2023届北京西城14中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。、一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。mn1．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（）nmnmnmnmA．若且，则B．若且，则mnmmnmC．若且，则D．若不垂直于，且，则不垂直于22．已知复数z1izi，其中为虚数单位，则（）53C．22A．B．D．ABC,BAC3．已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球的球面上，平面120，AD2，若球的表OOAD面积为，则三棱锥ABCD的体积的最大值为（）2032333C．D．23A．3B．asinbcos1恒成立的（）4．a2b21是A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2图象的一个对称中心为3，0)，其相邻一条对称轴方程为(||)5．若函数f(x)Asin(x)（其中，A0x7，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到g(x)cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()112A．向右平移6个单位长度B．向左平移个单位长度126C．向左平移个单位长度D．向右平移12个单位长度ABCDABCDBC11上任意M,NAB11AC6．如图，棱长为的正方体1111中，P为线段的中点，分别为线段和棱1点一，则2PM2MN的最小值为（）23222A．B．C．D．fxxegx，函数()lnxxaxfx1在内都有两个不同(0,e]1x2e(0,]x7．已知函数，若对于任意的00a则实数的的零点，取值范围为（）(e2,e]A．B．(e2,e2](1,e2]eD．e(1,e]eeC．xay30f(x)2lnx5和8．已知yaxb与函数xby20所确定的平面区域在g(x)x24都相切，则不等式组x2y22x2y220内的面积为（）26312A．B．C．D．kByy,kZ，Ax|sin2x1429．若集合，则（）CBCACACBD．RA．ABAABB．C．RRRa1,q2a8中，aa的等比中项是（）110．等比数列，则4与8n1414A．±4B．4C．D．f(x)5x2sinx(x[,0)(0,])3311．函数x的大致图象为xA．B．C．D．0有且只有一个实数根，则实数的取值范围xa（）．2B,a2,b314．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c3，已知ABC，则的面积为___________．b1,2ab3a，则______.15．已知非零向量a,b的夹角为3，且x3y30xy10构成的x,yy1Px,y2xy16．已知实数满足则点区域的面积为____，的最大值为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)|xk||x2|(kR),g(x)|2xm|(mZ)．f(x)m的解集；g(x)1的整数解有且k1仅有一个值，当时，求不等式4x（1）若关于的不等式（2）已知h(x)x22x3xR,x(0,)，使得f(x)h(x)，若1212成立，k求实数的取值范围．18．（12分）如图，在直棱柱ABCDABCD2BB2ACABBDBD1为菱形，，，与相交1111中，底面ABCDADADO1相交于点.E于点，1与1111n2,nN.32aaa19．（12分）已知数列满足，且n1a221n1nn（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；n2ananaSn.n（2）求数列的前项和n20．（12分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）证明:；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．xnx1my2n的参数方程yk(m1)的参数方程为l1lxOyk(为参21．（12分）在直角坐标系中，直线为参数)，直线2l,l数)，若直线P，当变化时，点12的交点为kP的轨迹是曲线CC（1）求曲线的普通方程；l3x（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为4tan0(0)32lCQQ3，点为射线与曲线的交点，求点的极径.，ABC90AB2DC2BC，为的中点，沿AB//DCABCD22．（10分）如图，在直角梯形中，，EABDE，ADE将折起，使得点到点PEEBNBC，为的中点，是上的动点（与点CAMPBP位置，且B，不重合）.EMNPBC（Ⅰ）证明：平面平面垂直；66NN的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线n也成立，故不正确；答案C中的直线mm，n可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面，m互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能n垂直于直线，故不正确．应选答案C．2、D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.【详解】21i2z1i1i1i1i解：，则z112.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.3、B【解析】由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】ACy，ABx，OR设球的半径为，由4R220，得R25．如图：ABCGOGGAOA设三角形的外心为，连接，，，OG12AD1可得AGR212．，则BCsin1202AG4ABC在中，由正弦定理可得：，即BC23，BC212x2y22xy(1)x2y2xy3xy2由余弦定理可得，，xy4．