位场处理与解释技术电法

位场处理与解释技术电法第1页/共282页数值解法的种类有限差分法（FiniteDifferenceMethodsFDM）有限元素法（FiniteElementsMethodsFEM）体积分方程法(VolumeIntegralEquationMethodsVIEM)边界元素法(BoundaryElementsMethodsBEM))混合法(HybridMethods)………第2页/共282页4.数值解法的种类第3页/共282页8.1狄拉克δ函数第8章

电法勘探中场的基本关系式8.1.1δ函数的定义有：第4页/共282页因为：可以粗糙的理解为满足下列条件的一个较通常意义更广的“函数”：及：注意不能取δ（0）为有限常数第5页/共282页及：第6页/共282页对于一个有限的研究域，关于δ函数有：第7页/共282页当x0=(x10，x20)在D外，由(8．1．5)式知δ在D及其边界上恒为零，这时(8．1．7)式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0=(x10，x20)在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故从而由(8．1．4)式可知(8．1．7)式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界的情况，令B(x0,ε)是以x0为圆心、ε为半径的开圆(在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球)，注意到δ在B(x0,ε)的外部和边界上为零式中DnB表示D域和B圆重合的部分，即图8．1中阴影部分，另外有第8页/共282页因为Г在x0附近光滑，故当ε趋于零时，DnB域趋于半圆，这样，由以上两式有第9页/共282页8.1.2δ函数的性质及其傅氏变换由8.1.7式有：线性性：筛选性：由于：可知：第10页/共282页褶积：于是：傅氏变换：余弦变换：第11页/共282页8.2.1基本关系式的导出8.2稳定电流场的基本关系式第12页/共282页所以8.2.5式可以写成：直流电法的基本微分方程第13页/共282页在无源空间：普遍性边界条件：第一类边界条件，或称为狄里希莱条件。第二类边界条件，或称为偌依曼条件。混合边界条件：第14页/共282页在实际应用中．发现在离点源某一距离之外由式(8．2．11)条件计算所得的值低于解析计算值，而用由式(8．2．12)条件计算所得值高于解析值。因此提出了混合边界条件：对于点源和均匀介质的情况，其电位有下面的一般形式式中θ为点源到计算点的径向矢量和外法线矢量之间的夹角。所以上式改写为第15页/共282页8.2.2点源二维地电问题对两边进行傅氏变换：可得：将三维问题变成了二维问题或：第16页/共282页对(8．2．15)式两边进行傅氏变换．考虑到左部前面几项由于积分和微分是对不同变量进行，因而可以互换顺序，后一项利用傅氏变换的微分定理，可得对(8．2．15)式右端进行傅氏变换，考虑到最后可得第17页/共282页第18页/共282页第19页/共282页设：两边对于y做傅氏变换得：由（8.2.21）式得：（8.2.21）代入（8.2.22）得：或：在(x，y，z)空间均匀介质中点源的电位随距离成反比变化，即k0为零阶修正贝塞尔函数，k1为一阶修正贝塞尔函数，θ为矢径和边界处法线之间的夹角，取γ=0，即为第二类边界条件第20页/共282页8.3电磁场基本方程麦克斯韦方程：第21页/共282页第22页/共282页第23页/共282页8.3.1大地电磁测深式8.3.16是因为导电介质内部体电荷密度实际上是不存在的，这里时间因子都包含在场E和H之中，随时间变化的电场和磁场相互激励、相互转化，并以波的形式在介质中传播。当然传播特性将与介质的电性参数有关。第24页/共282页第25页/共282页第26页/共282页设介质是二维的，取x轴垂直构造走向，y轴平行构造走向，z轴仍然垂直向下。这时由于电阻率(或导电率)沿y轴无变化，相应的电磁场沿y轴也应是稳定的。即有第27页/共282页第28页/共282页计算区域及边界条件第29页/共282页第30页/共282页第31页/共282页第32页/共282页第33页/共282页8.4电法勘探电场的积分表达式8．4．1泊松积分大家知道，在各种形式的直流电法勘探中，构成视电阻率异常的畸变电场实际上是由地下电性不均匀界面上的积累电荷形成的。从物理学中早已知道，当电流流过不同电阻串介质的分界面时，在分界面上要产生电荷的积累，这个现象有时也称为麦克斯韦—维纳效应。现考虑不均匀介质中存在一个稳定电流源的情况，介质中任一点的电场强度有下面关系第34页/共282页上式说明在介质中电阻率不为常数的地方，存在着电荷的分布；若介质中电阻宰为常数时，

