cau-三院终极考研农数试卷汇总

中国2012～2013学年秋季学期3一、1f(x)=1+3xx2;2、4;3、32

;4 ;5、I=2cos2xxsin2x;6、x2

;7x4y20;8、2ln

;9、ln2;102三、计算题，共30分

yxy2x2x y1 y

x2yxyxy

yy4x312x2y12x224x3612(x3)(xx1时，y0,1x3时，y0,x3时，y0,13（3，-

t,xt2,dxxdx 2tdt xxxxxxxx

x tt t2tttt

c

c 1f(x)dxx3x211f(x)dx21f(x)0

所以，f(xdx=1，f(x3x22x02f(x)dx2(3x22x1)dxx3x2x2 arctanxdx 1 1x2arctanxdx1arctanxdx 1 1 xarctanx

1

dx

xarctanx1ln(1x2)1arctan2x 令f(xlnxx1x x12 xf(x) x xx xxf(x)x1时，f(xf(10,即lnxx1五、20y1ax2与yx2交点为x

1

x，交点处y11110 (a110A=1a1ax2x2dx2x ya y,yaa0时，y1ax2与yx2y y

dy 21yaa0时，y1ya121

dy111 21 ；；

f(xexxx21,等价于ex(1xx22012~2013高等数学（C）课程考试试题—二三四五六七八limsin4xx0tanlimsin4xx0tan y4ye2x12 1yc1e

41lim(cosx)ln(1x2) lncosx

limlncos

lim(1x2)sin lim(cosx)ln(1x2)limeln(1x2

ex0ln(1x2)ex0

e2

cosx2lim(1 )x0x2 xtanxlim(1 x0 xtan x22y23z221在点(1,2,2)x-1=y+2=z- 21

exdx2 21 23exdx

ex 1 x2y2设rx2y21-2( ,33设在区间[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0令s bf(x)dx,sf(b)(b s1[f(a)f(b)](ba)，则 （A）s1s2s3 （B）s2s1s3（C）s3s1s2 （D）s2s3f(xx＝0处连续,且X

f(x)1,则下列命题正确的有 xA、f(0) B、f C、

f

存 D、

f2x设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则（ (A) 11dx=2 1x

11x

dx=-2

11

11dx=1

13x

x设f(x)3

x1xx

是 （A）连续点;（B）跳跃间断点;（C）可去间断点 （B）必不可导 （D）必无定 (x,y)(0,二元函数f(x,y)x2 在点(0,0)处 (x,y)(0,连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在;（D）不连续，偏导数不存在三、计算题（610858分）x2ax1.（1）已知lim 求a、bx1sin(x2解：由题意limx2axb

即ab1 2又limx2axb 2x 2a 4x1sin(x2 x12xcos(x2所以a1,b 2

sin3xsin5xdx0

sin3x(1sin2x)dx0

2cos

3sinxdx-3

sin3xdx

22

42 2zxy2x2y，求全微分dz解：dz=(y22xy)dx(2xyx2 8解：设切点为(alna，则切线为ya又切点(alnayx上，代入得aaye（1）A1(eyey)dye1ee

2 3 （2）Vee(lnx)2dx22 e(lnx)2dx(e 324.fx在0,1上连续，在01内可导，且f0f10,f12 证令Fxfxx，显然，Fx在0,1上连续，在0,1内可导， 2分又F1f1110，F1f1110，由零点定理可知， 存在一个1,1，使F 4 又F00F，对Fx在0,上用罗尔定理，存在一个0,0,1，使F0，即f1，0,1 2分D{(xy|x2y21,x

D

11x21 11+r2cos解：I 2dxdy=2d

41xD

2

= 4= 4 42

4-2yycosxesinxp(x)cosxQ(x)esinyep(x)dx[Q(x)ep(x)dxdxecosxxdx[esinxecosx)dxdx

2 6 2中国2012～2013高等数学 课程考试试题A—二三四五六七八f(x)

2f(1x

x,则f(x) lim(1x)log2 设f(x)x(x1)(x2)(x3)，则f(x)0有 yx2是曲线yx3px的一条切线 )（12,3,1,2P,3,3 x曲线yxe2,x0与X轴围成的图形绕X轴旋转所得到的旋转体体积为 f(x)2exe2x的马克劳林展开式为 3x2f(x,y)x2y(x 3x210.y4y10.y4y0的通解为)1.x0sinxx2x的2A.f2.f(xlim x） fffD.fE.f在区间[0,1]上，f(x)0,f(x)0,f(x)0，则 1f(x)dx<f(1)<f(0)f B.f(1)<1f(x)dx<f(0)f f(0) (1)f(x)dx<f

f1<f(0)1f(1)< y4yxe2x的特解形式为 y B.y(ax C.y(ax D.y(ax设xy2dxdy1区域D为y0,x1,yax(a0)围成的区域则a y

求不定积分

1tan计算定积分4xtan20f(x的一个原函数为ex2，求1xf0计算I 1 dxdy其中D为由曲线x2y2=1与x2y23围成的区1x2D yycosxxesinx

1的 设f(x)可导，zxyxf()，求证： xy 设f(x连续，则0f(x)dx0f( 五、计算题，81 一、1.

