人教版高中数学必修4全册

人教版高中数学必修4全册第1页/共182页任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象已知三角函数值，求角知识网络结构第2页/共182页1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.（4）角在“到”范围内，指.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.一、基本概念：第3页/共182页一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边零角第4页/共182页二、象限角：注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：（角度制）（弧度制）例1、求在到（）范围内，与下列各角终边相同的角原点x轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与重合，角的始边与重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。第5页/共182页1、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2、象限角、象间角与区间角的区别3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式三、终边相同的角第6页/共182页(1)与

角终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法

{

|

=2k+,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:

(2k<<2k+

,kZ)2

第二象限角:(2k+

<<2k+,kZ)2

第三象限角:

(2k+<<2k+

,kZ)23第四象限角:2

(2k+<<2k+2,kZ

或2k-<<2k,kZ

)23一、角的基本概念第7页/共182页②轴线角x

轴的非负半轴:=k360º(2k)(kZ);x

轴的非正半轴:=k360º+180º(2k+)(kZ);

y

轴的非负半轴:=k360º+90º(2k+

)(kZ);2

y

轴的非正半轴:=k360º+270º(2k+)

或

=k360º-90º(2k-

)(kZ);232

x

轴:=k180º(k)(kZ);

y

轴:=k180º+90º(k+

)(kZ);2

坐标轴:=k90º()(kZ).2k第8页/共182页例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：第9页/共182页典型例题

各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；例1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个象限的角?第10页/共182页高考试题精选及分析C点评:本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.第11页/共182页例1

求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针所转过的角度例2

已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角

（1）（2）评析：在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.第12页/共182页四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr第13页/共182页（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.

应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制（4）弧长公式和扇形面积公式.第14页/共182页度弧度02、角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表第15页/共182页

略解：例3．已知角和满足求角–的范围.解：例4、已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？扇形面积最大值为625.第16页/共182页例7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R.①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.

第17页/共182页

解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。

（2）扇形周长C=2R+l=2R+第18页/共182页正弦线：余弦线：正切线：（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。2.正弦线、余弦线、正切线xyOPTMA有向线段MP有向线段OM有向线段AT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线

第19页/共182页

三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MP

正弦、余弦函数的图象

yxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！余弦线OM正切线AT第20页/共182页POMPOMPOMPOMMP为角的正弦线,OM为角的余弦线为第二象限角时为第一象限角时为第三象限角时为第四象限角时第21页/共182页10）函数y=lgsinx+的定义域是（A）（A）{x|2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)}（B）{x|2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)}（C）{x|2kπ<x≤2kπ+π(k∈Z)}（D）{x|2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)}第22页/共182页专题知识三角函数线的应用一、三角式的证明2、已知：角为锐角，

试证：1、已知：角为锐角，

试证：（1）第23页/共182页4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为π-2，面积是5、用单位圆证明sianα<α<tanα.(00<α<900ATPMOxy提示：利用三角函数线和三角形面积与扇形面积大小关系证明。第24页/共182页OyxOyx第25页/共182页例5

已知角的终边经过点例6

若为第一象限角，利用三角函数线证明：若为其它象限角呢？例7

求函数的定义域.第26页/共182页4.三角函数的符号xyo0

1

-1

0

++__1

0

0

-1

xyo++__不存在

xyo0

0

不存在

_+_+第27页/共182页一、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：商关系：平方关系：三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”第28页/共182页平方关系倒数关系商式关系5.同角三角函数基本关系:神奇的六边形11第29页/共182页（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2

=1不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立.（2）同角三角函数的基本关系常用于：①已知角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值；②化简三角函数式；③证明三角恒等式同角三角函数基本关系注意事项:第30页/共182页三、典型例题分析【解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解），根据α角所在象限，确定正负号的取舍.当给出的α的象限指定唯一，则此时一般有一解；当角α的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定α的象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）.第31页/共182页例1：已知是第三象限角，且，0求。四、主要题型解：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；第32页/共182页例2．已知sinα=m(|m|≤1)，求tanα.方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解.(3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.第33页/共182页指导：容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测例4．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，

)，且cosα＝，求sinα和tanα.第34页/共182页设00900，对于任意一个00到3600的角=，当[00，900]1800-，当[900，1800]1800+，当[1800，2700]3600-，当[2700，3600]如何求非锐角的三角函数值呢？角1800-，1800+，3600-的三角函数值与的三角函数值有何关系呢？第35页/共182页6.诱导公式:公式1