为零，电荷密度g也为零。在电法勘探中，主要考虑电性分区均匀的导电介质，这时，除了电性界面以外，处处

等零，体电荷密度变为面电荷密度，为简单计，该两种电荷密度本书均用g表示，读者要注意在不同地方具有不同的意义。在电性界面上积累电荷密度的数值和界面两侧介质的电阻率有关，还与界面的几何形状和电源的位置等有关。第35页/共282页第36页/共282页第37页/共282页第38页/共282页第39页/共282页第40页/共282页第41页/共282页第42页/共282页第43页/共282页第44页/共282页第45页/共282页第46页/共282页有限差分方法时域有限差分法(FDTD,Finite-DifferenceTime-Domain)是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应号称目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中关键的三大要素差分格式解的稳定性吸收边界条件FDTD的特点广泛的应用性节约运算和存储空间适合并行计算计算程序的通用性简单直观，容易掌握第47页/共282页基本思想微分方程差分方程有限差商第48页/共282页第49页/共282页§3.10有限差分法第50页/共282页第51页/共282页差分格式前差分后差分中心差分

有限差分法第52页/共282页53

任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶前差分为

第53页/共282页54二阶差商多取中心式，即

当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。

第54页/共282页55差分原理以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为（1-12）（1-13）第55页/共282页56差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。2．逼近误差第56页/共282页57逼近误差

一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）第57页/共282页58逼近误差将与的Taylor展开式相减可得可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）第58页/共282页59逼近误差将与的Taylor展开式相加可得这说明二阶中心差商的精度也为二阶

（1-18）第59页/共282页60逼近误差设有函数f(x)，自变量x的增量为，若取

对应的函数值为，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为

式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。

（1-19）（1-20）当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且时，称为中心差分。第60页/共282页61逼近误差表2表1

nj01234aj1-1121-213-13-3141-46-41nj-4-3-2-10aj1-1121-213-13-3141-46-41

其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；第61页/共282页62逼近误差nJ012345Aj1-34-122-54-13-518-2414-343-1426-2411-2表3nJ-5-4-3-2-10Aj11-432-14-5233-1424-1854-211-2426-143表4nj-2-1012aj1-10121-213-120-2141-46-41表5表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；第62页/共282页63逼近误差nJ-3-2-10123aj11-808-12-116-3016-131-8130-138-14-112-3956-3912-1表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。表6第63页/共282页64在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图中的，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox

图1-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商

一阶中心差商

（1-22）（1-23）第64页/共282页65

均匀和非均匀网格实例1第65页/共282页66

均匀和非均匀网格实例2第66页/共282页67差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）第67页/共282页68

图2-1

差分网格差分方程第68页/共282页69若时间导数用一阶向前差商近似代替，即空间导数用一阶中心差商近似代替，即则在点的对流方程就可近似地写作

（2-2）（2-3）（2-4）第69页/共282页70

截断误差按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为,用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是

这也可由Taylor展开得到。因为（2-5）（2-6）第70页/共282页71

截断误差一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为

这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：

初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）第71页/共282页72截断误差FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）（2-11）FTBS格式第72页/共282页73

(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2差分格式第73页/共282页74

FTCS格式的截断误差为FTFS和FTBS格式的截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对都有一阶精度。第74页/共282页75

