建筑力学 第章 位移

第14章静定杆系结构的位移计算[内容提要]本章介绍了杆系结构的位移计算；阐述了运用图乘法计算静定梁和刚架位移的方法；简要介绍了弹性体系的互等定理。14.1概述14.1.1结构的变形和位移

结构位移计算的方法有多种，归纳起来大致可分为两类：一类是几何物理方法，它是以杆件的几何变形关系为基础，如前面章节中关于计算梁挠度的积分方法；另外一类是以功能原理为基础，其中以虚功原理为基础的单位荷载法应用最为广泛。实际工程中任何结构都是由可变形固体材料组成的，在荷载作用下将会产生应力和应变，从而导致杆件尺寸和形状的改变，这种改变称之为变形，变形是结构(或其中的一部分)各点的位置发生相应的改变。同时，由于外荷载的作用下引起的结构各点的位置的改变称为结构的位移，结构的位移一般可分为线位移和角位移。例如图14-1(a)所示的刚架在外荷载q作用下发生如虚线所示的变形，截面A的形心沿某一方向移到了 ，则线段 称为A点的线位移，用表示。也可以用竖向位移和水平位移 两个位移分量表示，如图14-1(b)所示。同时，截面A还转动了一个角度 ，称为截面的转角位移。(a)(b)图14-1图14-2又如图14-2所示的简支刚架，在荷载P作用下发生虚线所示的变形，杆AB截面A处产生转角位移θA

，截面B处产生转角位移θB，这两个截面的转角的和，构成了A、B两截面的相对转角，即： 。同时，C、D两点沿水平方向产生线位移、，这两点线位移之和称为C、D两点的水平相对线位移，即：=+。除荷载引起结构位移外，其他因素如支座移动、温度变化、材料收缩和制造误差等，也能使结构产生位移。θAB=θA+θB

14.1.2计算静定杆系结构位移的目的计算结构位移的主要目的有如下三个方面：1．校核结构的刚度结构的刚度是反映结构在荷载作用下抵抗变形的能力大小，刚度越大，变形越小。为保证结构在使用过程中不致发生过大的变形而影响结构的正常使用，需要校核结构的刚度。例如，对于混凝土结构构件而言，根据我国《混凝土结构设计规范》(GB50010―2002)的有关规定，建筑结构中楼面主梁的最大挠度一般不能超过跨度的1/400；工业厂房中的吊车梁的最大挠度不可超过跨度的1/500~1/600。又如，当车辆通过桥梁时，假如桥梁挠度过大，将会导致线路不平，在车辆动荷载的作用下将会引起较大的冲击和振动，轻则引起乘客的不适，重则影响车辆的安全运行。按照我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTGD62―2004)的有关规定，梁式桥的最大挠度不能超过其计算跨径的1/300~1/600。2．便于结构、构件的制作和施工某些结构、构件在制作、施工架设等过程中需要预先知道该结构、构件可能发生的位移，以便采取必要的防范和加固措施，确保结构或构件将来的正常使用。例如图7-2(a)所示的桁架，在屋盖自重作用下其下弦各结点将产生虚线所示的竖向位移，结点C的竖向位移最大。为了减少桁架在使用时下弦各结点的竖向位移，在制作时要将下弦部分按“建筑起拱”的做法下料制作(图7-2b)，当拼接后结点C＇恰好落在C点的水平位置上。确定“建筑起拱”必须要计算桁架下弦结点C的竖向位移，以便确定起拱的高度。图14-33．为分析超静定结构创造条件因为超静定结构的内力计算单凭静力平衡条件是不能够完全确定的，还必须考虑变形条件才能求解，建立变形条件就需要进行结构位移的计算。另外，在结构的动力计算和稳定性计算中均要用到结构位移的计算。