3

3. 6. 8.33x2二、A、D、D、C、A

C1e4xCyxex，yexxex，yxex2exx02处是拐点，y0切线斜率ky|x2e2y2e2e2x2)，即e2yx4 dx cos 1tan sinxcos sinxcos sinxcos x2 x24xtan2xdx=4x4xtan2xdx=4xsec2xdx4xdx=4xdtanx4=xtanx4

4tanxdx

lncos

4

2 2f 的一个原函数 e f(x)2xex2(4x21xf(x)dx=1xdf(x)xf(x)11f(x)dxxf(x)1f(x) =x(4x22)ex212xex210xr0引进极坐标yrsin1

01r

，由关于YI1x2y2dxdy=1x2y=d =d2

3d3d

21 11r 0 0yycosxxesinxyP(xyQ(x)P(x)cosx,Q(x)xesinxyePdx

QePdxdxC=ecosxdx

xesinxecosxdxdxCsinx

xdxC=esinxx =

Csinxx 将yx01代人，得C=1，特解为y

yy zx 四、1.xyf(x)xf(x)x2， xf(x)(x)xf(x yy y xy xxyyxyxyf(x)xf(x)x2yxf(x)xy f(x) 2．设xt0f(x)dxf(t)(dt0f(t)dt五、计算题，8

f(f(x)ax2bxcf(x)2axb 2ab1ax2bxc4x3dx abc1 a=21,b=-30,c=13,f(x21x230x中国2012～2013高等数学 课程考试试题A—二三四五六七八f(x)

2f(1x

x,则f(x) lim(1x)log2 设f(x)x(x1)(x2)(x3)，则f(x)0有 yx2是曲线yx3px的一条切线 )（12,3,1,2P,3,3 x曲线yxe2,x0与X轴围成的图形绕X轴旋转所得到的旋转体体积为 f(x)2exe2x的马克劳林展开式为 3x2f(x,y)x2y(x 3x210.y4y10.y4y0的通解为)1.x0sinxx2x的2A.f2.f(xlim x） fffD.fE.f在区间[0,1]上，f(x)0,f(x)0,f(x)0，则 1f(x)dx<f(1)<f(0)f B.f(1)<1f(x)dx<f(0)f f(0) (1)f(x)dx<f

f1<f(0)1f(1)< y4yxe2x的特解形式为 y B.y(ax C.y(ax D.y(ax设xy2dxdy1区域D为y0,x1,yax(a0)围成的区域则a y

求不定积分

1tan计算定积分4xtan20f(x的一个原函数为ex2，求1xf0计算I 1 dxdy其中D为由曲线x2y2=1与x2y23围成的区1x2D yycosxxesinx

1的 设f(x)可导，zxyxf()，求证： xy 设f(x连续，则0f(x)dx0f( 五、计算题，81 一、1.

3

3. 6. 8.33x2二、A、D、D、C、A

C1e4xCyxex，yexxex，yxex2exx02处是拐点，y0切线斜率ky|x2e2y2e2e2x2)，即e2yx4 dx cos 1tan sinxcos 2sinxcos sinxcos x2 x24xtan2xdx=4x4xtan2xdx=4xsec2xdx4xdx=4xdtanx4=xtanx4

4tanxdx

lncos

4

2 2f 的一个原函数 e f(x)2xex2(4x21xf(x)dx=1xdf(x)xf(x)11f(x)dxxf(x)1f(x) =x(4x22)ex212xex210xr0引进极坐标yrsin1

01r

，由关于YI1x2y2dxdy=1x2y=d =d2

3d3d

21 11r 0 0yycosxxesinxyP(xyQ(x)P(x)cosx,Q(x)xesinxyePdx

QePdxdxC=ecosxdx

xesinxecosxdxdxCsinx

xdxC=esinxx =

Csinxx 将yx01代人，得C=1，特解为y

yy zx 四、1.xyf(x)xf(x)x2， xf(x)(x)xf(x yy y xy xxyyxyxyf(x)xf(x)x2yxf(x)xy f(x) 2．设xt0f(x)dxf(t)(dt0f(t)dt五、计算题，8

f(f(x)ax2bxcf(x)2axb 2ab1ax2bxc4x3dx abc1 a=21,b=-30,c=13,f(x21x230x2012~2013高等数学（C）课程考试试题 limsin4xx0tany4ye2x212lim(cosx)ln(1x)lim(1 )x0 xtan曲面2x23y24z27在点(0,1,1)

21exdx31x2y2x2y2

(1,2,2)设在区间[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0令s bf(x)dx,sf(b)(b s1[f(a)f(b)](ba)，则 （A）s1s2s3 （B）s2s1s3（C）s3s1s2 （D）s2s3f(xx＝0处连续,且X

f(x)1,则下列命题正确的有 xA、f(0) B、f C、

f

存 D、x (A) 11dx=2 1x

11x

dx=-2

11

11dx=1

13x

x设f(x)3

x1xx

是 （A）连续点;（B）跳跃间断点;（C）可去间断点 (x,y)(0,二元函数f(x,y)x2 在点(0,0)处 (x,y)(0,连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存x2ax1.（1）已知lim 求a、bx1sin(x2

zxy2x2y，求全微分dz 24.fx在0,1上连续，在01内可导，且f0f10,f12 设区域D{(xy|x2y21,x0,ID

11x2 yycosxesinx—二三四五六七八—二三四五六七八1、fsinx3sinx，且f(0)1，则f(x) 2、2上点(x0,y0)处的切线在坐标轴上的截距之和 3、 4、 x0 ex5、I

sin

1t2dtI 6、设函数fx有原函数xlnx，则xfxdx x7、y 在x2处的切线方程 8、f(x)x2x，g(x)2x在区间[0,1]满足罗尔中值定理则 1(1bx)x,x9f(x