一般说来，若微分方程为其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为其中是差分算子，则截断误差为这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。（2-14）

（2-15）（2-16）如果当、时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，即则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当、时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。（2-17）第75页/共282页76

若微分问题的定解条件为

其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为其中是差分算子，则截断误差为（2-18）（2-19）（2-20）第76页/共282页5.实例第77页/共282页§3.10有限差分法第78页/共282页图3.10.2§3.10有限差分法第79页/共282页§3.10有限差分法第80页/共282页§3.10有限差分法－4－4－4－4－4－4－4－4－4第81页/共282页§3.10有限差分法第82页/共282页§3.10有限差分法值.第83页/共282页§3.10有限差分法第84页/共282页§3.10有限差分法第85页/共282页以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。设边值问题是(1)决定离散点的分布方式。按正方网格划分，网格边长（步长）h，网格线的交点称结点。设结点O上的电位为(xo,yo)=o,结点1，2，3，4上的电位为1，2，3，4。第86页/共282页任一点x的电位考虑1，3两点x1=xo+h,x3=xo-h第87页/共282页第88页/共282页边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数f(s)的值赋予各边界结点。

3．差分方程的解法设将场域划分如图.边界上的值分别为f1,………f16。在各内点上作出差分，泊松方程变成下列差分方程组第89页/共282页第90页/共282页解出关于1，2…..9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。

算法简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。（2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利用第91页/共282页计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。第92页/共282页如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值。第93页/共282页简单迭代法收敛慢。超松弛法的改进：

（1）

即计算（j，k）点时，左边点（j-1,k）和下面点（j，k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。

（2）将上式写成增量的形式，引进加速收敛因子，在1－2之间。

迭代方法：超松弛法第94页/共282页加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。最佳收敛因子0的取值随问题而异。对第一类边值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结点数p＋1，则

第95页/共282页一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位4＝100。求槽内电位分布。例3.解：二维场第一类边值问题。将二维场域划分成正方形网格，步距h＝a/4。场域内任一点电位应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式。第96页/共282页采用超松弛迭代方法。迭代公式按

可算得＝1.17,所有内点从零值初始值开始迭代求解。本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。第97页/共282页迭代次数N分别为1，2，3，4时各网格内点的数值解如图。第98页/共282页若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于10－5，得到各内点的电位数值解如图。此时N＝13。从结果看电位分布关于y轴有对称性。实际计算可只一半区域，而将网格划分得更细。以得到更理想到数值解。第99页/共282页100有限差分通常采用的步骤采用一定的网格划分方式离散化场域对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解FDTD就是按照这个步骤，结合自身的特点进行!第100页/共282页一.数值稳定性条件问题的提出时间步长△t，空间步长△x,△y,△z必须满足一定的关系，否则就使得数值表现不稳定，表现为：随着计算步数的增加，计算场量的数值会无限的增大，这种增大不是由于误差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造成的。所以△t,△x,△y,△z必须满足一定的关系以保证稳定性第101页/共282页数值稳定性的条件当⊿x=⊿y=⊿z的时候，即：空间步长相等的时候:数值稳定的条件：而一般取：当△

x,△

y,△z不相等时：C：为光速，自由空间中：是根据电磁原理用数学推导出来的，这里只给出结论，即保证数值稳定的条件如下：第102页/共282页产生原因FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须考虑适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到理想情况（我们实验只需考虑这种特殊情况）3-D方形网格：取波沿对角线传播