114sin12022332的体积的最大值为ABCD3则三棱锥．故选：B．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．4、A【解析】acosasinbcossincoscossinsin(+)1{bsinab成立；反之，0设满足asinbcos1ab21，故选2，但A.5、B【解析】fx法作图求出的值，可得的由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点解析式，再根据函数yAsinx的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】fxAsinx根据已知函数,1)27,0(0312，A其中，的图象过点，127可得，A14123，2解得：．23法作图可得再根据五点，3fxsin2x.3可得函数解析式为：fxsin2x312的图象向左平移个单位长度，故把ysin2xcos2x可得36的图象，故选B．【点睛】yAsinx的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五本题主要考查由函数yAsinx的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．点法作图求出的值，函数6、D【解析】MFN，可得为等腰直角三角形，由APMAEMABCD1PMEM，，可得取AC过M中点，作MF面E11122MNMFMNBCMN当11时，最小，由，故22PM2MN2PM2MN2EMMF2AA21，即可求解.【详解】取ACABCD1，如图：EM中点，作MF面过111则APMAEM，故PMEM，MNBCMN1时，最小．M而对固定的点，当12MN2MFMFNABCD此时由MF面，可知为等腰直角三角形，，1111MN2EMMF2AA2122PM2MN2PM2故.故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7、D【解析】lnxx2ax1fx，可判断x0,1时，在(0,e]内都有两个不同的f'x根，先求导将原题等价转化为方程0fx0fx，是增函数；x1,e，是减函数.因此fx00fx1，再令F(x)lnxxax12，求导得fx当时，(x)2x2ax1x0,e有解，通过导FFx0x，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1，使得在时xx,eFx0Fxx,e，在上是x0,xFx0Fx0,x数可判断当时，在上是增函数；当1111mxFxFx1ln1xx，求导即可求解；2xax101221减函数；则应满足【详解】，再结合，构造函数1maxg(x)lnxx2axfx1在(0,e]内都有两个不同的函数零点，0lnxx2ax1fx在(0,e]内都有两个不同的根.等价于方程0(x)exe(1x)e1x，所以当x0,1fx0fxf1x1x时，，是增函数；x1,e0fx1fx0fx当时，，是减函数.因此.2x2ax1F，(x)12xa设F(x)lnxx2ax1xx，0,eFx00,e有解，在Fx0Fx在(0,e]上是单调函数，若在无解，则不合题意；所以上是增函数；1且易知只能有一个解.x0,xFx0Fx0,xx设其解为1，当时，在1，在xx,eFx0Fxx,e上是减函数.当时11fx在(0,e]内有两个不同的根，0lnax1xxx(0,e]2因为0，方程2Fe0Fe0aeFxFx1lnee2ae10e，解得.所以，且.由，即1maxFxFx1lnxx11ax1lnxx2ax0.，所以11121由，即1max1a2x12xax10lnxx2ax0lnxx210.1x21因为，所以，代入，得11111111x0,e2x0mxlnxx21mx，mx，所以在上是增函数，设11，得.m1ln1110mxm10xelnxx21而，由可得111a2x11a2e1e.1,e1x在上是增函数，得1由1ae2综上所述e，故选：D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题8、B【解析】根据直线yaxb,abfxgx与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆x2y22x2y220，由此求得正确选项.【详解】22xAx与相切于点f'x,gx2x.设直线yaxb',2ln5fxx0x，斜率为，所以切线方程为001142xxy2x2lnx3g'x2x2x1y2lnx5，解得，gxx20x0x0xx，化简得0①.令，000001y所以切线方程为021xy2x142lnx3144xxx2xx20x20，化简得0②.由①②对比系数得，0002x1x1xx32lnx110③.构造函数1'22hx2lnx1x0hxhx，所以在0化简得x20xx32，0,1h10小值，而，所以有唯一hx上递减，在上递增，所以在处取得hx01,x1极小值也即是最为0A1,1.而方程组2x2y30是.画出图像如下图所示，不等式组121123111BAC1123tanBACtanAEDADE4A，而圆的半径为为3.所以，所以2426，所23261以阴影部分的面积是24.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.9、B【解析】，进而可知满足CBCA.根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得ABRR【详解】Ax|sin2x1x|xk,kZ4依题意，；kBy|y,kZ42而2n2n1x|x,nZ或x,nZ42422n1x|xn,nZ或x,nZ442，AB故，CBCA.则RR故选：B.【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.10、A【解析】a2648＝aaa利用等比数列的性质可得，即可得出．n【详解】aax48设与的等比中项是．＝aaaxa2由等比数列的性质可得，648a6．nxa1254．∴aa84与8的等比中项6故选A．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．