2021-2022学年北京市门头沟区高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市门头沟区高三（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）复数=（）A.B.C.D.2.（单选题，4分）集合A={x|x2-x-6＜0}，B={-2，-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0，1，2，3}B.{-2，-1，0，1}C.{-1，0，1，2}D.{-2，-1，0，1，2}3.（单选题，4分）在的展开式中，x4的系数是（）A.20B.10C.-10D.-204.（单选题，4分）“角α，β的终边关于x轴对称”是“sinα+sinβ=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，4分）下列函数中，在（0，+∞）为增函数的是（）A.y=tanxB.y=e|x-1|C.D.y=（x-1）ex-26.（单选题，4分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A.B.C.D.7.（单选题，4分）等差数列{an}的公差d≠0，数列的前n项和，则（）A.d=log32，k=-1B.d=log23，k=0C.d=log23，k=-1D.d=log32，k=08.（单选题，4分）点P在抛物线y2=4x上，则P到直线x=-1的距离与到直线3x-4y+12=0的距离之和的最小值为（）A.4B.3C.2D.19.（单选题，4分）在函数f（x）=ax-2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y=x的对称点A'，B'在函数g（x）=ex的图像上，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，e）B.C.（0，e）D.（0，e2）10.（单选题，4分）某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．

分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．

在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A.73，75.4B.73，80C.74.6，76D.74.6，75.411.（填空题，5分）双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为___．12.（填空题，5分）已知P为平面上的动点，A（-1，0），B（1，0）为平面上两个定点，且，则动点P的轨迹方程为___．13.（填空题，5分）函数f（x）=sin2x的图像向左平移___个长度单位得到函数g（x）=sin（2x+）的图像，若函数g（x）在区间（0，a）单调递增，则a的最大值为___．14.（填空题，5分）在梯形ABCD中，AB||DC，AD=BC=2，AB=4，，P是BC的中点，则=___．15.（填空题，5分）已知函数y=f（x+2）为奇函数，且f（x+3）=f（3-x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x+log4（x+1）-1，给出下列四个结论：

①f（x）图像关于（-2，0）对称；

②f（x）图像关于直线x=1对称；

③；

④f（x）在区间（2021，2022）单调递减．

其中所有正确结论的序号是___．16.（问答题，12分）在△ABC中，．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使△ABC存在并唯一确定，并求c的值．

条件①：；

条件②：b=1；

条件③：．17.（问答题，13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB=AD=PD=2，DC=4，AB||DC，，PD⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点．

（Ⅰ）判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角P-BC-A的余弦值；

（Ⅲ）求点E到平面PBC的距离．18.（问答题，15分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数454331（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．

（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？

（ii）设这2名学生中来自高一（2）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（Ⅱ）如果该校高中生的优秀率为0.1，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为η，求η的期望．19.（问答题，15分）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．

（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）证明：f（x）在区间（-1，π）存在唯一极大值点；

（Ⅲ）证明：当x≥0，f（x）≥0．20.（问答题，15分）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）设直线x=my+1与C分别相交于P1，P2两点，直线A1P1与A2P2相交于点P．试问：当m变化时，点P是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21.（问答题，15分）若集合A={a1，a2，⋯，an}（0≤a1＜a2＜a3＜⋯＜an）满足：对任意i，j（1≤i≤j≤n），均存在k，t（1≤k≤n，1≤t≤n），使得（aj-ai-ak）（aj+ai-at）=0，则称A具有性质P．

（Ⅰ）判断集合M={0，3，6，9}，N={1，4，6，8}是否具有性质P；（只需写出结论）

（Ⅱ）已知集合A={a1，a2，⋯，an}（0≤a1＜a2＜a3＜⋯＜an）具有性质P．

（ⅰ）求a1；

（ⅱ）证明：．

2021-2022学年北京市门头沟区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）复数=（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据复数的运算性质求出答案即可．

【解答】：解：=-2+2i，

故选：A．

【点评】：本题考查了复数的运算，熟练掌握复数的运算性质是解题的关键，是基础题．2.（单选题，4分）集合A={x|x2-x-6＜0}，B={-2，-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0，1，2，3}B.{-2，-1，0，1}C.{-1，0，1，2}D.{-2，-1，0，1，2}【正确答案】：C【解析】：求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．

【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，

B={-2，-1，0，1，2，3}，

∴A∩B={-1，0，1，2}．

故选：C．

【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，4分）在的展开式中，x4的系数是（）A.20B.10C.-10D.-20【正确答案】：B【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4的系数．