所以，结构位移计算在结构分析和实践中都具有重要的意义。应该指出的是，，这里所研究的的结构仅限于线线弹性变形体结结构，或者说，，结构的位移是是与荷载成正比比直线关系增减减的。因此，计计算位移时荷载载的影响可以应应用叠加原理。。换句话说，结结构必须具备如如下条件：(1)材料的受受力是在弹性范范围内，应力和和应变的关系满满足胡克定律；；(2)结构的变变形(或者位移移)是微小的。。线性变形结构也也称为线性弹性性结构，简称弹弹性结构。对于于位移与荷载不不成正比变化的的结构，叫做非非线性变形结构构。线性和非线线性变形结构，，统称为变形体体结构。14.2计算算静定杆系结构构位移的单位荷荷载法·图乘法法对于如图14-3所示的结构构，在两组荷载载、分分别独独立作用下，有有如下的等式：：(14-1)式中，称称为外力虚功功，为与与的乘积，即：： ；称为内力虚功，，为的加载过程中，所引起的内力在在引起起的相应变形上上做的功；为为结构在荷荷载作作用下处处发生的新新的位移。图14-4(14-1)式式即是虚功原理理(具体可参见见有关书籍)的的表达式，它是是本章讨论结构构在荷载作用的的位移计算问题题的理论依据。。为计算图示14-5(a)所所示一悬臂梁结结构在给定荷载载P作用下结构构上某一点产生生的变形，图14-5如C点沿α方向向产生的位移分分量Δ需通过在在C点沿所拟求求位移方向上虚虚设一无量纲的的集中力=1(见图图14-5(b))。其步骤如下：首先考虑结构上上B点处微段ds的三类变形形，求出微段两两端截面上的三三种相对位移(见图(c))：相对轴向位位移dλ=εds；相对对剪切位移dηη=γ0ds；相对转角角dθ=κds。然后将微段变形形加以集中化，即ds趋向于零零，但三种相对对位移仍存在。。最后运用虚功功原理，根据截截面B的相对位位移，对前述的的三种位移中的的ε、γ0、κ分别运用材材料力学的有关关知识，同时考考虑剪应力沿截截面的非均匀分分布而引入的修修正系数μ，并并对该悬臂结构构全梁长采用叠叠加原理，就可可求出C点的位位移Δ表达式如如下：上式中，、、、 分别别是虚设单位荷荷载在结构上引引起的弯矩、剪剪力、轴力；、、分分别是荷载P在结构上引起起的弯矩、剪力力、轴力。(14-2)(14-2)所所表示的求解位位移的方法称为为单位荷载法。。该法不仅适用用于静定结构，，而且也适用于于超静定结构；；并适用于线弹弹性材料和非线线弹性材料结构构。应用该方法法一次只能求解解一个位移，当当计算结果为正正时，表明所求求位移Δ的实际际指向与虚设的的单位荷载的指指向相同；若计计算结果为负时时，表明实际位位移方向与所设设单位力相反。。运用式(14-2)来求解结结构的位移时，，需要对结构进进行分段并按照照不同的积分项项来进行积分运运算，这样的计计算比较麻烦，，下面将介绍一一种图乘法来代代替上述的积分分运算，从而可可以达到简化计计算工作的目的的。弯曲杆件包包括弯曲、剪切切、轴向变形，，为叙述的方便便且不过于繁琐琐，仅以(14-2)式中第第一项弯矩部分分为代表进行叙叙述，其它两项项类同。运用图乘法时结结构的各杆段符符合下列条件：杆段的弯曲刚度度EI为常数：杆段的轴线为直直线：和两两个弯矩图中中至少有一个为为直线图形。对如图14-6所示的一等截面面直杆段AB上的两个弯矩图图，其中图图形为直直线图形，图图为任意形形状的图形，选选直线图的的基线(平行杆轴)为坐标轴x轴，它与图图的直线线的延长线的交交点O为原点，建立xoy坐标系如图所示示。图14-6由于AB杆段为为直杆且图为直线变化，，故ds可以用dx代替替，EI为常数数可以提到积分分号外面。