11、A【解析】f(x)5(x)2sin(x)5x2sinxf(x)f(x)，所以函数是偶函数，排除B、D，3333xx因为xx533f()0又，排除C，故选A．12、B【解析】根据条件可知方程f(x)xa0有且只有一个实根等函数的图象与直线yxa只有一个交点，价于yf(x)作出图象，数形结合即可．【详解】yf(x)yxa只有一个交点，作出图象如图，解：因为条件等价于函数的图象与直线a1由图可知，，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(0,1]【解析】x0{logx0?0,1，解得定义域为．1由题意得2314、2【解析】S1acsinB2由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【详解】2由余弦定理，得2c，解得c1，ba2c22accosB，即34c2S1acsinB3ABC故的面积22.32故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.15、1【解析】由已知条件得出4a24|a||b|cosa,bb23aa2||||10，解之可得答案.2,可得|2ab|3,|b|1,可得:4a4|a||b|cosa,bb3,a，b22,且2|a||a|10a||12可得,解得，故答案为:1.【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.16、811【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：行域为三角形，且底边长BC8，高为，知，可2数形结合可S18282故区域面积；y2xz令z2xy，变为，显然直线y2xz过B(6,1)时，z最大，故z26111.max8故答案为：；11.【点睛】本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。97,17、（1）22（2）(,4][0,)【解析】（1）求解不等式g(x)1，结合整数解仅有一个值，可得，有且8分类讨论，求解不等式，即得解；4mxR,x(0,)f(x)h(x)成立为f(x)h(x)（2）转化，使得，利用不等式性质2min12121minf(x)|xk||x2||(xk)(x2)||k2|，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.【详解】m1m1x|2xm|1g(x)12（1）不等式，即，所以2，5m12m1324由，7m9．解得mZ因为，所以m8，当k1时，2x1,x2,3,2x1,f(x)|x1||x2|2x1,x1,，x2,2x1,x1,2x18.2x1838或f(x)8不等式等价于或9x22即7或2x1或1x2，9x27故2，9722,f(x)8故不等式的解集为．（2）因为f(x)|xk||x2||(xk)(x2)||k2|，由h(x)x22x3(x1)22,x(0,)，h(x)h(1)2，可得min又由xR,x(0,)f(x)h(x)成立，，使得1212则|k2|2，解得或k0．k4(,4][0,)．k故实数的取值范围为【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7【解析】ACBBDDACDDACBD（1）要证明平面11，只需证明，1即可：EA,EB,EFx,y,zOB分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与BDFEFE（2）取中点，连，以为原点，11nOB|n||OB|计算即可.cosn,OBOBD平面11n的法向量，再利用【详解】ABCD（1）∵底面为菱形，ACBD∵直棱柱ABCDABCD，DDABCD平面.11111∵ACABCD平面.ACDD1ACBD,ACDD,BDDDD.11ACBBDD；平面11EA,EB,EFx,y,z分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：BDFEFE中点，连，以为原点，（2）如图，取11AE3,BE1，31,,1B(0,1,0),B(0,1,2),D(0,1,2),A(3,0,0),O2211点，OBD(,,)nxyz的法向量为，设平面1133DB(0,2,0),OB,,122111，DBn2y01133OBnxyz0yz0,322x21有，令，n(2,0,3)得33OB,,1,nOB23,|n|7,|OB|222又，OBD1设直线与平面所成的角为，OB123217sin|cosn,OB||27|所以217OBDOB故直线与平面11所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.S52n5；（2）na2n1n19、（1）证明见解析，2n2n.【解析】，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项n2an1aan（1）将等式n12n1an122a2a22n变形为nn1nn2aan和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式；nnaSn.n（2）利用错位相减法可求得数列的前项和n【详解】1n2,nNaan（1）因为n122n12，即n12a2a2naa22n，所以nn1n1，nn1所以数列是等差数列，且公差，其首项n2an3d22a1a2n1n，解得2a3(n1)22n1nn所以2n；357S2222n12n12n12n（2）n23，①Sn2341Sn52n522n111222n1232，2nn.本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题..，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；，分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，则f（x）≥﹣a；≥1=1．当a＜x＜时，当xf（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空