公式2：

公式3：公式4：公式5：奇变偶不变，符号看象限！（注意：把看作是锐角）第36页/共182页公式五：公式六：偶同奇余象限定号第37页/共182页第38页/共182页（K是奇数）（K是偶数）（K是奇数）（K是偶数）第39页/共182页诱导公式总结：口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：第40页/共182页利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数锐角三角函数到的角的三角函数用公式三或一用公式一用公式二或四第41页/共182页特殊角的三角函数值你记住了吗？度弧度第42页/共182页三、典型例题分析【解题回顾】视sinα，cosα等为“一次式”，sin2α，sinαcosα等为“二次式”.象此题中的“分式齐次式”、“齐次二项式”是典型的条件求值，一般化为含tanα的式子.要注重数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．第43页/共182页1、第44页/共182页

若，则

分析:从已知可求出同除以得例1：原式可化为第45页/共182页例5，若tanA=

,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A的值。指导：这是一个已知角A的三角函数值，求它的三角函数式的值。观察其构成特征，可考虑利用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示。即先变形，后代入计算。第46页/共182页解：例5，若tanA=

,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A的值。第47页/共182页分析：属“给值求值”型本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些。第48页/共182页将齐齐第49页/共182页例题与练习例4化简练习1求sin(2n+2/3)·cos(n+4/3)的值(nZ)2化简cos[(4n+1)/4+x]+cos[(4n-1)/4-x]当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x)当n为偶数时，原式=2cos(/4+x)当n为偶数时，当n为奇数时，第50页/共182页补充:已知(1)试判断的符号；(2)化简作业第51页/共182页解：由的终边在第二、三象限或y轴和x轴的负半轴上；

又，∴角的终边在第二、四象限，从而的终边在第二象限。（1）易知（2）原式=第52页/共182页【解题回顾】★证等式常用方法：（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则）（2）两边向中间证（3）分析法；（4）用综合法★★证等式的思路要灵活，根据等式两边式子结构特点，寻求思路.三、典型例题分析第53页/共182页三、典型例题分析【解题回顾】根据目标式子无β的特点，采用消元思想，三角平方关系式消元是一重要方法.第54页/共182页四、sinθ＋cosθ，sinθcosθ，sinθ－cosθ

三个式子中，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值。第55页/共182页OyxOyx第56页/共182页例2、:已知三、典型例题分析求的值.【解题回顾】sinθ与cosθ通过公式sin2θ+cos2θ=1形成对立与统一的整体，它们的和sinθ+cosθ、差sinθ-cosθ、积sinθcosθ、商sinθ/cosθ(即tanθ)密切相联，如(sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，第57页/共182页例6，若，则

。指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是∈(,)即=1-2×1/8=3/4∴第58页/共182页第59页/共182页小结：解决“给值求角”型问题，关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值，在某个范围内求出具体的角。练习：设两两时第60页/共182页例3已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=，求tanα的值。第61页/共182页

解答下列问题：（1）若在第四象限，判断的符号；（2）若，试指出所在的象限，并用图形表示出的取值范围.思考题第62页/共182页三、三角函数图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义值域奇偶性对称中心RR[-1,1][-1,1]R奇奇偶第63页/共182页函数y=sinxy=cosxy=tanx最值对称轴周期性单调性无最值无2π2ππ第64页/共182页y=sinxy=cosxy=tanx定义域值域奇偶性单调性周期性对称性RRR[-1,1][-1,1]奇函数奇函数偶函数增区间：增区间：增区间：减区间：减区间：对称中心：对称中心：对称中心：对称轴：对称轴：第65页/共182页3、正切函数的图象与性质y=tanx图象xyo定义域值域R奇偶性奇函数周期性单调性第66页/共182页

正切函数的性质：

6、对称性：对称中心7、渐进线：第67页/共182页四、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性o1、正弦、余弦函数的图象与性质第68页/共182页．y=sinxyx1-1p/2

2po3p/2

．．．．p五点作图法p

．p/2

3p/2

2poyxp

y=cosx．．．1-1对称点：(kp,0)对称轴：x=kp+p2对称轴：x=kp对称点：(kp+,0)p2T/2k∈Zk∈ZT/2第69页/共182页练习：y=3sin(2x+／６)的图像的一条对称轴方程是（）（A）x=0(B)x=／６