，limf(x)存在，则 ,x 22100

315分11、设在区间[a,b]f(x0,f(x0,f(x0s f(x)dx,sf(b)(ba),sf(a)f(b)(ba)，则 ba a（A）s1s2s3 （B）s2s1s3（C）s3s1s2 （D）s2s312设f(x),g(x)是可导的正函数且f'(x)g(x)f(x)g'(x)0则a<x<b时 (A)f(a)g(a)f (B)f(x)g(a)f(C)f(x)g(x)f (D)f(x)g(x)f13、已知=2x1x与=xsin(sinx)，则x0时 （A）与等价无穷 （B）比高阶无穷小 （D）与同阶无穷小 14、设F(x)=f(x)是连续函数，则 （A）F(x)是奇函数时，f(x)必是偶函 （B）f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函F(xf(xF(xf(xxxe1exx15f(x)

1，则x0是函数的( exe （B）可去间断点 （D）第二类间断162arctanxln(x2y2求y17yx44x318x23 3 19f(x)3x22x1f(x)dx，求2f(x x2x20计算不定积分1x2arctan

x x22（1）y1ax2yx2围成的图形面积（6y1ax2y23（1）求函数yex1xx2x0的极值（6分（2f(xexxx2xf(x1，常数最小应该取什么值？（4分中国2012～2013学年秋季学期

、f(x)=1+3x 2

;433

;5

xxsin2x;6xc;7x4y20;8、2ln

;9、ln2;102三、计算题，共30分 yxy2x2x y1 y yxyx

x2y

yy4x312x2y12x224x3612(x3)(xx1时，y0,1x3时，y0,x3时，y0,13（3，-

t,xt2,dxxdx 2tdt xxxxxxxx

x tt t2tttt

c

c 1f(x)dxx3x211f(x)dx21f(x)0

所以，f(xdx=1，f(x3x22x02f(x)dx2(3x22x1)dxx3x2x2 arctanxdx 1 1x2arctanxdx1arctanxdx 1 1 xarctanx

1

dx

xarctanx1ln(1x2)1arctan2x 令f(xlnxx1x x12 xf(x) x xx xxf(x)x1时，f(xf(10,即lnxx1五、20y1ax2与yx2交点为x

1

x，交点处y11110 (a110A=1a1ax2x2dx2x ya y,yaa0时，y1ax2与yx2y y

dy 21a0时，y1ax2 yaV= ya1 21 23（1）（1）yex2xx2ex(1x)(2x令y0,x1

f(xexxx21,等价于ex(1xx2中2009,..._,2010高等数学(C)（A卷）勹：I／I三I四I五I六I七I八 填空题（每题3分，共30分 In(n- n，，，言［ 一了 2.F(x)＝寸f(t)dtS:tj.(t)dt,则F"(x=－—3.巳知ff(x沁＝lnxc,ff'(x)dx= ""-设x2y+xy2+2y3=1确定y=y(x)，则y"+3y'+2y=0改变「叶勹（x,y)dx y- 判断直线一—-=－-－=－．与平面3x-2y-z+15=0 二、计算题(12分，其中每小题6分计舞极限lim-L「arctan22学院 班级 学号 2.设 2.设＝（一）°(其中a为常数）1.求函数l(x)=f:(t 2.求广义积I J矗(1+33四、计算题(12分，其中每小题6分计算ffe-x2l-2如，其中 x2+ a2(a>D求通过点PCl,1,1),QC0,1,-1)且垂直千平面x+y+z=O五、计算题(12分，其中每小题6分L求函数z=x2+）产在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2)44学院 班级 学号 求xy'+y＝矿满足初始条件ylx=I=e六、计算题(12分，其中每小题6分求证：当X<1时，e5-证明:arctanx=arcs·m (-oo<X<-I-言55求由抛物线y2=X与y=x2围成的平面图形面积S和该图形绕y轴旋转一周f(x)xln(1x)的4阶马克劳林展开式 曲线ra(1cos)所围成的图形的面积 x

y2

z与

x2

y1

z

曲面z y2上点(x,y,z) 。lim1 x x1ln x f(x)a2x2,满足-f(x)dx1,则a f(x)的一个原函数是sinx,则xf(x)dx x

3dx2f(x.y)dy交换积分顺序 函数y

e22曲线的凸区间 0若0

f(t)dt

x,则f(x)sinxdx x函数f(x)满足|f(x)|x2，则x0点是函数的 C.可导且f(0) D.可导且f(0)若f(x)满足f(x)2xf(x)f2(x)ex且f(x0)0，则f(x) 7A. A. xln(1t2ytarctant确定的曲线在t=1处的切线方程为 A.y1 B.x2y2ln22C.x2y2ln2

