线性规划在企业决策中的应用

页眉线性规划在企业决策中的应用第一章

线性规划理论线线性规划是运筹学中研究较早发展较快应用广泛方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材.是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为线性规划问题

足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域[2]

决策变量约束条件目标函数是线性规划的三要素。线法国数学家J.-B.-J.傅里叶和C.瓦莱－普森分别于18321911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。1939苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。1947年美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975诺贝尔经济学奖。50代后对线性规划进行大量的理论研究涌现出一大批新的算法如1954页眉年C.莱姆基提出对偶单纯形法年斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题1956A.塔克提出互补松弛定理1960G.B.丹齐克和P.沃夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如，，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题[1979苏联数学家L.Khachian提出解线性规划问题的椭球算法明它是多项式时间算法。1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。建立线性规划模型的方法。线3.1线性规划问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题如何合理地利用有限的人力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。线性规划主要解决两类问题：资源有限，要求生产的产品（或利润）最多。任务（或产品）一定，要求消耗的资源（或成本）最少。3.2线性规划问题的特征（1）一个问题都用一组决策变量就有代表一过具体方案。

(x,x...x)12

表示某一方案；这组决策变量的值一般这些变量取值是非负的。存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。满足以上四个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。3.3从实际问题中建立数学模型的步骤；页眉根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；（3）由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。3.4所建立的线性规划模型的特点；（）每个模型都有若干个决策变量

(x,x...x)12

，其中

为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。（2）目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化max

或最小化min

，二者统称为最优化

opt

（3）约束条件也是决策变量的线性函数。3.5线性规划模型的一般形式目标函数：

maxxx1n

约束条件：

111221nn1x21122n2x1mnnm,x,x1n

在线性规划的数学模型中，方程（3-1称为目标函数；（3-2）称为约束条件。3.6线性规划模型的标准形式x1nxx111121nnxxnxm11mnx,x,,x1n

n?

其中

b,mi

.简写形式为：nzcxjj

j

jb页眉St

naxijjijxj

iLm;j1,2,L

向量和矩阵表示：其中

maxCXjjjjnj,,c)，1

X=

a,j

2线求解线性规划问题的基本方法有图解法和单纯形法，但实际运用的主要是是单纯形法，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题[的特点是直观而易于理解但实用价值不大不过通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。下面着重介绍单纯形法。4.1一般线性规划问题的单纯形解法4.1.1建立初始基本可行解在线性规划问题中，约束条件多为不等式，所以首先要将其化为标准型，同时建立一个初始基本可行基。4.1.2最优解检验找到一个可行判断它是不是最优解。判断方法是检验目标函数中是否还有正的系数，若有正的系数，则说明还有更好的解。只有当目标函数中的全部系数为负值或页眉时，说明改解才是最优解。4.1.3基变换从一个基可行解到另一个基可行解的变换就是进行一次基变换。4.1.4迭代（旋转运算）将约束条件的增广矩阵中新基变量的系数通过矩阵的行变换或Gauss变换变为单位矩阵[6]

。4.2非标准型线性规划问题的解法4.2.1大法在一个线性规划问题的约束条件中加入人工变量后，要求人工变量对目标函数的取值无影响，为此可取人工变量在目标函数中的系数为(

M为非常大的正数)[7]

，这样目标函数要实现最大化，人工变量只能取零，因此必须把人工变量从基变量中换出，否则目标函数就不可能实现最大化。4.2.2两阶段法第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解，给原线性规划问题加上人工变量，构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。第二阶段：将第一阶段得到的最优单纯形表，除去人工变量，将原目标函数的系数换掉该表的目标函数的系数行，作为第二阶段计算的初始表。4.3对偶分析4.3.1对偶问题的基本概念在线性规划问题中，如果把一个求最大值的线性规划定义为“”题，那么与其同时存在一个求最小值的所谓对偶问题，并且原线性规划的最优解对应着对偶线性规划问题的最优解。4.3.2对偶问题的性质对称性对偶问题的对偶是原问题。弱对偶性若X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解。则存在CX*

。（）无界性解。

若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行（4）可行解是最优解时的性质

设X

是原问题的可行解Y

是对偶问题的可行jjij页眉解，

时，X

,

是最优解。（5）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解且最优值相同。（）互补松驰性若X分别是对偶问题和原问题的可行解。那么,且仅当,为最优解。4.4灵敏度分析灵敏度分析主要有以下几种情况[资源数量变化的分析；目标函数中价值系数的变化分析；技术系数的变化；约束条件增减的变化分析。

