导数综合大题：零点与求参及不等式证明【 考点深挖 多种考法 】 高考数学一轮高效备考 精讲精练（全国通用）

导数综合大题：零点与求参及不等式证明目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】零点求参1：基础型（一个零点型） 1【题型二】零点求参2：拔高型（两个零点型） 2【题型三】零点求参3：综合型（3个零点型） 2【题型四】讨论零点个数1：基础型（无参讨论） 3【题型五】讨论零点个数2：有参讨论型 4【题型六】讨论零点个数3：给参数范围证明型 4【题型七】零点不等式1：基础型 5【题型八】零点不等式2：比值代换型 6【题型九】零点不等式3：零点与极值点型（难点） 6【题型十】零点不等式4：加新参数 7【题型十一】三角函数中的零点 7二、真题再现 8三、模拟检测 8综述：本专题是结合2022年高考全国甲乙卷导数大题题型而总结的训练专题【题型一】零点求参1：基础型（一个零点型）【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且.(1)当时，求的单调区间；(2)若只有一个零点，求的取值范围.【提分秘籍】基本规律零点求参基础型：分类讨论思想与转化化归思想数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处）3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。【变式演练】1.（2022·山西太原·三模（理））已知函数.(1)若函数的图像与直线相切，求实数a的值；(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恰有一个零点，求a的值．【题型二】零点求参2：拔高型（两个零点型）【典例分析】（2022·贵州·六盘水市第五中学高三期末（文））设函数，其中是自然对数的底数，.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.【提分秘籍】基本规律两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“找点”。【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．【题型三】零点求参3：综合型（3个零点型）【典例分析】（2022·全国·模拟预测（理））已知函数（其中e为自然对数的底数）．(1)若，证明：当时，恒成立；(2)已知函数在R上有三个零点，求实数a的取值范围．【提分秘籍】基本规律1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。【变式演练】1.（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（文））已知，.(1)证明：函数在上有且仅有一个零点；(2)若函数在上有3个不同零点，求实数的取值范围.【题型四】讨论零点个数1：基础型（无参讨论）【典例分析】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数在处的切线与轴平行．（1）求的值；（2）求证：在区间上不存在零点．【提分秘籍】基本规律无参数型零点，难度多在函数图像负责，必要时，甚至需要二次求导，高次求导来研究原函数图像的单调性。【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)若函数的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；(2)当时，判断函数零点的个数，并说明理由.2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由．【题型五】讨论零点个数2：有参讨论型【典例分析】（2021·河南·高三开学考试（理））已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，试讨论函数的零点个数．【提分秘籍】基本规律判断函数零点个数的方法有：（1）直接法，令，如果能直接求出解，那么有几个不同的解，就有几个零点.（2）图象法，画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数就是函数的零点个数；将函数拆成函数和的差的形式，，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.（3）函数零点存在定理，利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，，还需要结合函数的图象与性质（如单调性､奇偶性）才能确定函数有多少个零点.【变式演练】1.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数，其中.(1)求的极值点个数；(2)求函数在区间内的零点个数.2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数零点的个数．【题型六】讨论零点个数3：给参数范围证明型【典例分析】（2022·河南·高三开学考试（理））已知函数．(1)若存在两个极值点，，求的取值范围；(2)若，证明：当时，函数在上有个零点．（参考数据：）【变式演练】1.（2022·重庆八中高三阶段练习）已知.(1)讨论的单调性；(2)若且，证明：恰好有三个零点.2.（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数，其导函数为.(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点..【题型七】零点不等式1：基础型【典例分析】（2022·云南·高三阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数有两个零点，，证明：，并指出的取值范围．【提分秘籍】基本规律零点不等式，也是极值点偏移的一个类型。【变式演练】1.（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（理））已知函数，为自然对数的底数.(1)若存在，使，求实数的取值范围；(2)若有两个不同零点，证明：.2.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）已知函数．(1)当a＝﹣1时，求f(x)的单调增区间；(2)若a＞4，且f(x)在（0，1）上有唯一的零点x0，求证：．【题型八】零点不等式2：比值代换型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.(1)求的单调区间；(2)讨论零点的个数；(3)若有两个极值点且，证明：.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若在上是增函数，求a的取值范围；(2)若是函数的两个不同的零点，求证：.2.（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，，函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)如果函数的两个零点为，，且，求证：.【题型九】零点不等式3：零点与极值点型（难点）【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中．(1)若，讨论的单调性；(2)若．（ⅰ）证明：恰有两个零点；（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：．【变式演练】1.（2022·浙江·三模）已知实数，设函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数单调递增，求a的最大值；(3)设是的两个不同极值点，是的最大零点．证明：．注：是自然对数的底数．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间内有唯一极值点.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：在区间内有唯一零点，且.【题型十】零点不等式4：加新参数【典例分析】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)设，且在上有2个零点，证明：．【变式演练】1.（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，，．(1)若时，讨论的单调性；(2)设，是的一个零点，是的一个极值点，若，，证明：．【题型十一】三角函数中的零点【典例分析】（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数，为函数的导函数．(1)若函数在定义域内是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当a＝1，函数在内有2个零点，求实数m的取值范围．【变式演练】1.（2022·北京二中模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值；(3)当时，设函数，，判断的零点个数，并证明你的结论．2.（2022·广东汕头·三模）已知函数．(1)求在的极值；(2)证明：函数在有且只有两个零点．1.（2022·全国·高考真题（理））已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．2.（2022·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．4．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．5．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（且）.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.2.（2022·上海·模拟预测）设，已知函数．(1)若时，解不等式；(2)若在区间上有零点，求的取值范围．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当有三个零点时a的取值范围恰好是求b的值.4.（2022·山东日照·模拟预测）已知函数，且在上的最大值为．(1)求实数a的值；(2)讨论函数在内的零点个数，并加以证明．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在区间上的零点个数.6.（2022·陕西西安·三模（文））设函数.(1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围；(2)当时，讨论函数零点的个数.7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.8.（2