(C)x=-／６（D）x=／3B解：令X=2x+／６,则y=3sinX,由此可知y=3sinX的图像的对称轴方程为Ｘ＝k+/2，kZ2x+／６＝k+/2，kZ，解得x=k/2+／６,kZy=3sin(2x+／６)的图像的对称轴方程为：x=k/2+／６,kZ令k=0得x=／６第70页/共182页1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法2、y=Asin(ωx+φ)关于A、ω、φ的三种变换法一：五点法列表取值方法：是先对ωx+φ取0，π/2，π，3π/2，2π法二：图象变换法（1）振幅变换（对A）（2）周期变换（对ω）（3）相位变换（对φ）(二)y=Asin(ωx+φ)的相关问题第71页/共182页3、求y=Asin(ωx+φ)+K的解析式的方法4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的对称中心和对称轴方程第72页/共182页2、函数的图象（A>0,>0)第一种变换:

图象向左()或向右()平移个单位

横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍横坐标不变第二种变换：横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变

图象向左()或向右()平移个单位

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍横坐标不变第73页/共182页5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性第74页/共182页例3、不通过求值，比较tan1350与tan1380的大小。解：∵900<1350<1380<2700又∵y=tanx在x∈（900，2700）上是增函数∴tan1350<tan1380

。第75页/共182页解∵

3、求函数的定义域和值域第76页/共182页

4、函数单调递增区间是—————————变题：函数单调递减区间是

—————————第77页/共182页5、函数y=cos(2x+)图象的一条对称轴方程为_____。(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=解：2x+=k2x=k-x=-k=0x=-选B6、函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移个单位，再数将图象上所有点的横坐标扩大到原来2倍（纵坐标不变）得函数y=sinx图象则ω=____φ=____。解：y=sin2x=sin2(x-)=sin(2x-)ω=2φ=-第78页/共182页7、8、第79页/共182页思路:函数y=sin2x+acos2x可化为要使它的图象关于直线x=-π/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、小值.第80页/共182页第81页/共182页例9、(98年)关于函数有下列命题：①

的表达式可改写为②

是以为最小正周期的周期函数③

的图象关于点对称④

的图象关于直线对称其中正确的命题序号是。①③第82页/共182页（3）连线：用“五点作图法”作出y=Asin(x+)在长度为一个周期闭区间上的图象(2)描点：（1）列表：0-A0A0y0x+xy(,0)(,A)(,0)(,-A)(,0)第83页/共182页(1)由最大值点（或最小值点）定A(2)由两个关键点（特殊点）定和总结给出函数y=Asin(x+)(A>0,>0)的图象求其解析式的一般方法：第84页/共182页6、已知下图是函数的图象(1)求的值；(2)求函数图象的对称轴方程.Ox21–1–2y⑴（2）函数图象的对称轴方程为即第85页/共182页第86页/共182页设函数（1）求；（2）求函数的单调递增区间；（3）画出函数在区间[0，π]

上的图象.图象的一条对称轴是直线第87页/共182页

解析:（1）图象的一条对称轴,是Oyx第88页/共182页（2）

函数的单调递增区间为第89页/共182页xyπo-11x∈[0,π]（3）第90页/共182页5)函数(A>0,>0)的一个周期内的图象如图，则有()(A)(B)(C)(D)第91页/共182页yx03-3yx02-2-4如图：根据函数y=Asin(x+)(A>0,>0)图象求它的解析式第92页/共182页yx0-44如图：根据函数y=Asin(x+)(A>0,>0)图象求它的解析式第93页/共182页yx02-2如图：根据函数y=Asin(x+)(A>0,>0)图象求它的解析式第94页/共182页yx012如图：根据函数y=2sin(x+)(>0)图象求它的解析式第95页/共182页yx012如图：根据函数y=2sin(x+)(>0)图象求它的解析式第96页/共182页yx根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：

使符合条件的的角x有且只有一个，而且包括锐角．4.11已知三角函数值求角

在闭区间上，符合条件的角x，叫做实数a的反正弦，记作，即，其中，且．的意义：首先表示一个角，角的正弦值为a，即．角的范围是第97页/共182页4.11已知三角函数值求角练习：（1）表示什么意思？表示上正弦值等于的那个角，即角，故（2）若，则x=

（3）若，则x=第98页/共182页4.11已知三角函数值求角的意义：首先表示一个角，角的余弦值为a，即．角的范围是．根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：

使符合条件的的角x有且只有一个，而且包括锐角．yx

在闭区间上，符合条件的角x，叫做实数a的反余弦，记作，即，其中，且．第99页/共182页4、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数y=arcsinx,y=cosx,的反函数y=arccosx,y=tanx,的反函数y=arctanx,⑵已知角x()的三角函数值求x的步骤①先确定x是第几象限角②若x的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角③根据x是第几象限角，求出x