D.2xy2ln2 求f(x)满足xf(x3f(x6x2且f(1)0,f(1)yf(x0x1,满足f(x26x4，X轴围成的图形绕X轴旋转所y2yyf(xyxsinxf(x zf(xyxy的二阶偏导数连续,求xxy）dxdy，其中Dx2y21内满足|x|y的区域。D6计算定积分0

sin （9分

yex1xx2x0f(xexxx2x0,f(x1，常数2 3 2sin 2一、x ， ， ，，cosx c，

f(x,y)dx3 3三、令f(x)exex 2f(x)exee(ex11)0,x1，f(x)单调上 3x1时，f(x)f(1)0，即ex 2四、1.令uf(x),原方程变为u3u6xx

x1 23dx 所以ue xdxc1x3x2dxc1c1x3 由ux12得c14,f(xu6x24x

2f(x)f(x)dx6x24x3dx2x3x4 2由yx10,得c1,f(x)2x3x4 1记x2t,则f(t)6t2,f(t)2t3 3 2V0f(x)dt02xcdx cc 37 V(12c),c1时，体积最 1 f(x)y2yyxsinxxsinx)xsinx2sinx2cosx2xcos 3特征方程r22r10,r1,1yc1excyc1exc2xexxsin

2 2z2xfyf 42z

2xfyf4xyf2x2f

2 1

0r

xr，yr ，I4

2sincos3

240413 4sincosd34I

sinxcosxcosxsinx

42 0sinxcosxx2

lnsinxcosx2 五、f(x)ex(2xx2)ex(2x)(1x)，令f(x)0,得x0 3 3f(x)1ex(1xx2)，即λ的最小值为f(x)的最大值，等于e 3中国2013~2014学年秋季学期高等数学C 课程期中考试试题A卷—二三四五六七八1 x1 xx x24的微分dy 3、limesinxesin1 4、ln(y2x2)2arctany，y x50

4xx2dx 6、若f(x)dxF(x)C,则sinxf(cos 等于 7、y 1

的凸区间为 8、f(x)的一个原函数为xsec2x，则xf(x)dx y 9 3x1sin ，yy 10、曲线ysinx, 0x 绕X轴旋转所得到的立体体积（ 二、选择题，每题3分，共12分(A)f(1)f(0)f(1)f x22 x22

2

x2 x24) x23、设函数f(x)2xcosxln2sinx，则当x0时 （A）f(x)与x是等价无穷小 （B）f(x)与x是同阶但非等价无穷小f(x)是比x的高阶无穷小 （D）f(x)是比x低阶的无穷小 4已知

f

2，则

f(2x)等于 x(A)6

3

2

(D)31xebx1、f(xasin2x2、求lim1

xx

可导,求a、 x3、arctg4yx24x5ex的性质（列表5、计算

6、计算2xsin ，xsin1

2 21cos7、118（1）求抛物线y1 (0x1)在xa点处切线方 1、xf(sinx)dx f(sin02、当0x

242013~2014C 一、2 ,1esin1cos1

x，

,-F(cosx)+c,(,3) 3) xx x2xsecxtanxc x1x1cotx1

f(0a11 3f(0f(02a1bb 6 lim1x

x1xlnx

xln 3

x1ln x

x1(x1)ln x1xlnxx=limlnx11（L法则 6x1lnx

u,xu2,2分原式 u2arctgu duu2arctguuarctguc5 1 解：yx22x1exx12ex，y0,x 2yx21exy0,x 3x1+++0++0-0+6sin3xsin3xsin5

sin2xcosx，在0上，cosxcosx；在sin3x(1sin232sin3x(1sin23上，cosxcosx 2 00所 sin3xsin5xdx2sin2xcosxdxsin2x(cos00 4

sin2x

sin22sin2xd(sinx)sin2xd(sinx) 224

52 5 2555--------------6解 dx2xsin解 dx1

dx1cos

sin2xdx11cos dx=1cos

xsec2xdxxdtanxxtanxtanxdxxtanxlncosxc4=sin dcos2x=1ln(1cos2x)= 1cos 1 2xsin2xdxxtanxlncosx1ln(1cos2x+c51 xsin 62 21cos19x 119x 1

13x

3119x= dx dx=1 d3x119x1919x19x 19x=1arcsin 19x

6则该点处的切线方程为y-(1-a2)=-2a(x- 2xyA([1+a2]/2a,0),B所围面积s(a)11a2 11x2dx1a2 2,s(a)1a23a21,4

4a3令s(a)0S(x)0，得[0，1]上的唯一驻点a 33又x3

,S(x)0，x33333

S(x0，因此x

3最小点。故所求切线为Y23X4。---6 四1、

2 42xf(sinx)dx=

0xf(sinx)dx=0

f(sinx)dx----5 2 f(t)sec2 ------2tan2xtanxsec2(2xx)sec2x0xtan2xtanx4

5（方法2）令f(x)tan2xtanxx 2f(x)2sec22xsec2x1=sec22xsec2xtan22x0，f(x)单调递 4x0时，f(x)f(0)0，即tan2xtanxx 522R'}`·