【解答】：解：∵展开式的通项公式为Tr+1=•（x2）5-r•（-）r=（-1）r•x10-3r，

令10-3r=4，则r=2，所以展开式中x4的系数为=10，

故选：B．

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.（单选题，4分）“角α，β的终边关于x轴对称”是“sinα+sinβ=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由充分必要条件的定义即可判断．

【解答】：解：由角α，β的终边关于x轴对称，可知β=-α+2kπ（k∈Z），故sinα=-sinβ，所以sinα+sinβ=0，

若sinα+sinβ=0，取α=，β=，则角α，β的终边不关于x轴对称，

所以“角α，β的终边关于x轴对称”是“sinα+sinβ=0”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数角的对称关系是解决本题的关键．5.（单选题，4分）下列函数中，在（0，+∞）为增函数的是（）A.y=tanxB.y=e|x-1|C.D.y=（x-1）ex-2【正确答案】：D【解析】：根据正切函数，函数图象的对折变换，对数函数的图象和性质，分别判断四个答案中函数的单调性可得答案．

【解答】：解：函数y=tanx在区间（-+kπ，+kπ）k∈Z上为增函数，故A不满足要求；

函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称，故B不满足要求；

函数f（x）=ln=-lnx在（0，+∞）递减，故C不满足要求；

函数f（x）=（x-1）ex-2，f′（-x）=ex-2+（x-1）ex-2=xex-2＞0在x∈（0，+∞）恒成立，故D满足要求

故选：D．

【点评】：本题考查函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属简单题．6.（单选题，4分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．

【解答】：解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，

由中位线定理可得它们平行于面对角线，

连接另一条面对角线，如图，

由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB⊥平面MNQ，故A中直线AB与平面MNQ垂直；

对于B，AB为前面的侧面的对角线，则AB垂直于MN，

与AB相对的侧面的平行于AB的对角线与MQ垂直，∴AB⊥MQ，如图，

∵MN∩MQ=M，∴AB⊥平面MNQ，故B中直线AB与平面MNQ垂直；

对于C，AB为前面的侧面的对角线，则AB垂直于MN，

与AB相对的侧面的平行于AB的对角线与MQ垂直，∴AB⊥MQ，如图，

∵MN∩MQ=M，∴AB⊥平面MNQ，故B中直线AB与平面MNQ垂直；

对于D，AB为前面的侧面的对角线，MN上面的平行于对角线的线段，如图，

作出等边三角形，得到AB与MN所成角为60°，

∴直线AB与平面MNQ不垂直，故D中直线AB与平面MNQ不垂直．

故选：D．

【点评】：本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于中档题．7.（单选题，4分）等差数列{an}的公差d≠0，数列的前n项和，则（）A.d=log32，k=-1B.d=log23，k=0C.d=log23，k=-1D.d=log32，k=0【正确答案】：C【解析】：推导出a1=log2（3+k），a2=log26，a3=log218，再由a1，a2，a3成等差数列，得到2×log26=log2（3+k）+log218，由此能求出结果．

【解答】：解：等差数列{an}的公差d≠0，数列的前n项和，

则，

S2==3+k+=9+k，∴=6，

S3==9+k+2=27+k，∴=18，

∴a1=log2（3+k），a2=log26，a3=log218，

∵a1，a2，a3成等差数列，∴2×log26=log2（3+k）+log218，

解得k=-1，d=log218-log26=log23．

故选：C．

【点评】：本题考查等差数列的公差、首项的求法，考查数列的前n项和公式和第n项的关系式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.（单选题，4分）点P在抛物线y2=4x上，则P到直线x=-1的距离与到直线3x-4y+12=0的距离之和的最小值为（）A.4B.3C.2D.1【正确答案】：B【解析】：首先确定抛物线的准线方程，然后结合抛物线的定义等价转化即可求得最值．

【解答】：解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，

∴P到x=-1的距离等于|PF|，

∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），

∴过P作l1：3x-4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是P，

∴点P到直线3x-4y+12=0的距离和到直线x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线3x-4y+12=0的距离，

∴点P到直线l1：x=-1的距离与到直线l2：3x-4y+12=0的距离之和的最小值为．

故选：B．

【点评】：本题主要考查抛物线的定义及其应用，抛物线中的最值问题等知识，属于中等题．9.（单选题，4分）在函数f（x）=ax-2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y=x的对称点A'，B'在函数g（x）=ex的图像上，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，e）B.C.（0，e）D.（0，e2）【正确答案】：C【解析】：题目转化为：函数f（x）=ax-2与函数g（x）=lnx有两个交点即可．

【解答】：解：在函数f（x）=ax-2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y=x的对称点A'，B'在函数g（x）=ex的图像上，