X

和第二章

页眉企业决策理论企随着企业计算机应用和信息化程度的不断深入业已经积累了大量的业务和财务数据，并继续随着时间和业务的发展而呈几何级膨胀趋势。企业信息处理部门的工作重点已逐渐超越了简单的数据收集，企业内的各级人员都希望能够快速、准确并方便有效地从这些大量杂乱无章的数据中获取有意义的信息，决策者也希望能够充分利用现有的数据指导企业决策和发掘企业的竞争优势9]策效率和决策质量的高低将直接影响企业的运营绩效和市场竞争力。由于集团企业具有分布、异构、自治等特点，集团企业运营过程中的决策将是一个复杂的过程，对于不同的决策问题需要采用不同的决策方法。同时，在集团企业运营过程中，决策的形式也是多种多样的，它在一定的阶段表现为个体的行为，在一定的阶段又表现为群体的活动，从而给集团企业管理中的决策分析提出了高要求。企2.1按重要程度分类在企业的决策中，我们按重要程度分类一般把决策分为三个层次，即战略决策、战术决策和业务决策[10]。2.1.1战略决策第一类战略决策是与管理总的方针和开发企业所需要的资源有关的决策，它属于长远规划，对企业的发展具有深远影响，决策过程中要考虑很多不确定和冒风险的因素。是集团企业决策信息模型中的最高层，负责管理、控制、协调整个集团企业网络的正常运行。其控制范围包括涉及集团企业全体成员整体利益的事务和对整个企业集团运营活动的调控与制约。在这一层次，可以设定集团企业决策模型的范围和内容、集团企业的合作机制和行为准则的设定、运营过程的绩效评价、利益分配机制和风险控制机制等任务，为集团企业正常运营提供了战略决策框架和行动指南。根据集团企业实际情况进行群体决策，担负着全局优化以及在新机遇下的集团企业组建过程中的决策工作。页眉2.1.2战术决策第二类决策称为战术决策，是在物资资源、设备等决策之后，规划如何最有效的分配所获得的资源（如生产能力、资金、材料、劳力等），以便获得最大效益。定义集团企业各成员企业的各种基本决策活动过程。虽然由于集团企业的动态特性，各企业的实际情况和操作流程会有所不同，但我们总能找到一些存在于企业业务活动中相对稳定且有相同或类似行为特征的实体。同时也能找出系统中不能再分的最小粒度的原子过程利O术我们将企业中的各类实体和原子过程封装成对象根据产品结构信息和集团企业实际运行状态信息，将客户的订单分解到集团企业的各成员企业，并派生出由不同的原子过程组成的工作流，对资源进行分配，并完成对工作流监督、控制的任务。2.1.3业务决策第三类叫业务决策，完成集团企业具体任务的执行工作，包括物流在各企业间的合理流动以及从原材料到成品的物理加工过程，如原材料的运输、零件加工、部件装配、检测、仓储等过程。在本层中，完成制造、销售、供应、运输等任务的同时，还要对第一线的信息进行采集、整理、反馈以供上层决策时使用。是在资源合理分配后，进行日常业务和计划的决策，线性规划模型最适合进行战术决策，解决诸如劳动力和生产能力等资源的合理分配，运输和指派方案的最优选择、广告和推销费用的预算等问题，同时它也在投资方案选择、配料、选址、生产计划、环境（如空气、水）污染控制、下料等优化方面有广泛的应用。2.2按企业决策的环境分类在企业的决策中，我们按企业决策的环境可分为确定性决策、风险决策和不确定性决策。2.2.1确定性决策确定性决策是指未来环境完全可预测，而且在此确定的未来环境下待选择的决策方案的后果也是可以确定的。简单讲，就是一种方案只有一种确定的结果。2.2.2风险决策风险决策是指未来环境有几种可能的状态和相应的后果，人们无法得到关于未来环境的充分可靠的信息，但可以预测每一种状态和后果出现的概率。对利润、效益等问题的决策一般都是风险型决策页眉2.2.3不确定性决策不确定性决策是指未来环境出现某种状态的概率难以估计甚至连可能出现的状态和相应的后果都是未知的。这类决策，主要依靠决策者的经验和主观判断。2.3按企业决策的主体分类在企业的决策中，我们按企业决策的主体可分为个人决策和群体决策。个人决策个人决策是指决策的主体是一个人，即最终方案的选择仅仅由一个人拍板决定。2.3.2群体决策群体决策是指决策的主体是两人或两人以上。企业中许多重要的决策都是由决策群体制定的，属于群体决策。2.4按企业决策的目标分类在企业的决策中，我们按决策目标可分为单目标决策和多目标决策。2.4.1单目标决策单目标决策是指决策行动只要求实现一种目标，此种决策相对比较简单。2.4.2多目标决策多目标决策是指一项同时需要实现多个目标的决策。在做出一项复杂决策时，需要妥善处理好多个目标的冲突问题。应用线性规划方法解决企业决策问题时，求解方法已经不存在问题，各种大型求解线性规划问题的计算机程序到处可以找到，使用也比较方便，应用中的主要问题是根据实际情况建立合理的线性规划模型，这是从事系统分析工作者的主要工作下面将介绍线性规划模型的特点和建模的基本步骤，并列举若干实例来说明线性规划在企业决策中的应用。第三章