`-··-｀..，勹学院：．

2007~2008高等数学C班级：祖 且limf=1，xo B一A、f(0) 炉 C、 存在,o4D、lim广(x)-:J:-一f(x) X 炒?、f(x)是偶函数，且在(1,2)处的切线方程为2x-3y=·4,则f'(-1)炒2 2-A、 怼 C、一 D - 3、设函数f(x)在X。点可导，则下列极限箫千/'(X。)的 A、limf(x。一心）－f(x。 物B、limf(x。+3心）气fi(x。应 一心 ．应

;应 ｀ ｀心分 ))判函数f(x)在此区间内．，n．单调减少，曲线是凹的 （勹）．单调增加，曲线是凹的 （D)．单调增加，曲线是凸的5、设函数f(x)可戍且f(x)>O,下列等式不正确的是 r._,., _f'(x) 门

B、[ifnxf ·,- C、[f(I)]'= )=;6、设函数f(x)在(a, A,•f(b)-f(a)=1-K()(b-a), E(a,b) B、f(b)-f(a)=J'()(x2-x,), E)=;C、f(x2)-f(x1)-=/'()(b- E(a, 7．设f(x),g(x)是千零的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当i时，有（旮）i＿A、f(x)g(b)>f(b)g(x).B、 f(a)g(x)上剕 ＿乙 初 1/十）穸C、f(x)g(x)> D、f(x)g(x)8、 f(x)= f(x)=a是函数在点x＝沟处连续z今X

（ / /\？、利用二阶马克劳林计算In!.02为A、0.0198 B、0.归

八C、0.

x4l、．了 x-+-1已知lim-－－＝limln(l-） x-+-

,= - 3归—-x3--=-—－二：王lim(—)..

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lA6中国 ,2009高等数学 诮轩呈去启式诅3题LA卷 ｝ 总 一、填空题（每题3分，共30分（体育：1,2,11,12,13)。（其它专业：1---1、,E）一2、函数ysin2x的微分dsin2x)=3函数l(x)=『2e1dt的极值点Ia+x,x<向虽{-2,1,2}与{-1,-1.4}左设一元函数z=x'+sin(x勹，则一 匈在空间直角坐标系中方程x=2表示的图形 9设积分区域D是以A(l,l),B(l,2),C(4,2)为顶点的二角形，则II扭 10.方程xy'=ylny满足y(l)=e111！三产dd·2x骂xl3曲线y=2Sil1XTX1在愤巠标x=O处的切线，订干22含～｀．．．．\本人消楚学校关千考试管理、考场规则、考试处理的规定，并严格遵照执行本人承诺在考试过程中没有行为，所做试卷的内容真实可信～学院 班级 ．，一学号 二、计算下列各题（体育：1,2,每题14分。其它：2,3每题7分，共,14分1求］x12求极限lim~＿＿....o 八 设y==y(x)是由函数方程1+sin(x+y)=e-“在(0,0)点附近所确定的隐 数，求y＇及y==y(x)在(0,0)33三、计算下列各题（体育：.1,2,每题14分；其它专业：3,4，每题7分）1yarctg-，求dy;（体育X2已知f(x)的一个原函数为(l+sinx)lnx,求I对'(x)dx.（体育23设z=arctan王，求全微分dz（其它专业2x-｀久e-x,X< 设函数J(x)＝{x,x20，求F(x=[f(t)dt.（其它专业学院 班级 学号 Jarctg五dx;（体育 L2求函数、f(x,y)xi+xyy23x6y的极值（其它专业44五 计算下列各题（体育：1,每题15分；其它专业：2，每题7分

55，求微分方程y"-a勺：：：：e-a.,,(a>0)-、-＝六、计算下列各题（其它专业7分求抛物线y=1-x2在(0,1)， 七计算Jfe"dxdy，其中D是由y= ===1及x==0=所围成的区域（其它专业7分D6.6＾学院 班级 学号 八、证明题（每题7分，共14分）（其它专业l、已知凶也C的三个顶点的坐标为A(2;4,3),B(l0,-1,6)和C(4,1,9)凶BC、，2证明：若函数f(x)连续，证明 厂彻f(sinx)dx厂彻f(sinx)dx 、？尸~-

中国,

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2的单调递增区间

·}.·}...矿,，, 曲线y=e-1,.l xdx= x2+2x-

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`sin2xcos3x心 `Y Y6.二重积分「dyfey- z-

M(-1,2,0)

．一，·＝－一＝－－－和 8.隐函数2.xyz=x1七沪＋z2确定的函数z=f(x,y)．_.,. 9.微分方程y"+2y'-8y=0的通解 设边长为1的等边三角形的顶点为A、B、C,记a=AB、b=BC、

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}·'.,'}·'.,'分，共21分

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． ．寸 ＇·木人承诺在考试过程中没有行为，所做试卷的内容真实可信学院 班级 息学号 \立若函数f(x)在x。处可导，则IJCx)I在x。处 ｀ (C)一定不可导 （D）不连续3.设函数/(x)=5x+7｀一－2'则当x今0时 f(x)与x是等价无穷小 f(x)与x是同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x的高阶无穷小 f(x)是比x低阶的无穷小f(x)的一个原函数是2xe`2，则I汀'(x)dx= -4x3ex1

（x-））e'．2+C 4x珈 +x)－f(l- 切线斜率为 CC)