转化为函数f（x）=ax-2与函数g（x）=lnx有两个交点，

函数f（x）=ax-2恒过（0，-2），直线y=ax-2与y=lnx的切点为（m，lnm），

可得y′=，所以切线的斜率为：=，解得m=，切线的斜率为：e，

所以a∈（0，e）．

故选：C．

【点评】：本题考查函数的导数的应用，函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.（单选题，4分）某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．

分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．

在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A.73，75.4B.73，80C.74.6，76D.74.6，75.4【正确答案】：A【解析】：根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．

【解答】：解：甲公司的报价分数A甲=68-=60，

乙公司的报价分数A乙=80-=76，

∴甲公司的综合得分为80×50%+90×10%+60×40%=73分，

乙公司的综合得分为70×50%+100×10%+76×40%=75.4分．

故选：A．

【点评】：本题考查了函数值的计算，属于中档题．11.（填空题，5分）双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为___．【正确答案】：[1]4【解析】：由已知求得b，再由渐近线方程求得a，利用隐含条件求得c，则答案可求．

【解答】：解：由双曲线方程可得b2=3，∴b=，

双曲线C的一条渐近线，

∴，得a=1，

∴c2=a2+b2=4，

得2c=4，即双曲线C的焦距为4．

故答案为：4．

【点评】：本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，是基础题．12.（填空题，5分）已知P为平面上的动点，A（-1，0），B（1，0）为平面上两个定点，且，则动点P的轨迹方程为___．【正确答案】：[1]x2+y2=1【解析】：设P（x，y），根据条件列出关于x，y的方程，整理可得结果．

【解答】：解：设P（x，y），

因为A（-1，0），B（1，0），

所以，

所以，

整理得x2+y2=1，

故答案为：x2+y2=1．

【点评】：本题考查了轨迹方程的求解，属于基础题．13.（填空题，5分）函数f（x）=sin2x的图像向左平移___个长度单位得到函数g（x）=sin（2x+）的图像，若函数g（x）在区间（0，a）单调递增，则a的最大值为___．【正确答案】：[1];[2]【解析】：直接利用函数的关系式的平移变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】：解：函数f（x）=sin2x的图像向左平移个单位，得到函数g（x）=sin（2x+）的图像，

令（k∈Z），

整理得（k∈Z），

由于函数g（x）在区间（0，a）单调递增，

故；

故a的最大值为；

故答案为：．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.（填空题，5分）在梯形ABCD中，AB||DC，AD=BC=2，AB=4，，P是BC的中点，则=___．【正确答案】：[1]14【解析】：把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．

【解答】：解：∵在梯形ABCD中，AB||DC，AD=BC=2，AB=4，，P是BC的中点，

∴=•（）=+•=-•=42-×4×2×=14，

故答案为：14．

【点评】：本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．15.（填空题，5分）已知函数y=f（x+2）为奇函数，且f（x+3）=f（3-x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x+log4（x+1）-1，给出下列四个结论：

①f（x）图像关于（-2，0）对称；

②f（x）图像关于直线x=1对称；

③；

④f（x）在区间（2021，2022）单调递减．

其中所有正确结论的序号是___．【正确答案】：[1]①②④【解析】：根据题意，分析函数的对称性，由此可得f（x）的周期性，据此依次分析4个结论，综合可得答案．

【解答】：解：根据题意，因为y=f（x+2）为奇函数，

所以y=f（x）的图像关于（2，0）对称，即f（2+x）=-f（2-x），

因为f（3+x）=f（3-x），

所以函数的图像关于x=3对称，f（x+4）=f（-x+2），

f（2+x）=-f（x），即f（4+x）=f（x），

故函数f（x）是周期T=4的周期函数，

依次分析4个结论：

对于①，y=f（x）的图像关于（2，0）对称，且f（x）的周期为4，则y=f（x）的图像关于（-2，0）对称，正确；

对于②，y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x）且f（2+x）=-f（x），变形可得f（1+x）=f（1-x），则f（x）图像关于直线x=1对称，正确；

对于③，f（x）是周期T=4的周期函数，则f（2021）=f（1）=2+-1=，错误；

对于④，当x∈[0，1]时，f（x）=2x+log4（x+1）-1，易得f（x）在[0，1]为增函数，

而f（x）图像关于直线x=1对称，在f（x）在区间（1，2）上为减函数，

又由f（x）是周期T=4的周期函数，且2021=505×4+1，2022=505×4=2，则f（x）在区间（2021，2022）单调递减，正确；

故答案为：①②④

【点评】：本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，涉及函数的对称性分析，属于中档题．16.（问答题，12分）在△ABC中，．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使△ABC存在并唯一确定，并求c的值．