页眉线性规划在企业生产策中的应用举例企业生产决策是根据企业的经营战略方案及企业内外经营环境的状况确定企业的生产方向、生产目标、生产方针及生产方案的过程或职能。生产决策的主要内容包括：工艺和设备决策（自然技术水平决策）、产品成本决策（生产成本决策）和生产类型与厂址决策。企业在生产产品的时候，往往会考虑许多的生产因素，如既希望其利润大，而且又希望产量高、消耗低、质量好、投入少等；又如要开发一块土地建设物流中心，既要考虑设施的配套性、先进性，还要考虑投资的大小等问题[12]介绍运用运筹学中的线性规划的方法来解决企业实际生产决策问题。线

。下面将举例在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。线性规划在企业管理决策中的应用颇为广泛，现在只是对其简单进行介绍和应用。作为运筹学重要分支的线性规划，经历了长期的实践和多方面的应用。18纪线性规划的最先提出，至今已有一百多年的历史，在其发展的过程中不断完善，随着现代计算机、电子等技术的发展和应用，线性规划的应用一定会越来越广泛12]

。1.1企业决策中应用线性规划的条件一般来讲，一个企业决策问题满足以下条件时，才能建立线性规划模型。（1）要就求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数。存在多种方案及有关数据。要求达到的目标是在一定的约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。1.2线性规划在企业决策中的应用范围线性规划在企业决策中的应用广泛，主要有以下八种形式12]

：（1）产品生产计划决策：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大。（2）劳动力安排决策：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题决策：如何制定运输方案，使总运费最少。合理利用线材问题决策：如何下料，使用料最少。页眉配料问题决策：在原料供应的限制下如何获得最大利润。投资问题决策：从投资项目中选取方案，是投资回报最大。库存问题决策：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益。最有经济计划问题决策：在投资和生产计划中如何是风险最小。1.3企业决策中应用线性规划模型的假设条件在上文中已经隐含着线性规划问题的实质及建立这种模型的假设条件。为了更娇明确起见把它们归纳为下面四条[便我们很容易判断所遇到的某个企业决策问题能否用一个线性规划模型去求最优解。比例性：指对每个单独的活动而言，“因”果”成正比关系。对于目标函数来说，如果出售一辆大轿车可获利千元的话，那么出售两辆就可获利千元。对于约束条件来说如果生产一辆大轿车用吨钢材的话那生产两辆大轿车就要用4吨钢材，等等。可加性：是指相同的“因或“果之间的可加性。汽车厂总的利润是出售大轿车的利润和出售载重汽车的利润和。同样，全厂消耗的钢材是生产两种汽车各自用掉的钢材数量的总和。可分性：在有些情况下，未知变量只有是整数时才有物理意义，然而用线性规划计算得结果却经常是非整数。所以可以可分性是假定每个位置变量所代表的实际活动可以分成为部分，允许结果出现非整数的值。对于未知变量只有是整数时才有物理意义的情况，要用整数规划才能得到满意的最优解。确定性：假定模型内所有的系数都是已知的常数。1.4企业决策中建立线性规划模型的步骤确定决策变量：决策变量是指决策人可以控制的变量，也是线性规划问题的解。确定目标函数是决策人用来评价解的优劣的标准，它是决策变量的函数，可以预测出决策变量的取值对目标的影响。确定约束条件：约束条件是由给定问题的特点家在变量取值上面的限制。另外还规定线性规划中所有变量都满足非负的条件企页眉2.1问题提出某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需种原材料的消耗量，见下表，试回答下面问题：表原料消耗表

