2021高三数学第12章 第2讲 数系的扩充与复数的引入含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三人教B版数学一轮（经典版）课时作业：第12章第2讲数系的扩充与复数的引入含解析课时作业1．(2019·陕西四校联考）已知复数z＝eq\f(3,1－2i）（i是虚数单位)，则z的实部为（）A．－eq\f（3，5) B．eq\f(3，5）C．－eq\f(1，5） D．eq\f(1，5)答案B解析∵z＝eq\f(3，1－2i)＝eq\f(31＋2i，1－2i1＋2i）＝eq\f（3,5）＋eq\f(6，5)i,∴z的实部为eq\f(3,5)。故选B.2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，1） B．（－∞,－1)C．（1，＋∞） D．(－1，＋∞）答案B解析∵(1－i)（a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋（1－a)i，又复数（1－i）（a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋1＜0，，1－a＞0,）)解得a＜－1.故选B。3．（2019·河南郑州模拟）已知复数z＝eq\f(2i,1＋i）,则z的共轭复数为（)A．1＋i B．1－iC．2＋2i D．eq\f（1，2）－eq\f(1,2）i答案B解析∵复数z＝eq\f（2i，1＋i）＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i＋1,2）＝1＋i,∴复数z的共轭复数eq\o（z,\s\up6(－））＝1－i.故选B。4．（2019·郴州模拟）设z＝1－i(i是虚数单位）,若复数eq\f（2,z）＋z2在复平面内对应的向量为eq\o(OZ，\s\up6（→))，则向量eq\o(OZ,\s\up6（→))的模是(）A．1 B．eq\r（2)C．eq\r(3) D．2答案B解析z＝1－i(i是虚数单位)，复数eq\f(2,z）＋z2＝eq\f(2,1－i）＋(1－i）2＝eq\f(21＋i,1－i1＋i）－2i＝1－i。则向量eq\o（OZ，\s\up6（→))的模为eq\r(12＋－12）＝eq\r（2).故选B。5．(2020·南昌摸底）已知eq\f(1－i2，z）＝1＋i(i为虚数单位），则复数z＝(）A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析由eq\f（1－i2，z）＝1＋i，得z＝eq\f(1－i2，1＋i)＝eq\f(－2i，1＋i）＝eq\f（－2i1－i，1＋i1－i)＝－1－i.6．(2020·山西吕梁摸底)已知复数z＝eq\f(3＋4i,1＋2i)，则｜eq\o(z,\s\up6（－））|＝(）A．eq\r(5) B．eq\r（10)C．2eq\r（5) D．5答案A解析解法一：z＝eq\f(3＋4i，1＋2i）＝eq\f（3＋4i1－2i，1＋2i1－2i)＝eq\f(11－2i,5)，所以eq\o（z,\s\up6（－)）＝eq\f(11＋2i,5),｜eq\o(z,\s\up6(－)）｜＝|eq\f(11＋2i，5)|＝eq\f（1,5）eq\r（112＋22）＝eq\r（5）。解法二：|eq\o(z，\s\up6（－））|＝｜z｜＝eq\f（｜3＋4i｜，｜1＋2i|)＝eq\f（5,\r（5））＝eq\r（5).故选A。7．(2019·江西新余四中、上高二中联考)若复数z满足z(－1＋2i)＝|1＋3i｜2（i为虚数单位）,则复数z的共轭复数eq\o（z,\s\up6(－))为()A．－2－4i B．－2＋4iC．4＋2i D．4－2i答案B解析由z(－1＋2i）＝|1＋3i|2，得z＝eq\f(|1＋3i|2，－1＋2i）＝eq\f(10－1－2i，－1＋2i－1－2i)＝eq\f（－10－20i，5）＝－2－4i，则复数z的共轭复数eq\o(z,\s\up6（－））为－2＋4i。故选B.8．(2019·安庆二模)已知i为虚数单位，复数z满足（1－i)·z＝2i，则下列关于复数z的说法正确的是()A．z＝－1－i B．｜z|＝2C．z·eq\o(z，\s\up6(－）)＝2 D．z2＝2答案C解析由条件知z＝eq\f(2i，1－i)＝eq\f（2i·1＋i,2)＝－1＋i，A错误；｜z｜＝eq\r(2），B错误；z·eq\o（z,\s\up6（－)）＝（－1＋i）·（－1－i)＝2，C正确;z2＝(－1＋i)2＝－2i，D错误．故选C。9．（2019·成都模拟)已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|＝（）A．eq\r（5) B．5C．2eq\r(5） D．2eq\r(17）答案A解析复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，则z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6)，B（0,－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z＝1＋2i，则｜z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5）。