则积积分式可简化为为式中，表表示图图中画画有阴影线的微微分面积。而表示该微分面积积对y轴的静矩矩，则积分式表表示AB杆段段上所有微分面面积对y轴的静静矩之和，即为为整个图图总面积对y轴的静矩。根据合力矩定理理，它应等于图图面积乘乘以其形心心C到y的距离离xc，即：(14-3)由直线图可知，，有(14-4)yC是图的形心C处对对应于图中中的纵距。把它代代入式(14-3)，有：(14-5)弯矩图上的纵距，，再除以。。这就是所所谓的图形互乘法法，简称为图乘法法。若结构所有各杆件件都符合图乘条件件，则对式(14-5)求和既得得计算结构位移的的图乘法公式：(14-6)根据推导图乘法计计算位移公式的过过程，可见在使用用图乘法时应注意意如下几点：结构的各杆段必须须符合前面所述的的三个条件；纵距的值值必须从直线图形形上选取，且与另另一图形面积形心心相对应；图乘法的正负号规规定是：面积和和纵距若若在杆件件的同一侧，其乘乘积去正号，否则则取负号。图14-7给出了了位移计算中几种种常见图形的面积积和形心的位置。。在应用抛物线图图形的公式时，必必须注意在顶点处处的切线应与基线线平行。图14-7下面就图乘法在应应用中所遇到的计计算问题说明如下下：如果和两个弯矩图均为直直线图形(图14-8)，可取其中任一个图图形作为面积，乘上其形心所对应应的另一直线图形形上的纵距，，所得计计算结果不变，即即图14-8图14-9如果一个图形是曲曲线，另一个图形形是由若干个直线线段组成的折线图图形(图14-9)，则应按折线分段段进行图乘。(14-7)3.如果两个图形都是是在同一边的梯形形(图14-10)，不必求出梯形的的形心位置或面积积，而是将图图的梯形分解为为两个三角形(或一个矩形和一个个三角形)，分别与另一个梯梯形对应相乘后再再进行叠加，即图14-10图14-11上式中，，，，，，又如图14-11所示的两个反梯梯形的直线图形，，仍可以用梯形分分解法，将图图分解为位于基基线两侧的两个三三角形，其面积分分别为、、，，它们所对应的图形形纵距分别为、、。则有上式中，，，，，，，(14-8)(14-9)4.如果遇到均布荷载载q作用下某段杆杆段较复杂的图图(图14-12)，可根据据弯矩图叠加原理理将其分解为一个个梯形和一个标准准二次抛物线图形形的叠加。再分别别与图相乘乘，取其代数和，，就能较方便的求求出计算结果。图14-12应当指出，所谓弯弯矩图的叠加，是是指其纵距的叠加加，而不是原图形形的简单拼合。理理解上述道理，对对于分解复杂的弯弯矩图是非常有用用的。14.1.1用图图乘法计算梁的位位移对于梁而言，它受受弯变形时产生的的位移，远大于因因剪力和轴力产生生的位移。故计算算梁的位移时，我我们只考虑由弯矩矩产生的位移。下下面将通过几个算算例对图乘法的使使用予以说明。【例14-1】试用图乘法求图14-13所示悬悬臂梁端点B和中中点C的竖向位移移和截面B的转角，在在图中杆截面的为为常数。解：1、在B、C点点施加竖向单位荷荷载=1和和=1求求B、C点的竖向向位移、，在B点施加单位力力偶=1求求B点的转角。。2.分别作出梁梁在实际荷载作用用下的图图、虚单位力和虚虚单位力偶作用下下的图、、图图和图如如图14-10所所示3.计算B端的竖竖向位移图14-13取图中的图图作为面积，，再从图图中取形心对应的的纵距。。应用图乘法便便得由于、、图都在基基线同一边取正值值，即位移向下。4.计算C端的竖竖向位移取图中的作为面积，再从图中中取形心对对应的纵距。