原材料A原材料单价/元

甲13

乙4216

资源限量(kg)160180

原材料的成本（1）应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？（2）原料,

的影子价格各是多少？那一种更珍贵？（）假定市场上有原料A

出售，企业是否应该购入以扩大生产？在保持原方案不变的前提下，最多应购入多少？可增加多少利润？如果乙产品价格达到元/件，方案会发生什么变化？现有新产品丙可投入开发一直对两种原材料的消耗量分别为和4问该产品的价格至少应为多少才值得生产？2.2问题分析一个过程的最优决策具有这样的性质，即无论其初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态作为初始状态都必须构成最优决策。最优化原则描述了最优控制决策的基本性质，它建立在不变嵌入原则的基本概念上。当求解一个特殊的最有决策问题时，可以把原来的问题嵌入一个较容易解的类似问题之中[（1）问题一：应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？该问题为合理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果的问题，应该运用线性规划原理，建立数学模型，再运用单纯型法或图解法求解。（2）问题二：原料A,B的影子价格各是多少？那一种更珍贵？影子价格的经济意义是指在其他条件不变的情况下资源变化所引起的目标函数的最优值的变化，代表

,

这两种资源的经济估价，影子价格可运用对偶单纯型法可求得。（3）问题三：假定市场上有原

页眉出售，企业是否应该购入以扩大生产？在保持原方案不变的前提下，最多应购入多少？可增加多少利润？假定市场上有原料A

出售，表示原料A

的数量可以增加，运用资源数量变化的分析，判断原料

的数量在那一范围内变化，经济效益会增加。（4）问题四：如果乙产品价格达到元/件，方案会发生什么变化？乙产品价格变化表示乙产品的价值系数变化运用灵敏度分析判断最终经济效益是否会发生变化。（5）问题五；现有新产品丙可投入开发，一直对两种原材料的消耗量分别为34，问该产的价格至少应为多少才值得生产？分析在原计划中是否安排一种新产品，运用灵敏度分析[通过单纯型表法，求得新产品的价格，使总的经济效益会增加。2.3符号说明

表示工厂在计划期内安排生产甲产品的数量。

表示工厂在计划期内安排生产乙产品的数量。Z

表示工厂总的经济收益。2.4模型建立建立线性规划模型，目标函数：x(2xx)1212即Z216012条件约束x18012x,x122.5模型求解（1）问题一：应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？运用单纯型表法求解，写出原模型的标准型：maxZxx1234

页眉xx12xx18014xxx,1

得到原始单纯形表：表3-2原单纯形表基变量

甲

乙

松弛变量B00

X34

B

160180

242

310

401表单纯形表第一步变换基变量

甲

乙

松弛变量

检验数B00

X34

B

160180

2[4]2

310

401

i4090Z

0

5

8

0

0表单纯形表第二步变换基变量

甲

乙

松弛变量

检验数B80

X24

B

40100

10.5[2]

210

30.25-0.5

401

i8050Z

320

1

0

-2

010.250T5页眉表3-5最单纯形表基变量

甲

乙

松弛变量

检验数B85

X21

B

1550

101

210

3

40.5

00

iZ

370

0

0

-0.5计算结果是厂在计划日期内安排生产甲产品的量为50产乙产品的量为。所获得的最大利润为370。（2）问题二：原料,的影子价格是多少？那一种更珍贵？由表1最终结果表4得原料的影子价格是B的影子价格是0.5所以原料

更珍贵。（3）问题三：假定市场上有原

出售，企业是否应该购入以扩大生产？在保持原方案不变的前提下，最多应购入多少？可增加多少利润？设原料

的资源数量，发生变化时，变化量为Vb，并假设规划问题其他系数11都不变，这样使最终表中原问题的解相应发生变化为：

(b)