(数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。2-D方形网格:也是沿对角线传播，

（也是数值稳定的极限状态）1-D网格(数值稳定的极限状态)数值色散第103页/共282页二.边界条件问题的提出在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放的，电磁场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能模拟有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。使传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。第104页/共282页第105页/共282页第106页/共282页第107页/共282页第108页/共282页第109页/共282页第110页/共282页第111页/共282页第112页/共282页第113页/共282页第114页/共282页第115页/共282页第116页/共282页第117页/共282页第118页/共282页第119页/共282页第120页/共282页第121页/共282页第122页/共282页第123页/共282页第124页/共282页第125页/共282页第126页/共282页第127页/共282页第128页/共282页129算法的复杂度和可并行性时间复杂度与网格个数成正比空间复杂度自由空间中也是与网格个数成正比并行的可行性串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况下，可以同时计算多个点的场值每一步计算只与附近的点有数据依赖关系第129页/共282页有限差分法是从电场或电磁场所满足的微分方程的边界条件出发，将微分方程转变为差分方程，其步骤是：首先将研究区域按一定方式（如长方形单元）离散化，然后在每个单元内没位、场呈线性变化，电性为均匀，因为微分方程中的微分就可以用差分来代替，于是就可以建立一组线性方程组。求解该方程组，即得相应的位、场分布。10.电法勘探数值模拟的有限差分法10.1面积离散的点源二维有限差分法第130页/共282页10.1.1对应的差分方程对于（10.1.1）沿ΔAij积分得：格林函数：第131页/共282页（10.1.1）的第二项为：最后整理得：第132页/共282页式中：第133页/共282页10.1.2边界条件的处理（1）地面节点（2）地面上左右角点边界条件：第134页/共282页对左角点有：式中：对右角点有：第135页/共282页对底边节点对底边左右角点第136页/共282页左边界节点第137页/共282页对右边界节点：10．1．3容量矩阵的特点容量矩阵第138页/共282页10.1.3容量矩阵的特点可以证明容量矩阵是一个对称正定、稀疏带状和对角点优的距阵。即具有且：矩阵的每行或每列，最多只有5个元素不为零，且该不为零的元素均分布在对角线元素两边带宽为2M＋1的带中，其他元素均为零；第139页/共282页10.2节点离散形式混合边界条件：利用（8.2.20）式进行节点离散：10.2.1差分方程第140页/共282页第一项：第二项：第三项：第四项：（10.2.1）方程的左边第141页/共282页（10.2.1）方程的右边项可写成：第142页/共282页第143页/共282页10.2.2边界条件的处理（1）地面上的边界节点满足偌依曼条件：第144页/共282页所以：（2）地面左右边角点应用混合边界条件第145页/共282页（3）底部边界上的节点第146页/共282页（4）底部左右角点第147页/共282页（5）左边界节点第148页/共282页（5）左边界节点第149页/共282页10.2.3容量矩阵的特点第150页/共282页第151页/共282页10.3.1网格单元与边界条件的选择10.3有关方法技术及应用效果有限差分法是利用差分代替微分，用差分方程代替微分方程。因此，用来求取差分的各节点距的选样，将直接影响差分代替微分的精度。按理论上分析，节点距趋于零时差分就等于微分，所以我们总希望节点距小一些为好；另外有限差分法要求在节点所形成的单元面积内的电性必须均匀，因此，对于复杂的地电断面，为了保证精度，也希望用较小的单元去模拟它，使每个单元内才能保证均匀的电性。但是，另一方面从计算量的角度考虑，单元越小，要保持网格区域大小不变的话，只有增加内部节点的个数，必然增加线性方程组的阶数，这就增加了计算系数距阵的工作量和解方程的工作量。所以，真正兼顾到精度和计算量。网格区域大小直接与边界条件的选择有关，所以在实际应用中采用中心密，边缘稀，逐渐放大的网格，这样既保证对地电断面复杂地段置于中心密区能较好地模拟，又保证网格足够大，同时将测量装置置于中心密区可以较好地保证精度。第152页/共282页10.3.2应用效果第153页/共282页第154页/共282页（2）实测资料处理结果第155页/共282页第9章电法数值模拟的有限单元方法