若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得

x=；若x为第四象限角，即得x=④若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。⑴反三角函数第100页/共182页已知三角函数值求角已知三角函数值求角x（仅限于[0，2π]）的解题步骤：1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0

；2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；3、根据角x的可能的象限角得出[0，2π]内对应的角：如果x是第二象限角，那么可以表示为π－x0如果x是第三象限角，那么可以表示为π＋x0如果x是第四象限角，那么可以表示为2π－x0第101页/共182页说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.(1)判断角的象限；(2)求对应锐角；如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.(3)求出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，则可表示为x1＋π或－x1＋2π.(4)求出一般解利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.（三）已知三角函数值求角”的基本步骤1、基本步骤第102页/共182页2、表示角的一种方法——反三角函数法1、反正弦：这时sin(arcsina)=a

2、反余弦：这时cos(arccosa)=a

这时tan(arctana)=a

3、反正切：第103页/共182页三、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo●●2、两角和与差的三角函数注：公式的逆用及变形的应用公式变形第104页/共182页3、倍角公式第105页/共182页一、知识点（一）两角和与差公式（二）倍角公式

★公式=1-cos2α2cos2α=1+cos2α1+cos2α=2cos2α1-cos2α=2sin2αtanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)注意1、公式的变形如：注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.Cα±β：Sα±β：C2α：S2α：T2α：Tα±β：第106页/共182页倍角公式：注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别和角公式的一个重要变形第107页/共182页其它公式1、半角公式2、万能公式第108页/共182页二、两角和与差的正弦、余弦、正切：注意：、的变形式以及运用和差公式时要会拼角如：要熟悉公式逆用！第109页/共182页三、一个化同角同函数名的常用方法：如：例、求的值四、二倍角公式：第110页/共182页降幂（扩角）公式升幂（缩角）公式和差化积公式：积化和差公式：第111页/共182页例4．化简：

解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”。第112页/共182页例4．化简：

解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。第113页/共182页例4．化简：

解法3：从“名”入手，“异名化同名”。第114页/共182页例4．化简：

解法4：从“形”入手，利用“配方法”。第115页/共182页三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一第116页/共182页微观直觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；7、见sinα±cosα或9、见cosα·cosβ·cosθ····，先运用sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q8、见asinα+bcosα，想化为的形式若不行，则化和差10、见cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)…，想乘

想两边平方或和差化积第117页/共182页总结：多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；

asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！第118页/共182页【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持“四化”：多角同角化异名同名化切割弦化特值特角互化第119页/共182页公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导，然后利用换元及等价转化等思想方法，以为中心推导公式体系。第120页/共182页sin²α+cos²α=1第121页/共182页二【述评】1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）分析综合（由因导果或执果索因）实现转化。第122页/共182页1、值域与最值问题①利用有界性②化二次函数型③运用合一变换④换元第123页/共182页十七、求值域问题：主要是将式子化成同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性求解。例10、求函数的值域有时还要运用到的关系第124页/共182页2、对称性问题3、奇偶性与周期性问题注意绝对值的影响化为单一三角函数第125页/共182页4、单调性与单调区间复后函数单调性注意负号的处理第126页/共182页5、图像变换问题①相位变换、周期变换、振幅变换②求函数解析式第127页/共182页例5:已知函数求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；解：⑴⑵

应用：化同一个角同一个函数第128页/共182页例5:已知函数求：⑶函数的最大值及相应的x的值；

⑷函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。解：⑶⑷图象向左平移个单位图象向上平移2个单位

应用：化同一个角同一个函数第129页/共182页例6：已知解：应用：化简求值第130页/共182页例1化简：解:∵∴原式=第131页/共182页第132页/共182页第133页/共182页练习题第134页/共182页例2

(1)已知求证：(2)已知求(1)证明：∴∴化简得：∴∵第135页/共182页(2)已知求解:∵∴∵∴∵∴∴第136页/共182页解：应用：化简求值例5.已知第137页/共182页∵∴∴第138页/共182页2、解:由两边平方得:①2由两边平方得:②2由①2+②2得:即所以由②2

－①2得:第139页/共182页第140页/共182页第141页/共182页练习已知求解:∵∴∵∴∴∴第142页/共182页第143页/共182页例3.已知函数f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合．第144页/共182页解：f(x)＝sin(2x－)＋1－cos2(x－)＝sin(2x－)－cos(2x－)＋1＝2sin(2x－)＋1．函数f(x)的最小正周期T