，这里,0),b1

0.25

，只要X

，最终单纯型表4检验数不变则最优基不变。可计算X'B

()b可V，所Vb的变化范围[40,200]。11所以企业应该购入原料扩大再生产：在保持原方案不变的前提下，最多应购入200扩大再生产后利润C(b所以增加的利润Z=720350。（4）问题四：如果乙产品价格达到元每件，方案会发生什么变化？页眉乙产品价格达到20/件；即目标函数中乙产品的价值系数改变。目标函数变为maxxx))1212

即

所以最终单纯型表表4-6发生变化，最终变为表，由表得如果乙产品价格达到20/每件，工厂的生产方案为生产甲产品的量为，生产乙产品的量为。表3-6变后的单纯形表基变量

甲

乙

松弛变量

检验数B

X

B

x

2

3

4

i125Z

2x

1550370

010

100

[0.5]0.5

_100表3-7迭后的最终单纯形表基变量

甲

乙

松弛变量

检验数B

X

B

2

3

4

i120Z

24

40100370

0.52-1

100

0.25-0.5-3

010

00（5）问题五；现有新产品丙可投入开发，一直对两种原材料的消量分别和4，问该产的价格至少应为多少才值得生产？假设新产品丙的价格，则目标函数变为：3maxxxx)x1313123即：11)13

条件约束：

xx160xx1803

(3-10)所以产品的技术向量为3

T

页眉，然后计算最终表中对应的检系数为

3

'3

(1.75,0.5)(3,4)33

T

3

(3-11)明新产品丙值得生产2.6分析结果

以新产品丙的价格至少应为。（1）题一：应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？工厂在计划日期内安排生产甲产品的量为50，生产乙产品的量15所获得的最大利润为370。（2）题二：原料A

,

的影子价格各是多少？那一种更珍贵？原料A的影子价格是2.25，影子价格是，所以原料A

更珍贵。（）问题三假定市场上有原料A出售，企业是否应该购入以扩大生产？在保持原方案不变的前提下，最多应购入多少？可增加多少利润？企业应该购入原料

扩大再生产：在保持原方案不变的前提下，最多应购入200；可增加的利润。问题四：如果乙产品价格达到元每件，方案会发生什么变化？工厂的生产方案为生产甲产品的量为0，生产乙产品的量为40。问题五；现有新产品丙可投入开发，一直对两种原材料的消耗量分别为和4，问产品的价格至少应为多少才值得生产？新产品丙的价格至少应为。企3.1问题提出某铸造厂接到一笔订单，要生产1公斤铸件，其成分是锰至少达0，硅达到3—。铸件的售价为元/公斤。工厂现存三种可利用的生铁，存量很多，其性质如下表所示。此外，生产过程允许把锰直接加到熔化金属中。页眉表生铁性质表元素硅锰

生铁

生铁B0.5%

生铁0.6%0.4%

C各种可能的炉料费用如下：生铁

—210元/吨，生

—250元吨，生C—150元/吨，锰元/公斤。每熔化一公斤生铁要花费元，试问工厂在生产该铸件时，应如何选择炉料才能使利润最大。3.2确定决策变量设：表示生铁A的用量（吨）1

2

表示生铁B的用量（吨）3

表示生铁C的用量（吨）

4

表示纯锰的用量（吨）3.3确定目标函数总利润=总收入—总成本4.5150xx12333.4确定约束条件生产总量约束：1000x13成分约束：锰4.5x5.04.514硅40x55.02非负约束：x0124最后可以整理成下列线性规划模型：目标函数maxZ4500x200x80013

4

(3-12)(3-13)(3-14)(3-15)(3-16)s.t.

页眉x1000x10004140xxx55.03xx32.53xx,,4

(3-17)上述数学模型，可以用单纯形法计算，计算结果是：生铁

的用量为200吨生铁

的用量为100，生铁

C

的用量为50吨，纯锰的用量为吨。第四章

页眉线性规划在企业投资策中的应用在市场经济体制下，进行投资活动是企业财务工作的一项重要内容。一旦投资决策失误，就会严重影响企业的财务状况和现金流量，制约企业经济效益的提高，甚至会导致企业破产。因而企业管理者要慎重的进行投资决策。在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资源。首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策[面举例具体说明。工1.1问题提出某工厂只生产一种产品，工厂希望分六期来扩大它的生产力，每期一年。工厂的目标是希望在第六期末具有尽可能大的生产力。已知生产一个产品需用d下一期的开始时为工厂创r