条件①：；

条件②：b=1；

条件③：．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行转化可得A；

（Ⅱ）分别选择三个条件结合正弦定理进行求解．

【解答】：解：（Ⅰ）由正弦定理得，

（sinBcosC+sinCcosB）=2sinAcosA，

即sin（B+C）=2sinAcosA，

即sinA=2sinAcosA，

因为A∈（0，π），故sinA≠0，

所以；

（Ⅱ）选条件①，b=2，又a=2，A=，

由正弦定理，可得=，解得sinB=，

因为B∈（0，π），

所以B=或，

此时三角形不唯一，故选择条件①不符合题意；

选条件②，

由正弦定理得：，

由，

，

所以由，

选条件③，

，

，

由正弦定理．

【点评】：本题考查了解三角形的相关知识，属于基础题．17.（问答题，13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB=AD=PD=2，DC=4，AB||DC，，PD⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点．

（Ⅰ）判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角P-BC-A的余弦值；

（Ⅲ）求点E到平面PBC的距离．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）只要证明四边形ABFE是平行四边形即可；（Ⅱ）用向量数量积计算二面角的余弦值；（Ⅲ）用向量数量积计算点到平面距离．

【解答】：解：（Ⅰ）AE||BF，理由如下：

连结EF，因为E，F分别是PD，PC的中点，所以EF||CD，EF=，

又因为AB||CD，AB=，所以AB||EF，AB=EF，

所以四边形ABFE为平行四边形，故AE||BF．

（Ⅱ）由已知DP，DC，DA两两垂直，建立如图所示坐标系，

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），

设平面PBC法向量为=（x，y，z），，

平面ABC的法向量为=（0，0，1），

，

二面角P-BC-A的余弦值为．

（Ⅲ）E（0，0，1），，

设点E到平面PBC的距离为d，则．

【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了点到平面的距离问题，属于中档题．18.（问答题，15分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数454331（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．

（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？

（ii）设这2名学生中来自高一（2）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（Ⅱ）如果该校高中生的优秀率为0.1，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为η，求η的期望．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）（i）利用古典概型概率公式求解即可．（ii）ξ可取0，1，2，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．

（Ⅱ）η可取0，1，2，满足η～B（2，0.1），然后求解期望即可．

【解答】：解：（Ⅰ）（i）20名学生中随机抽取两名学生共有，…..……..…（2分）

设恰好2名学生都来自同一班级共有，………....…（1分）

，……………..…（1分）

（ii）ξ可取0，1，2，……………（1分）

，，………...（3分）

ξ的分布列为：ξ12P…………...…（1分）

ξ的期望………．……..…（1分）

（Ⅱ）η可取0，1，2，…………………（1分）

η～B（2，0.1），所以Eη=0.1×2=0.2……………........…………（2分）

【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型概率的求法，是中档题．19.（问答题，15分）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．

（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）证明：f（x）在区间（-1，π）存在唯一极大值点；

（Ⅲ）证明：当x≥0，f（x）≥0．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）求出导函数，求解切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．

（Ⅱ）求解导函数判断函数的单调性，结合零点判断定理证明即可．

（Ⅲ）利用函数的单调性结合函数的最值推出结果即可．

【解答】：（Ⅰ）解：，………．……………．………（2分）

f'（0）=2，f（0）=0，得切线方程为2x-y=0．………………（2分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，x∈（-1，0）时，f'（x）＞0…..（1分）

x∈[0，π）时，f'（x）单调递减，f'（0）=2，，…………（2分）

由零点存在定理可得，f'（x）在x∈（-1，π）存在唯一一个零点x0，…………（1分）

且当x∈（-1，x0），f'（x0）＞0，x∈（x0，π），f'（x0）＜0，

所以，f（x）在区间（-1，π）存在唯一极大值点．………………（2分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，π）单调递减，……．（1分）

f（0）=0，f（π）=ln（1+π）＞0，所以，当x∈[0，π）时，f（x）≥0，…………．…（2分）

当x∈（π，+∞）时，f（x）=sinx+ln（1+x）＞ln（1+π）-1＞0．…………...………（2分）

【点评】：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性以及函数的最值的求法，是中档题．20.（问答题，15分）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）设直线x=my+1与C分别相交于P1，P2两点，直线A1P1与A2P2相交于点P．试问：当m变化时，点P是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用已知条件推出a，b，即可得到椭圆方程．

（Ⅱ）求解直线A1P1：，直线，然后求解P的坐标，联立直线与椭圆方程，设交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，