－1＝0，解得eq\f（b,a）＝eq\f（\r（5）－1，2）(舍去负根)．][教师备选]1．(2020·华南师大附中、广雅中学等四校联考）F是双曲线C：eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a〉0，b>0）)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A,交另一条渐近线于点B，若2eq\o（AF，\s\up7（→)）＝eq\o（FB,\s\up7（→))，则C的离心率是(）A．eq\f(2\r（3)，3)B．eq\f（\r（14),3)C．eq\r（2）D．2A[由题意得|AF｜＝b，|BF|＝2b,｜AB|＝3b；|OA｜＝a，因为x轴是∠AOB的角平分线,由平分线性质,结合|OA|＝a,得|OB|＝2a，因此(2a)2＝a2＋（3b)2⇒a2＝3b2＝3(c2－a2)⇒e2＝eq\f（4,3)⇒e＝eq\f（2\r（3)，3)，选A．]2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是(）A．eq\f（\r(3），3)B．eq\f（\r(2），3）C．eq\f（\r（3),2）D．eq\f(\r（2),2）D［因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1又因为F2B∥AP,所以F2B⊥BF1,又因为｜F2B｜＝|BF1｜,所以△F1F2B因为|OB｜＝b,|OF2｜＝c，所以b＝c,｜F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2所以该椭圆的离心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f(\r(2），2)。]3．已知双曲线C：eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a>0,b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，以A为圆心，OA（O为坐标原点）为半径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若PF2⊥PA，且｜PF1|＝2|PF2|，则双曲线C的离心率为（)A．1＋eq\r(5)B．1＋eq\r（3）C．eq\r（5）D．eq\r（3)A[由题意可得｜OA｜＝a，|AF2|＝c－a，因为PF2⊥PA，所以|PF2｜＝eq\r(c－a2－a2）＝eq\r(c2－2ac）。又因为点P在双曲线的右支上，所以｜PF1|－｜PF2｜＝2a因为|PF1｜＝2｜PF2｜,所以｜PF2|＝2a因此eq\r(c2－2ac)＝2a，即c2－2ac＝4a2，所以e2－2e－4＝0,解得e＝1±eq\r（5），因为e〉1，所以e＝1＋eq\r（5)。］4．已知直线x＋y＝1与椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a〉b>0）交于P,Q两点，且OP⊥OQ(其中O为坐标原点)，若椭圆的离心率e满足eq\f(\r(3）,3）≤e≤eq\f（\r（2),2),则椭圆长轴的取值范围是(）A．［eq\r(5)，eq\r（6)] B．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(\r（5)，2)，\f(\r（6），2))）C．eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(5，4），\f（3,2)）） D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(5，2），3）)A［联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝1，,\f(x2,a2）＋\f(y2,b2）＝1,）)得（a2＋b2）x2－2a2x＋a2－a2b2设P(x1，y1），Q（x2，y2），Δ＝4a4－4(a2＋b2）(a2－a2b2）>0,化为a2＋b2x1＋x2＝eq\f（2a2，a2＋b2）,x1x2＝eq\f（a2－a2b2，a2＋b2).∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋（x1－1）（x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2）＋1＝0，∴2×eq\f(a2－a2b2,a2＋b2)－eq\f(2a2,a2＋b2)＋1＝0。化为a2＋b2＝2a2b2.∴b2＝eq\f(a2，2a2－1).∵椭圆的离心率e满足eq\f(\r（3)，3)≤e≤eq\f(\r（2）,2)，∴eq\f(1，3）≤e2≤eq\f（1,2)，∴eq\f（1,3)≤eq\f（a2－b2,a2）≤eq\f(1,2），eq\f（1,3）≤1－eq\f（1，2a2－1）≤eq\f（1,2)，化为5≤4a2解得eq\r(5)≤2a≤eq\r(6）.满足Δ>0。∴椭圆长轴的取值范围是［eq\r（5)，eq\r(6）］．]5．（2020·武汉模拟)已知曲线C1：eq\f（x2,a\o\al（2,1)）＋eq\f(y2，b2）＝1（a1〉b〉0)与曲线C2：eq\f（x2，a\o\al（2,2））－eq\f（y2,b2)＝1(a2>0）有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点M，N。