元，耗费工厂一个单位生产能力，同时每个产品可以在元的收入。在每期扩建工程中可以采用两种不同的方案：A方案：扩建开始时，每扩建一个单位生产能力需要投资元，一年后即可投入使用。

B方扩建开始时没扩大一个单位生产能力需要投d

元两年后可投入使用。该工厂在第一期期初共有资金D

元，可用于生产和扩建。以后每期的生产和扩建费用完全依靠产品的消费收入。已知该工厂在第一期期初的生产能力为R。试用性规划进行决策。1.2确定决策变量设：X

表示第

期的生产量

表示第K

期用方案

扩建的生产能力5页眉

表示第K

期用方

扩建的生产能力表示第K期剩余的能力1.3目标函数工厂的目标是在第六期期末具有尽可能大的生产能力。考虑到在每期按方案

扩建的生产能力，一年后（即第二年）才能投入使用，按方案B

扩建的生产能力，二年后（即第三年）才能投入使用，所以第六期期末（即第七期年初）工厂按两种方案扩建的生产能力总计是RkK因为R是常数，所以目标函数可以写成maxkKK

1.4约束条件根据题意，每一期都有两个方面的约束。一方面是生产能力的限制：每期的生产能力应等于工厂用于生产产品的能力和剩余生产能力的和；另一方面是资金的限制：对于第一期来说，用于生产、扩建和剩余资金的总和应等于第一期期初工厂拥有的资金总额。第二期到第六期用于生产和扩建的资金应等于上一期产品的销售总额和上一期剩余的资金总和。按每一期分别考虑，有下面的各期约束条件如表所示将他们综合在一起，数学模型如：目标函数ZkK

[14]

(4-3)约束条件：xRK(AB)R,K2,3...,6tttd11

ABcxK

r

,

页眉x0,B0,0,K1,2,...,6kKKkA00表各期约束条件表时期第一期

开发量A,

生产量1

剩余资金1

可用资金D第二期

A,

2

2

xr11第三期第四期第五期第六期

ABA,AAB

x3x4x5x6

3456

xr22xr33xr44xr55可以分别得出约束条件：

Bc11xrxA221bBxr,xA33212br,xA332123dr,xAA545313xrxAAB66534123

企2.1问题提出工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同,在定生产计划时要考虑生产和贮存2种费用。生产费用通常取决于生产率(单位时间的产量,产率越高费用越大;贮存费用自然由已经生产出来的产品数量决定数量越多费用越大所谓生产计划这里简单的看作是到每一刻为止的累积产量。它与每单位时间（如每天）的产量可以互相推算。建模目的是寻求优化的生产计划使完成合同所需的总费用（生产与贮存费用之和）最小或尽可能的小。某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供台统一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及每台柴油机的成本如表4-9所示。又如果生产出来的柴页眉油机当季不交货，每台每积压一个季度，需要存储、维护等费用万元。要求在完成合同的情况下，作出使该厂全年生产（包括存储、维护）费用最小的决策表各季度柴油机成本表季度

2.2模型建立与分析

生产能力（台）25353010

单位成本（万元）10.811.111.011.3由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货所以x为i度生产的用于第jij季度交货的柴油机数。根据合同要求，必须满足：

101115121323143444

又每季度用于当季度和以后各季度交货的柴油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：

111213352223243033341044

i季度生产的用于j季度交货的柴油机的实际成本上存储、维护等费用的具体数值见表4-3.ij

ij

应该是该季度单位成本加I

表4-3各度柴油机的实际成本表IIIII

IV

810

i4i4页眉设用表示该厂第季度生产能力b表示i度的合同供应量则问题可写成：ijz

4

cijij

[15]

ij满足

xiji

ijixij

j

(4-10)2.3模型求解显然，这是一个产大于销的运输问题模型。注意到这个问题中ij时，ij所以应令对应的cMij

，

再加上一个假象的需求D，就可以把这个问题变成产销平衡的运输模型[13]，并写出传销平衡表和单位运价表（合在一起，见表4-4表单位运价表I

IIIII

IV

D

产量

10.8MMM

9510MM

M

11．

0000

25353010销量

1025

20

30表4-5经上作业法求解后的最终结果

IIIIII10155

IV

D30

产量2535销量

201010101530

3010页眉经用表上作业法求解，可得多个最优方案，表中列出最优方案之一。即I度生产25台10当季交货，台II季度交货；即第I