贵州省湄潭中学2022届高三第五次月考理科数学模拟试题

湄潭中学2022届高三第五次月考理科数学试题选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的.）1．若集合A＝{≥eq\f(1,2)}，则∁RA＝()A．(－∞，0]∪(eq\f(\r(2),2)，＋∞)B．(eq\f(\r(2),2)，＋∞)C．(－∞，0]∪[eq\f(\r(2),2)，＋∞)D．[eq\f(\r(2),2)，＋∞)2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,2x，x≤0，))则f[f(eq\f(1,9))]＝()A.4B.eq\f(1,4)C.－4D.－eq\f(1,4)3．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|eq\r(x)≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2}D．{0,1,2}4．函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的图象的一个对称中心坐标是()A．(eq\f(3π,8)，0)B．(eq\f(3π,8)，1)C．(eq\f(π,8)，1)D．(－eq\f(π,8)，－1)5．函数f(x)＝cos2x－2cos2eq\f(x,2)的一个单调增区间是()A.(eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))B.(eq\f(π,6)，eq\f(π,2))C.(0，eq\f(π,3))D.(－eq\f(π,6)，eq\f(π,6))6．函数y＝x＋cosx的大致图象是()7．关于x的不等式|cosx＋lg(9－x2)|<|cosx|＋|lg(9－x2)|的解集为()A.(－3，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，3)B.(－2eq\r(2)，－eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，2eq\r(2))C.(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D.(－3,3)8．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a5＝19，S5＝55，则过点P(3,a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是()A.4B.eq\f(1,4)C.－4D.－149．向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，下列向量中与向量eq\r(3)i＋j垂直的是()A．2i＋2eq\r(3)jB．－i＋eq\r(3)jC．2i＋eq\r(3)jD．－i－eq\r(3)j10．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是eq\f(1,13)、eq\f(1,11)、eq\f(1,5)，则此人将()A.不能作出满足要求的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形11．已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确的是()A.(a＋b)⊥(a－b)B.a与b的夹角等于α－βC.|a＋b|＋|a－b|>2D.a与b在a＋b方向上的投影相等12．把函数y＝lg(3x)的图象按向量a平移，得到函数y＝lg(x＋1)的图象，则a＝()A.(－1，lg3)B.(1，－lg3)C.(－1，－lg3)D.(eq\f(1,3)，0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，则tanα＝________.14．设定义在区间(0，eq\f(π,2))上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．15．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.16．已知点P是抛物线y＝2x2＋1上的动点，定点A(0,1)，若点M分eq\o(PA,\s\up12(→))所成的比为2，则点M的轨迹是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq\f(π,12)时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期与解析式；(3)若f(eq\f(2,3)α＋eq\f(π,12))＝eq\f(12,5)，求sinα.18．(12分)(2022年湖南)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．19．(10分)已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．20．(12分)已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点．(1)若|eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))|＝eq\r(2)，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足meq\o(OA,\s\up12(→))＋neq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))，求(m－3)2＋n2的最大值．21．(12分)已知函数f(x)＝lgeq\f(1＋2x＋4x·a,a2－a＋1)，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．22．(12分)(2022年沈阳)△ABC中，m＝(sinA，cosC)，n＝(cosB，sinA)，m·n＝sinB＋sinC.(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围．

湄潭中学2022届高三理科数学第五次月考试题答题卡（审题：高中数学组）第Ⅰ卷（共60分）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题，共60分）题号123456789101112总分答案二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）(13).（14).(15).(16).三、解答题：（本大题有6小题，共70分.注意：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）(本题12分)（18）(本题12分)（19）(本题12分)（20）(本题12分)（21）(本题12分)（22）(本题12分)

湄潭中学2022届高三文科数学第五次月考答案（命题：王先辉）（审题：高中数学组）第I卷（选择题，共60分）选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.）题号123456789101112总分答案ABDBABBABDBC二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）(13)[答案]－eq\f(1,2)（14)[答案]eq\f(2,3)(15)[答案]eq\r(3)(16)[答案]y＝6x2＋1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq\f(π,12)时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f(eq\f(2,3)α＋eq\f(π,12))＝eq\f(12,5)，求sinα.[解](1)T＝eq\f(2π,3).(2)由题设可知A＝4且sin(3×eq\f(π,12)＋φ)＝1，则φ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，得φ＝eq\f(π,4)＋2kπ(k∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝4sin(3x＋eq\f(π,4))．(3)∵f(eq\f(2,3)α＋eq\f(π,12))＝4sin(2α＋eq\f(π,2))＝4cos2α＝eq\f(12,5)，∴cos2α＝eq\f(3,5).∴sin2α＝eq\f(1,2)(1－cos2α)＝eq\f(1,5).∴sinα＝±eq\f(\r(5),5).18．(12分)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．[解](1)因为f(x)＝sin2x－(1－cos2x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－1.所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知，当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)时，f(x)取最大值eq\r(2)－1.因此函数f(x)取最大值时x的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,8)，k∈Z)))).19．(12分)已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．[解]设a的终点坐标为(m，n)，则a＝(m－3，n＋1)，∵a⊥b，∴由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3m－3＋4n＋1＝0①,m－32＋n＋12＝1②))由①得：n＝eq\f(1,4)(3m－13)代入②得25m2－解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m1＝\f(19,5)，,n1＝－\f(2,5).))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝\f(11,5)，,n2＝－\f(8,5).))∴a的终点坐标是(eq\f(19,5)，－eq\f(2,5))或(eq\f(11,5)，－eq\f(8,5))．20．(12分)已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点．(1)若|eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))|＝eq\r(2)，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足meq\o(OA,\s\up12(→))＋neq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))，求(m－3)2＋n2的最大值．[解](1)∵|eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|，∴|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＝(eq\r(2)cosθ－1)2＋(eq\r(2)sinθ－1)2＝－2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋4.∴－2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋4＝2，即sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(2),2)，两边平方得1＋sin2θ＝eq\f(1,2)，∴sin2θ＝－eq\f(1,2).(2)由已知得：(m，m)＋(n，－n)＝(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝\r(2)cosθ，,m－n＝\r(2)sinθ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(\r(2),2)cosθ＋sinθ，,n＝\f(\r(2),2)cosθ－sinθ，))∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＝－3eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋10＝－6sin(θ＋eq\f(π,4))＋10，∴当sin(θ＋eq\f(π,4))＝－1时，(m－3)2＋n2取得最大值16.21．(12分)已知函数f(x)＝lgeq\f(1＋2x＋4x·a,a2－a＋1)，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．[解]eq\f(1＋2x＋4x·a,a2－a＋1)＞0，且a2－a＋1＝(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，∴1＋2x＋4x·a＞0，a＞－(eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x))，当x∈(－∞，1]时，y＝eq\f(1,4x)与y＝eq\f(1,2x)都是减函数，∴y＝－(eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x))在(－∞，1]上