第156页/共282页第157页/共282页第158页/共282页第159页/共282页

有限元素法基本概念：元素(element)，节点(node)，连結元素

有限元素法的基本思想:实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解.有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.元素与与元素间以“节点”相连.由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.采用內插法求得元素內任意点的物理量.第160页/共282页

如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法求近似解．近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等．

变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变分问题即是求泛函的极值问题．把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解．第161页/共282页变分法的优点:

(2)

变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．(1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；第162页/共282页(3)

变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；(4)

变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．第163页/共282页有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．

变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论．第164页/共282页

变分法的基本概念变分法变分问题

变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题．1.1泛函

变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．第165页/共282页

考虑著名的最速降线落径问题。如图1所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小．第166页/共282页我们知道，此时质点的速度是

因此从A滑到B所需的时间为即为第167页/共282页式中代表对求一阶导数．我们称上述的为的泛函，而称为可取的函数类，为泛函的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数的那种含义）．一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，如果对于C的任一元素在B中都有一个元素与之对应，

第168页/共282页则称为的泛函，记为

必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数本身的变化（即从A到B的不同曲线）值，也不取决所引起的．它的值既不取决于某一个第169页/共282页于某一个值，而是取决于整个集合C中与的函数关系．定义:泛函泛函的核

泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式（17.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为(17.1.2)第170页/共282页其中称为泛函的核．1.2泛函的极值――变分法对于不同的自变量函数，与此相应的泛函也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数，使泛函

具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为泛函的极值．第171页/共282页引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函的极小值问题．物理学中常见的有光学中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法．研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，即直接分析所提出的问题；

第172页/共282页另一类叫间接法，即把问题转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．1.3变分

定义

变分

如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为并定义与函数曲线邻近的曲线（或略为变形的第173页/共282页曲线）作为比较曲线，记为其中是一个小参数；是一个具有二阶导数的任意选定函数，规定它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将固定，而令变化，这样规定的好处在于：建立了由参数第174页/共282页到泛函值之间的对应关系，因此泛函就成为了参数的普通函数．原来泛函的极值问题就成为普通函数对的求极值的问题．同时，函数曲线的变分定义为(17.1.3)因此可得(17.1.4)第175页/共282页这里代表对求一阶导数．

所以(17.1.5)即变分和微分可以交换次序．

1.4泛函的变分

泛函的变分泛函的增量变分问题泛函的变分定义为第176页/共282页(17.1.6)在极值曲线附近，泛函

的增量，定义为(17.1.7)依照上述约定，当时，泛函增量的线性主要部分定义为泛函的变分，记为第177页/共282页(17.1.8)

在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法．第178页/共282页2泛函的极值

泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的．因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关．另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等．下面我们首先讨论泛函的极值的必要条件．第179页/共282页2.1泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程

设的极值问题有解（17.2.1）

现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分则可视为参数的函数而当时，第180页/共282页对应于式(17.2.1),即为取极值．于是原来的泛函极值问题，就化为一个求普通函数的极值问题．由函数取极值的必要条件，有即有（17.2.2）第181页/共282页

1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，即（17.1.2）若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点的任意曲线进行的，其中第182页/共282页泛函中为由于两端固定，所以要求，即．由(17.1.8)，有（17.2.3）第183页/共282页式(17.2.3)的积分号下既有，又有，对第二项应用分部积分法可使积分号下出现(17.2.4)根据（17.2.2）,所以,再根据（17.2.4）故有（17.2.5）第184页/共282页

因为并且是任意的，所以(17.2.6)

上式(17.2.6)称为欧拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange）方程，简称为E-L方程．此即泛函取极值的必要条件．即泛函的极值函数必须是满足泛函的变分的函数类．因此，第185页/共282页把泛函的极值问题称为变分问题．

注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件．如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极值．E-L方程除了上面给出的形式(17.2.6)之外，另外还有四种特殊情况：第186页/共282页(1)不显含且因为若E-L方程等价于