,-(D)-沁沁毋

、、ln(x+＄三歹 喜

卢7函数z=5十二的极值点是 (A)间断点 （8)驻点2（C)偏导数存在但不可微点 （D)偏导数不存在点233．一·三．解答下列各题（每小题6分，共42分求极限lim(ex+sinX－认乒俨求曲线y=x4,0主达2绕Y布，布`,`,，4,4---：3求二重积分JfCx+dxdy,其中D是x2+y2yXD““＇＇解微分方程y'-ylnx,y忆;二5设函数 在x=.1处有极值y=-1,求a、(x-＼雹才..求函数f(x)=(1-x)ln(lx)、-｀学院 班级

，学号 冗求证：当O<xsinx+tanx>冗2\.• 四设y==x3,求曲线在x=1处的切线方程并求曲线与该切线围成的图形面积(7分才 6·6 ＼

／飞、 -1

中国2010-2011学年秋学高等数学C课租考试A (-1,1) h1l(x-1Xx+3Yl+c 一五 262'4 五(vz-x)dx+（xz-y)dy9x+2y-6z+5-=0;8-dz=

10.二、1

Z-xy`、ln(e飞三、l解；设y=(e-'"+sinx)四．｀．，则 2 ◦ln(ex+sinX)limlny=lim=Iirr!_.£.±fil!!xx " ◦=｀一认2解：该曲线可以写 X=y4,0<y

2••.••••.•..••••2 I气6(y守dy=I I..

.••.•....•...••2 34 dxdy=fD 立(smO-cosO)1i

令.1· 2 •.•2 ..·•124．解：P(x)=-=,Q(x)= ｀=e-IPd\,(IQe[P,l\．dx+C)＝eI扫\.（Jinx-e一片"'dx+ .............···2通解为y=2x2-x(lnx5解：f'(x－(x-由条件('(1)=0,、{(1)=-1

1 2· 2a+b=- 所 2 fli平：f'(x)=-1-ln(l- f"(x)= f'"（入－－ 21- (1-得到f(O)0,f'(O1,f"(Ol,f"'(Of'(O).f"(O)_2.所以f(x)=f(0) x12.

f(x)=-x+x+—

·z.lx3- f(x)1-x)ln(l-x)(1-x{-x－卢飞x3x3x2 7证明：设／（x)sinxtanx-则f'(x)=cosx+sec2x-2 .........·2，>cos2入+sec2入－2=(cosx-secx)2之0,因此几）单调培 2所以当O<x<f时，f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx> 四解y'=3x2，在（1,1)处的切线方程为y-1=3(x-即y==3x-切线切曲线交点为(-2,－8)所以曲线与切纹围成面积为A=i(x'·-3x+(4., —--＋2x

2 2 22 二 CA中2011,-...J2012 I商等数学 课程期中考试试 I\\_.lt I I I四1 I I\\_.lt-，得 -， 一、填空题，每题3分，共30l、f'伈）＝3x,2、当x今0时y=ln(2-'+3J-1)与 =sinax是竹价无穷小，则a=J'AL二＿仓凶 ．一一．＿＿3、两曲线 +a与y＝杠ctanx相切，则6f f2(l一心f, X2- . 6、求hm(l, 叫I7、f(x).=2x在区间[0,1]I8、l(t) X

I"(t)9、f(x)的一个原函数 二、选择题，每题3分，共181、若函数f(x)在x。处可导，则lfcx)I在x。处 (A)(C)一定不可导

(B)2、若F'(x)J(x)，则fd(F(x)+1)=

）八 (D)F(x)+y,y,13 甚(A) (B)- (C)ln(x＋石平；（D)lnlx \).\).(C).X甘 5、设f(x),g(x)是大千零的可导函数，且f'(x)g(x)<f(x)g'(x)，则a<x<b时，有 CA)f(x)g(b)< CB)j(x)g(a)CC) 6、设区间 b]迕续函数J{x)满足关系式：J八x胚＝0,则 (A)在区间 b]的某个小区间上有八(B)对区间 b]上的所有点X,(C)在区间 b]内至少有一点X,使得CD)在区间 b]内不一定有八三、计算题，每题6分，共42 汕计I+I2 且竺$3、求由{x=ln(l+t2)$ y=t- ·戏'4、设函数f(x)有二阶连续导数，/(0)=1,/(1)1JJ(x)dx1,'5辽5辽

｛xfba <xfba < xe.s（、 、~~

，使（连 可1xf2>x`f、，（1xf2>x`f、，（2<xx2<xxxl\)xl\).l,u7$失 （3)是曲线y=x3+ax2.l,u7$失／l四、证明题，每题5分，共10分I1、当x>O时，x>2（2、设f(x)、g(x)在［a,b]连续，且f(a)>g(a),f(b)g(b)，则在[a,b]内至少有一点 ,I,＇布布f~f~

2004, 学 学高等数学 课租考试试．（'143 ．3＿．处岱I)(一－1

卒刁.~：：＿ Q'J\/....-一中 ?六 炉 ，介

;.: x2＋立＋b 3,求a,xlSin(f-今

ff｀切I-）沈己令炉＋小吵二 令b二3求导数或檄分(21分 _(1).=1n(“)-f-arctan上，求dy ． 如（」土豆舌 ＿＿L｀一；在百 t+～树飞-丘平夼，十)I.-七芯芦示寸立）活lf.f=e2· 钞＝e芝．汉分－者殉()(r 平L`«一气兰x5Jhx$／、心气（吵'><ll'lx十字 .,-