应用图乘法便得得5.计算B端截面面的转角仍取图中的图图为面积积又从图中中取形心对应的的纵距()由于、、图形均在在基线同一边取正正值，故转角顺顺时针转动。。【例14-2】试试用图乘法求图14-14所示简简支梁在均布荷载载q和跨中集中荷荷载P作用下中点点C的竖向位移和和截面B的转角,在图中杆截面面的为常常数。图14-14解：1、分别作出简简支梁在均布荷载载q和跨中集中荷荷载P作用下的Mp1图和Mp2图(如图14-14(b)、(c)所示)2、分别在中点C、端点B施加单单位竖向荷载和单单位力偶矩并做出出相应的图图、图(如图图14-14(d)、(e)所示示)3、求C点的竖向向位移。分别别取Mp1、Mp2作为面积并取图图中形心对应应的纵距进行图乘乘，得4、求B点的转角角。同理，分分别用Mp1、Mp2作为面积并取图图中形心对应应的纵距进行图乘乘，得计算结果为负值，，表明B点的实际际转角和虚设单位位荷载的转角相反反。【例14-3】试试用图乘法求图14-15(a)所示静定多跨梁梁在边跨跨中集中中荷载P作用下点点D的竖向位移，，在图中杆截面面的为常数数。()图14-15解：1、分别作出集集中荷载P和虚设设竖向单位荷载作作用下的Mp图和图2、取Mp为面积并取中中形心对应的纵纵距进行图乘，得得14.2.2用用图乘法计算刚架架的位移对于刚架而言，弯弯矩是使刚架产生生变形的主要内力力，计算位移时可可忽略剪力和轴力力的影响。从而计计算刚架的位移时时，可只考虑对弯弯矩进行图乘。下下面将通过两个算算例对图乘法计算算刚架的位移来进进行说明。【例14-4】试试用图乘法求图14-15(a)所示静定刚架在在水平集中荷载P作用下点B的水水平位移，，在图中杆截面面的为常常数。图14-15解：1、分别作出刚刚架在水平荷载P和虚设水平单位位荷载作用下的Mp图和图2、根据图乘法各各杆分别图乘然后后叠加，得计算结果为负值，，表明B点的实际际位移与假设单位位荷载指向相反，，即位移向右。例14-5试用用图乘法求图14-16所示静定定刚架在竖向均布布荷载作用下点C、D两点的相对对位移(广广义位移)，在图图中杆截面的为为常数。图14-16解：绘出Mp图如图14-16(b)所示，沿沿C、D点连线上上加一对大小相等等，方向相反的单单位荷载，并作出出刚架的图图如图14-16(c)所示。由由图乘法可计算结果为正值，，表明假设方向与与实际方向一致，，即C、D两点相相互靠拢。※14.3由支支座移动引起的静静定杆系结构位移移的计算设如图14-14所示的静定结构构，其支座发生了了水平位移C1，竖向位移C2和转角C3，现要求由此引引起的任一点沿任任一方向的位移，，例如K点的竖向向位移。图14-14对于静定结构，支支座发生位移并不不引起内力，因而而材料不会发生变变形，故此时结构构的位移属于刚体体位移，通常不难难由几何关系求得得，但是这里仍用用虚功原理来计算算这种位移。此时时，位移的计算一一般公式为：这就是静定结构在在支座移动时的位位移计算公式。式式中为为虚拟状态的支座座反力，为为反力虚虚功，当与与实际支座位位移方向一一致时其乘积为正正，相反为负。此此外，上式前面还还有一负号，系原原来移项时所得，，不可漏掉。(14-10)【例14-5】图图14-19所示示一静定刚架，若若支座A发生如图图所示的移动，试试求C点的水平位位移和竖向位移。。其中c1=5mm，c2=20mm。