（17.2.7）第187页/共282页(2)不依赖于且则E-L方程化为

（17.2.8）(3)不依赖于且则E-L方程化为（17.2.9）第188页/共282页由此可见仅为的函数．(4)关于是线性的：则E-L方程化为

（17.2.10）

对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：第189页/共282页2.泛函表示为多个函数的积分形式则与此泛函极值问题相应的E-L方程为（17.2.11）第190页/共282页3.泛函的积分形式中含有高阶导数与此泛函极值问题相应的E-L方程为第191页/共282页（17.2.12）4.泛函的积分形式中含有多元函数设为的二元函数，则第192页/共282页与此泛函极值问题相应的E-L方程为（17.2.13）例17.2.1试求解最速降线落径问题，即变分问题【解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于第193页/共282页不显含，故其E-L方程为（17.2.7）式令，故有第194页/共282页令，分离变量得到再令，代入上式得到即得到第195页/共282页此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置（图17.1的A,B两点）决定．泛函的条件极值问题

在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制条件

（17.2.14）第196页/共282页即所谓的等周问题：(17.2.15)

（注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源于求一条通过两点，长度固定为l的曲线使面积取极大值）第197页/共282页其中为常数．此类问题可以仿照普通函数的条件极值问题的拉格朗日乘子法．即将附加条件(17.2.14)乘以参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题．

其对应的E-L方程为第198页/共282页这是通过和两点的之下使泛函取极值的必要条件．它实际上是一个关于在附加条件（17.2.14）的二阶常微分方程．其通解中含有三个参数，即和两个积分常数．它们可由条件（17.2.14）来确定.和附加条件第199页/共282页

例2

求的极值，其中是归一化的，即，且已知【解】本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题对应的E-L方程为其通解为第200页/共282页代入附加条件得到代入归一化条件得到于是得到，故原极值问题的解为而题中要求的泛函的极值为第201页/共282页当时，极值函数使得泛函数取得最小值例3

求泛函在条件下的极值曲线.【解】

此时,则偏导数第202页/共282页.对应的Euler方程为其通解为,代入边界条件可得,所以极值曲线为

第203页/共282页3泛函极值问题的典型应用泛函极值问题的求解,通常有两种结果：（i）解析解

由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的．但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解．因为历史悠久，它自有一套办法．第204页/共282页（ii）近似解

所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程，直接求得所需要的解——极值曲线因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法．

下面我们以一个典型的实例来描述泛函的极值问题在数学物理问题中的应用.第205页/共282页第206页/共282页第207页/共282页第208页/共282页第209页/共282页第210页/共282页第211页/共282页第212页/共282页第213页/共282页第214页/共282页通常经典的变分解法是把泛函极值问题归结为微分方程的求解，而有限元法则反其道而行之，把微分方程的求解转化为相应的泛函的极值问题，这是由于某些微分方程的解很难或不可能解析地求出.这时首先就要建立与其相应的泛函，然后通过副分、插值，用数值方法直接求得满足一定边界条件的这个泛函极小的近似解9．2一维有限元法第215页/共282页第216页/共282页第217页/共282页第218页/共282页第219页/共282页第220页/共282页第221页/共282页9．3二维变分问题第222页/共282页第223页/共282页第224页/共282页第225页/共282页第226页/共282页第227页/共282页第228页/共282页第229页/共282页第230页/共282页第231页/共282页第232页/共282页第233页/共282页第234页/共282页第235页/共282页第236页/共282页第237页/共282页第238页/共282页第239页/共282页第240页/共282页第241页/共282页第242页/共282页第243页/共282页第244页/共282页第245页/共282页第246页/共282页第247页/共282页第248页/共282页第249页/共282页第250页/共282页第251页/共282页第252页/共282页第253页/共282页第254页/共282页第255页/共282页第256页/共282页第257页/共282页第258页/共282页解与赫姆霍兹方程相对应的有限元法，其步骤同一般前述的有限元