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·I'I'.i:·iii·i'.t.`1;,','、I计算二重积分：jdyJcosx2心J（英语、法学、传媒专业选求fjln(l+xl寸）心，其中闭区域D={(x,Y)氏＋y坛1}（其他专业选没Dfl(：：：心穴甘＝吩 J;气'InCtt寸？心士（心I十卜外。r-f.铅心::.』汽In口）··求微分方程y'--x+-ly=(x+l)3的通解。(7分『古d`二:z.Inc如66 二国）上(7 (,X 做一个圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积为V，问如何设计才能使材料最省．（9分v心夕止杂"....订令炉如今 二 1仅门口7牲仅｝.？｀．；、．七7 7.3.3.

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在x=0处连续，求a、-b值．（8分x1nx——,．下心 。“鱼，：．如妒均扣'·切伈如hx七导七土·如沪心叩--.:a"，镜低蟋－2-.

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-7

K：：纫叙

六｀心．］，二队一句b十研。（－孚I、.::.e-已知I(x)在(a,b]fJ(x冲＝［fa劝－x农 'X：：砂一从和凇t＂压）心二b妇）如二J勺（才 若函数y=ax悍配＋cx+d淌足 -3ac<0,则此函数无极值护3ax许心~ 戎护勺..$>.()(':=~ 3仄 为往泗4'丘3a心和区心如｀、、寻主主个佐f 元抵ff..,函设A，B为两 ，已知P（AB）=1，P（AB）=1，则 B． D． 设 量X的分布律为P{X=K}=K1则P{1X5 B． D． 设随量X的概率密度为f(x)=

x,则Y=2XA．A． (1y

B． (4B．

缘分布函数FY（y）=（ 设随量X，Y相互独立，E（X）=5，E（Y）=6,则 1 X,XX是总体N2X，S1 (n1)S2服从的分布是 设随 A，B为对 ，P（A）=0.4，则 设随量X~P（，且P（X=0）=e-1,则 已知 量X的概率密度为f(x)=1e|x|,x,则 2X-024PX-024P设Y=X2-1，则 已知随量X~B（n,p）,E(X)=12,D(X)=8,则有 D（X）=25，D（Y）=36，xy0.4D（X-.X1,…,XnX~N（,1）X为其样本均值，则有X设 量X~N(1,n),y~2(n),X，Y相互独立，则X1..三、综合题(70分YX1YX12300120（（ 0x (1)求常数 (2)计算 (3)E(X), X,…，X是来自正态总体N(,2)

0x1;>-1)X,X….X是来 1 X概率论与数理统计（C）试题答案（A 二、1. 2.e

1e1；4.0.7；5.

；6.37；7.N

； ,P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3=0.950.30.960.30.980.4所以该种产品的为0.965。 (4分)P(B1|A) P(A|B1)P(B1 P(A|Bi)P(Bi

0.950.3同理，P(B2|A0.960.3

|A0.980.40.406--（10p ppp分否因为：P(X0,Y1)P(X0)P(Y 分P(X2,Y2) 分 f(x)dx1c(x1)dx1c

5分5(2)P|X|0.512f(x)dx212(x1)dx

-----------2

0 (6

E(X)xf(x)dx12x(x1)dx 0 E(2X21)

21)f(x)dx1(2x20

23

dx9

---- n t(n1),Xn

nt(nn t(n2

----------------------（4

S 4 4 2且E(L)E4nt(n1)nt(n1)E(S)nt(n1) （8分2 H0

H1: ---------------------XXSn由已知计 （10 H0:

1.99<

0

(5) 认为零件直径没有显著变化 -------------------（12xE(X)xf 1(1)x1dx 12x

1 1

n而A1 (Xi)n1

X

----------------（6L()f(x,)1)n(xx…x nlnLnln(1)ln(xi

1 上式关于

0，得

xi)(12

nln(xin

--------------CB若A,B为随 ，且P(A)0.6,P(BA)0.2.A与B相互独立,P(B) 若随量X服从参数为的泊松分布,且P(X=1)=P(X=2)。则 1 1X~N(，2)，XXX为来自X查表计算下列概率

1 2P216(Xi

2 1

2P (XiX

2 量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则Pmax{X,Y} 二.选择题318设A,B为随机，且P(B)0,P(A|B)1，则必 P(AB)设二维随量(X,Y)的概率分布Y01X0a1b已知随机{X0}与{XY1}相互独立，则 a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1 (C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,设连续型随量X的分布函数F(x)abarctatx (A).a=1, (B).a=/2b=1;Ca=1/2,b=1/。(D).a=1b=-X1X2本方差，

n(n2)N(0,1XS2(A)nX~N(0,1);(B)nS

~

(n1)(C). ~t(n1); 1~ (n1)nX Xi随量X的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C，必 (C).E(X-C)2<E(X- (D).E(X-C)2E(X-设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随 量列，且均服从期望为(1)的指数分布，记(x)为标准正态分布函数，则