故选A。10．（2019·福州调研）已知m∈R，i为虚数单位，若eq\f（1－2i,m－i）〉0,则m＝（)A．1 B．eq\f（1，2）C．eq\f(1，3) D．－2答案B解析由已知得eq\f(1－2i,m－i)＝eq\f（1－2im＋i,m－im＋i)＝eq\f（m＋2＋1－2mi，m2＋1），由eq\f(1－2i，m－i）〉0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2〉0，1－2m＝0））则m＝eq\f(1，2).选B。11．（2019·益阳、湘潭两市联考)已知命题p：若复数z满足(z－i）(－i）＝5,则z＝6i，命题q：复数eq\f(1＋i，1＋2i）的虚部为－eq\f（1,5)i，则下面为真命题的是(）A．(綈p)∧(綈q） B．(綈p）∧qC．p∧（綈q) D．p∧q答案C解析由已知可得,复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝eq\f（5，－i）＋i＝6i,所以命题p为真命题；复数eq\f（1＋i,1＋2i）＝eq\f（1＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f（3－i,5），其虚部为－eq\f(1,5)，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p∧（綈q）为真命题，故选C。12．(2017·全国卷Ⅰ）设有下面四个命题:p1：若复数z满足eq\f（1，z)∈R,则z∈R；p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3：若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1＝eq\o（z，\s\up6（－））2；p4：若复数z∈R，则eq\o（z，\s\up6（－））∈R.其中的真命题为（)A．p1，p3 B．p1,p4C．p2，p3 D．p2，p4答案B解析设复数z＝a＋bi(a，b∈R），对于p1，∵eq\f（1,z)＝eq\f（1,a＋bi)＝eq\f（a－bi，a2＋b2）∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi）2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题;对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R）,z2＝c＋di(c，d∈R）,则z1z2＝(x＋yi）（c＋di）＝cx－dy＋(dx＋cy）i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i,z2＝－1＋2i，则z1≠eq\o(z,\s\up6（－）)2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0,∴eq\o（z，\s\up6(－)）＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B。13．(2019·天津高考）i是虚数单位，则|eq\f（5－i，1＋i)｜的值为________．答案eq\r(13)解析∵eq\f（5－i，1＋i）＝eq\f（5－i1－i，1＋i1－i)＝2－3i，∴｜eq\f(5－i，1＋i）|＝|2－3i|＝eq\r（13).14．（2020·温州摸底)满足eq\f(z＋i，z)＝i（i为虚数单位)的复数z＝________.答案eq\f（1,2）－eq\f(i，2)解析由已知得z＋i＝zi，则z（1－i)＝－i,即z＝eq\f(－i,1－i）＝eq\f（－i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1－i，2)＝eq\f(1，2)－eq\f（i,2)。15．（2019·厦门模拟）已知复数z＝x＋yi，且｜z－2|＝eq\r(3），则eq\f（y，x）的最大值为________．答案eq\r（3)解析∵｜z－2｜＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r（3）,∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（y,x））)max＝eq\f（\r(3）,1）＝eq\r（3）.16．若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝sinB－cosA＋（cosB－sinA)i在复平面内对应的点位于第________象限．答案四解析∵A，B为锐角三角形的两个内角，∴eq\f(π，2)〈A＋B〈π，∴eq\f（π,2）－B<A<eq\f（π，2)，eq\f(π，2）－A<B〈eq\f（π，2)，∴sinA〉sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)－B))＝cosB