第9讲.圆的基本概念和性质

圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A成的图形叫做圆，其中固定端点OOA叫做半径．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．表示圆，定义中以O为圆心，OA“”圆O“．能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以BABAB．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．圆心角和圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．弦相等，所对的弦的弦心距相等．它们所对应的其余各组量分别相等．FENFENOMDC数学竞赛中．圆的基本性质有：⑴直径所对的圆周角是直角．⑵同弧所对的圆周角相等．⑶经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．圆的对称性心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．⑵轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．1：⑴平分弦(的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：a有：r2d2()2，根据此公式，在ard三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．2OOr dA aCB2板块一、圆周角定理AOB【例】⑴(09四川凉如图是ABC的外接圆已知ABO则ACB的大小AOBC⑵(2007浙江温如图，已知ACB是eO的圆周角，ACB，则圆心角AOB是 ．COCOA⑶(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD是的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的意一点，则BPC的度数( )ADADOBC⑷(08龙岩)如图，量角器外沿上有B两点，它们的度数分别是40的度数为AB1AB1O⑸（2010海淀期末考试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若BAD23，则ACD的大小为（ ）A．B．C．D．CBCBOA【例】⑴(08ft东滨)如图所示，AB是eO的直径，ADDE，AE与BD交于点C则图中与BCE相等的角( )DECDECOA．2个 B．3个 C．4个 D．5个⑵已知的弦AB长等于的半径，求该弦所对的圆周角 ．【巩固】(07重庆)AB为ABACBC交DAC交E，BAC4①EBC22.②BDDC③AE2EC④劣弧AE是劣弧»E的2倍；⑤AEBC．其中正确结论的序号是 ．OEOEB D C【例07年威海中考题)AB是eOCDE都在eO上，若∠D∠E，求∠A∠B．CODODE【例】如图，已知APC30»D的度数为3，求AC和AEC的度数ABEABED【例】（2006年全国初中数学竞赛广西赛区初赛）如图，BPC是eO上的四点，且满足APCCPB60，判断ABC的形状，并证明你的结论POPOBC【例】过eOM，使AMBBMCBBEMAE，BFMC于F，求证：AECFFCBFCBOEM A M【例】如图，已知eO的半径为R，CD是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为9，»D的度数为PABPCPD的最小值DODOA B A O【巩固】如图，eO是单位圆，ABCD是两条直径，AD60，点P在»D上，设tPAPC，则t的取值范围为CA O B A OMPD D【巩固】已知：如图MN是O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，P是MN上一动点的半径为1，则PAPB的最小值．ABOABOP【例】(09AD是的直径．1ADB

，B

把圆周4等分，则B

的度数，B的度数；

11 2 2 1 22ADBC、BC、BC把圆周6等分，分别求B

的度数；11 2 2 3 3 1 2 33AD的nBCCCC把圆周2n等分，请你用含n的代数式11 2 2 3 3 n n表示Bn

的度数(只需直接写出答案)．B1C1OB2C2B1C1OB2C2BC2C1 C1 B 1 12C2B3 C3B2 OBD 3 D

C2Bn-2Bn-1C B3

OD C

Cn-2Cn-1图1 图2 图3【例】已知，如图MN为eO中劣弧AB的三等分点，EF为弦AB的三等分点，连接ME并延长，MFPAP交eO于CAOB．CDCDOAEFBM N板块二、垂径定理3【例10】⑴(07年广州中考)如图是ABC的外接圆，ODAB于点D交于点E，C60，如果的半径为2，则结论错误的( )3A．ADDB B．AE»

C．OD1 D．ABCCOADBE⑵如图矩形ABCD与圆心在AB上的交于点E8cm1cm2cm，则EF ．EFGEFGOA B2⑶如图所示，在RtABC中C90AC2圆交AB于P，则AP ．

BC1，若以C为圆心、CB的长为半径的CPCPB【巩固】如图所示，在⊙O与三角形所组成的图形中，OAOB，求证ACBD．OA C D BOOCD【巩固】AB交小圆于CDACOCDA B【例11】(08郴州)已知在⊙O中，半径r5，AB、CD是两条平行弦，且AB8，CD6，求AC的长．32【巩固】⑴在半径为1的中，弦AC的长分别为 和 ，则BAC的度数．32⑵已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB40cm，CD48cm，求弦AB与CD间的距离．【例12】(2008如图所示，已知AB的直径，CD是弦，且ABCDE．连接AC、OC、BC．⑴求证：ACOBCD．⑵若EB8cm，CD24cm，求⊙O的直径．OCOCEDB【例13】(09AB是的直径，且AB10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动ABBMN的距离分别为h1 2

，则hh1 2

等于( )A．5 B．6 C．7 D．8FhFh2h1EONA B【例1】（太原市初三数学统练试题）如图，已知点 B在线段AC上，分别以ABBCAC为直径作eOeOeO，过点B作直线交eO于PQ，交eO和e

PRQS1 2 1 2SQSQO1OO2BRP1A C ARP【例15】如图，在eO中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交eO于E，DE交BC于N，求证：BNCNOMOMCNDEMC NEB板块三、圆中弦心距、弦、弧、圆心角、圆周角的综合【例16】O1

与eO2

O2

过eO1

的圆心O1

A作直线分别交两圆于CD，连结CB，交eOEADEB1CCADEO1O2B【例1】如图，直线AB与eO相交于点EF，EF为eO的直径，且AEEFFB，直线AP与eO半径ODDPDPDEOFBN3⑴若中等于120的劣弧所对的弦长为12 ，则的半径．3⑵在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长．⑶如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于D两点，AB2，AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比．CDOCDO如图，已知的半径是5A到圆心O的距离为3A的所有弦中最短弦的长度．OOA如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积16cm则该半圆的半径．(08沈阳AB是ODAB，垂足为C，交DE在上．⑴若AOD52，求DEB的度数；EOACB⑵若OC3OAEOACBD如图，P为O外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点MN分别是AB»DMNABCDEPEF为等腰三角形．PCP