图14-19解：在C点上分别加加上一水平单位力力和竖向单位力，，求出其支座反力力，如图所示，由由公式得到C点的的水平位移和竖向向位移为*14.4弹性性体系的互等定理理本节简要介绍线弹弹性体系的四个互互等定理，其中最最常用的是功的互互等定理，其它三三个互等定理都可可以由此推导出来来。这些定理在以以后的章节中是经经常用到的。1、功的互等定理理如图14-20所所示的一简支梁分分别承受两组外力力P1和P2，我们称之为两种种状态，其中为第第一种状态，图为为第二种状态。在在力P1作用下位置2处产产生的位移为21，在力P2作用下位置1处产产生的位移为12，则根据虚功原理理有外力P1和12的乘积等于外力P2和21的乘积，图14-20即：P1×12=P2×式(14-8)表表明：第一状态的的外力在第二状态态的位移上所做的的虚功，等于第二二状态的外力在第第一状态的位移上上所做的虚功。这这就是功的互等定定理。2、位移互等定理理功的互等定理是最最基本的。根据该该定理，假设两个个状态的荷载都是是单位力，即P1=1、P2=1，则由功的互互等定理即式(14-8)有21(14-11)1×=1×即=此处的12、21都是由于单位力所所引起的位移，为为了明显起见，改改用小写字母和和表示示，于是将上式写写成=这就是位移互等定定理。它表明：第第二个单位力所引引起的第一个单位位力作用点沿其方方向的位移，等于于第一个单位力所所引起的第二个单单位力作用点沿其其方向的位移。12211221(14-12)需要指出的是，这这里的力可也是集集中力，也可以是是力偶，即可以是是广义单位力。位位移也可以包括角角位移，即是相应应的广义位移。3、反力互等定理理这个定理也是功的的互等定理的一个个特殊情况。它用用来说明在超静定定结构中假设两个个支座分别产生单单位位移时，两个个状态中反力的互互等关系。图14-21(a)表表示支座1发生单单位位移图14-21=1时的状态，此此时使支座2产生生的反力为，，图14-12(b)表示支座座2发生单位位移移=1时的状状态，此时使支座座1产生的反力为为。rij称为反力影响系数数。根据功的互等等定理，有而==1故得=这就是反力互等定定理。它表明：支支座1发生单位位位移所引起的支座座2的反力，等于于支座2发生单位位位移所引起的支支座1的反力。(14-13)这一定理对结构上上任何两个支座都都适用，但应注意意反力和位移在做做功的关系上应相相对应，即力对应应线位移，力偶对对应角位移4、反力位移互等等定理这个定理是功的互互等定理的又一特特殊情况，它说明明一个状态中的反反力和另一个状态态中的位移具有互互等的关系。图中中表示单位荷载F2=1作用时，，支座1的反力偶偶为，其方向设图14-22如图所示。图表示示支座1顺的的方向发生单位位转角=1时，作用点点沿其方向的位移移为。对这这两个状态应用功功的互等定理，就就有现在=1，，F2=1，故有这就是反力位移互互等定理。它表明明：单位力所引起起的结构某支座反反力，等于该支座座发生单位位移时时所引起的单位力力作用点沿其方向向的位移，但符号号相反。(14-14)小结本章主要介绍了梁梁和刚架两种静定定杆系结构的位移移计算和弹性体系系的互等定理，并并着重介绍了利用用图乘法计算梁和和刚架的位移的适适用条件及有关步步骤。静定杆系结构的位位移计算是以虚功功原理为基础，利利用虚设单位荷载载来求解结构的位位移。鉴于单位荷荷载法要进行积分分计算，为避免计计算过程的复杂，，在一定的条件下下，可利用图乘法法来进行求解。图乘法的适用条件件是：杆段的弯曲刚度EI为常数：杆段的轴线为直线线：和两两个弯矩图中至少少有一个为直线图图形。图乘法的求解步骤骤