若eq\f(S△OMN,S△OFM)＝eq\f（1,2）（O为坐标原点)，则C1与C2的离心率之比为(）A．eq\f（2，3)B．eq\f（1，2）C．eq\f(1，3）D．eq\f（3，4)A［设曲线C1,C2的右焦点F(c,0)，则c2＝aeq\o\al(2,1）－b2＝aeq\o\al（2，2)＋b2,因为eq\f（S△OMN，S△OFM)＝eq\f（1,2）(O为坐标原点)，可得eq\f(｜FM｜,|FN|）＝eq\f（2，3)，又MN是过右焦点F且垂直x轴的直线与两条曲线在第一象限的交点，所以｜FM｜＝eq\f(b2，a1），|FN|＝eq\f（b2，a2)，∴3×eq\f(b2，a1)＝2×eq\f（b2，a2），∴eq\f(a2，a1)＝eq\f（2，3），∴eq\f(e1,e2）＝eq\f（a2,a1）＝eq\f（2,3）.故选A．]6．（2020·福建二模）已知圆M的圆心为双曲线C：eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0,b〉0)虚轴的一个端点，半径为a＋b，若圆M截直线l:y＝kx所得的弦长的最小值为2eq\r（3）b，则C的离心率为（)A．eq\f(\r(10)，3)B．eq\f(10，9）C．eq\r(2)D．2C[由题意知，当l⊥y轴时，圆M截直线y＝kx所得弦AB的长最小，此时|OA｜＝eq\r（3）b，|OM|＝b，｜MA｜＝eq\r（｜OM|2＋|OA｜2）＝2b，又圆M的半径｜MA｜＝a＋b,∴2b＝a＋b，即a＝b，∴c＝eq\r（a2＋b2）＝eq\r(2）a，则双曲线的离心率e＝eq\f(c，a）＝eq\r（2）.故选C．]8．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a〉0,b〉0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B,且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．eq\r（3）＋1B．2C．eq\r（3）D．eq\r(2)B［如图，因为A为F1B的中点，所以eq\o（F1A,\s\up7(→）)＝eq\o（AB，\s\up7(→)），又因为B在圆上,所以eq\o(F1B，\s\up7（→)）·eq\o（F2B,\s\up7(→）)＝0，故OA⊥F1B,则F1B:y＝eq\f(a,b)(x＋c)，联立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝\f(a，b）x＋c,,y＝\f（b,a）x,)）解得Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a2c,b2－a2)，\f（abc，b2－a2）)），则OB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a2c,b2－a2）））2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（abc,b2－a2)））2＝c2，整理得b2＝3a2∴c2－a2＝3a2，即4a2＝c∴eq\f(c2，a2）＝4，e＝eq\f(c,a)＝2。故选B．］9。已知椭圆eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b>0)的半焦距为c（c>0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝eq\f（15，8）（a＋c）x与椭圆交于B，C两点,若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（)A．eq\f(8,15）B．eq\f（4,15）C．eq\f(2,3)D．eq\f(1，2）D［由题意得A（a，0)，F（－c，0），∵抛物线y2＝eq\f(15，8）(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，∴B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，－n）,∵四边形ABFC是菱形,∴m＝eq\f(1，2）(a－c),将B（m，n）代入抛物线方程，得n2＝eq\f(15,16）（a＋c）（a－c)＝eq\f(15，16)b2，∴Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）a－c,\f(\r(15）,4）b))，再代入椭圆方程,得eq\f(\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）a－c)）eq\s\up12（2),a2)＋eq\f(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(15）,4）b)）eq\s\up12（2),b2）＝1，化简整理，得4e2－8e＋3＝0，解得e＝eq\f(1,2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（e＝\f(3，2）＞1不合题意，舍去)），故答案为eq\f(1,2).］10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（－2，0），F2（2,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB＝BF