＝.使函数f(x)取最大值的x的集合为{x|x=k

＋

,k∈

Z

}．第145页/共182页5、已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2cos2(x+)-。（1）化简f(x)的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ，使函数f(x)为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)=1，x∈[-π,π]的x的集合。解：(1)f(x)=sin(2x+θ)+[2cos2(x+)-1]=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2cos(2x+θ-)(2)当θ=时f(x)为偶函数。(3)2cos2x=1cos2x=x=±

或x=±第146页/共182页

例6、已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(a∈R,a常数)。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若x∈[-,]时，f(x)的最大值为1，求a的值。解：（1）f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin(x+)+a

∴f(x)最小正周期T=2（2）x[-,]∴x+∈[-,]

∴f(x)大=2+a∴a=-1第147页/共182页例7、求函数的值域.解：又∵-1≤sinx≤1∴原函数的值域为：变题：已知函数（a为常数，且a＜0），求该函数的最小值.当-2≤＜0时，当＜-2时，第148页/共182页1、已知a>0函数y=-acos2x-asin2x+2a+bx∈[0,]，若函数的值域为[-5,1]，求常数a,b的值。解：

3a+b=1∴a=2b=-5b=-5第149页/共182页2、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)：（1）求g(a)；（2）若g(a)=，求a及此时f(x)的最大值。解：（1）f(x)=2(cosx-)2-2-2a-1-1≤cosx≤1①当-1≤

≤1即-2≤a≤2时f(x)小=-2-a-1②当>1即a>2时f(x)小=f(1)=1-4a③当<-1即a<-2时f(x)小=f(-1)=1第150页/共182页（2）a=-1

此时f(x)=2(cosx+)2+f(x)大=52、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)：（1）求g(a)；（2）若g(a)=，求a及此时f(x)的最大值。第151页/共182页3、已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2cos2(x+)-。（1）化简f(x)的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ，使函数f(x)为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)=1，x∈[-π,π]的x的集合。解：(1)f(x)=sin(2x+θ)+[2cos2(x+)-1]=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2cos(2x+θ-)(2)当θ=时f(x)为偶函数。(3)2cos2x=1cos2x=x=±

或x=±第152页/共182页例4.已知函数f(x)＝asinx－bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x＝处取得最小值，则函数y＝f(－x)的对称中心坐标是____________．第153页/共182页解：由(a－b)＝－化简得a＝－b．所以f(x)＝asin(x＋)，a＜0．从而f(－x)＝asinx，其对称中心坐标为(k，0)，k∈Z.第154页/共182页平面向量复习向量的三种表示表示运算向量加法与减法向量的相关概念实数与向量的积三角形法则平行四边形法则向量平行、垂直的条件平面向量的基本定理平面向量向量的数量积向量的应用第155页/共182页几何表示

:有向线段向量的表示字母表示坐标表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)则AB=

(x2－x1,y2－y1)返回第156页/共182页1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:既有大小又有方向的量1.有向线段2.字母3.有向线段起点和终点字母长度为零的向量(零向量与任意向量都平行长度为1个单位的向量1.方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行长度相等且方向相同的向量平行向量就是共线向量第157页/共182页向量的模（长度）1.设a=(x

,y),则2.若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则返回第158页/共182页第159页/共182页例1：思考下列问题：1、下列命题正确的是（1）共线向量都相等（2）单位向量都相等（3）平行向量不一定是共线向量（4）零向量与任一向量平行四、例题第160页/共182页一、第一层次知识回顾：1.向量的加法运算OAB三角形法则OABC平行四边形法则坐标运算设：则“首尾相接首尾连”第161页/共182页2.向量的减法运算1）减法法则：OAB2）坐标运算

设：则

设

则思考：若非零向量，则它们的模相等且方向相同。同样若：“同始点尾尾相接,指向被减向量”一、第一层次知识回顾：第162页/共182页1.向量的加法运算ABC

AB+BC=三角形法则OABC

OA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a+b=重要结论：AB+BC+CA=0设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC第163页/共182页例题：第164页/共182页实数λ与向量a的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度|λa|=|λ||a|；它的方向(1)当λ≥0时,λa的方向与a方向相同；(2)当λ＜0时,λa的方向与a方向相反.若a=(x

,y),则λa=

λ(x

,y)=

(λx

,λy)返回第165页/共182页平面向量的数量积（1）a与b的夹角：（2）向量夹角的范围：

（3）向量垂直：[00

，1800]abθ共同的起点aOABbθOABOABOABOAB第166页/共182页（4）两个非零向量的数量积：

规定：零向量与任一向量的数量积为0a·b=|a||b|cosθ几何意义：数量积

a·b