X x}(x)

X x}(x) n

nXilimP{ x}

Xi x}2.(10X,Y

f(x,y)be(3x4y

x0,y (3)P{X+Y<1};(4)X与Y是否独立?为什么3.(8分)维随量X的可能取值为-2、0、2、5，相应概率依次为：1/a、3/2a4（10YX-01-a00b10c5．(5XYG={(x,y0x2,0y1}上服从均匀分布，试6.(10X 其中p0p12)是未知参数X1，3，0，2，3，3，1，求 p的矩估计值； p的极大似然估计值碳量如下：4.28,4.40,4.42,4.35,4.37,N(,2和2未知。对给定的检验水平0.05①.=4.55，H1:4.55 ②.H':20.003,H':20.003 附.z00520

(4)11.143

0

(4)9.488

0

(4)

20

005(5)

095(5)1.145

0095(16)8

001(16)32

0925(15)8

一.填空题：1. 2. 3. 4. 5.二.选择题： 2. 3.C 5. C2 C1C1 C2 (1).P(B)P(Ai)P(B|Ai) 6C22 5 4 C2

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)

25 be(3x4y)解:(1)由：1 f be(3x4y)

2 2

(3x4y

00f(x, dxdy(1e)(1e0(3).P{X+Y<1}f(x,y)dxdy11x12e(3x4y)dydx14e3

0 dy dy(4)∵fX(x)f(x,y)dy x

fY(y)

f(x,y)dx

0

dx

yy

fX(x)fY(y)f(x,

3

1，a8P{|X|2/X0}P{|X|2,X0} 11/ P{X abc0.6 a 4解 E(X)(a0.2)c0.1 b ab cP{Y0/X0}

abZ-012P5.解∵G2

∴(XYf(xy ∵S=XY是矩形面积, 当s<0时：FS(s)=0.当s>2时：FS(s)=1. 2s P(XYs) s0(1ln2lns2

1ln20s 8解：(1)X Xi16/82

令E(X)34pX得p(2)似然函数为

ˆ(3X)/41/48L(p)P(Xxi)P(X0)[P(X1)]2P(X2)[P(X4p6(1p)2(12lnL(p)ln46lnp2ln(1p)4ln(12 [lnL(p)]6p

1

12

0，12p214p3p(713)/12.由0p1/2，故p(7 所以p的极大似然估计值为 ˆ(713)/120.2828.解:(1.=4.55H14.55计算得：x S2=0.00293X T X 01②.H':20.003,H':20.00301 < 2 00

(n1)s2(n1)s2 0.01720.0172 , , / 1/2 0.4842007~2008—二三四五六七八一、填空(每题3分,共301、已知P(A)1,P(B|A)1,P(A|B)1,则P(AB) 2、一批零件有9个正品3个次品，安装机器时从这批零件中任以X表示取到正品时的抽取次数,则P(X=3)= 3、设X~Ua,b),则F(x)。Y4、掷两枚筛子点数之和X的期望E(X) Y5、设f(x)=

x2

xx

,则YX2的密度fy。6、设随量(X,Y),已知D(x)=2,D(Y)=4,Cov(X,Y)=-2,Z=3X+4Y+8的方差D(Z) 7、设X1,X2,,Xn为来自总体X的一个简单样本，E(x)=na1,a2,an满 时,方能使ˆaiXi为的无偏估计8、设总体Xθ的指数分布,且θX1,X2,Xn 93次,以X2Y （概率B做(2)P(X=2) （C10、设总体X~N（,1）,问样本容量n= 时,才能使的置信区间长度小于0.5(=0.05,z0025=1.96)。3151、设随机A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则 a、P(AB)P(A)P(B) b、P(A/B)P(A)；c、P(B/A)0d、P(B/A)P(B2、设X~U(a,b),E(X)=3,D(X)=1,则P(1<X<3) 3 C、 3、设Z~N(0,1),且P(Z>z)=,则(z)= a、 b、1+ c、1- d、0.5 a、若PX1)PX1则PX1)12b、若X~b(n,p),则P(X=k)=P(X=n-kk=0,1,2,,n；c、若X服从正态分布,则F(x)=1-F(-x)；d、lim[F(xF(x1 25、设总体X~N(,2),随机取一简单样本：X，X，，X 2E[1n

)] a、 b、S c、B2 d、n其中S2

n(

X)2 B1

Xn1

n为0.8,0.1,0.1.某顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随机取一箱,顾客开箱任取4只查看,若无次品则买此箱,否则退回,求顾客买下 （10分）参考数据: （10分五、设X1,X2,,Xn为来自总体XX f(x)

x (2)E(X2) (10分A x2≤yf(x,y) （1） (2)fX(x),fY(y)fY/X(y/x) (概率B1FY(2) (概率C做 (15分10s2=(0.037%)2，设测定值总体服从正态分布，总体方差2未知，在水平0.05 H：2(0.04%)2；H：2< 0 0 0 0 0 00 0 0 (9)=3.325 0 0 00 02007~2008B、C试卷A 1 3

9

xab

xax x f

y Y y

ai1 9.12

4 c d P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(B/A)1,P(B/A)

4,P(B/A)C4 C

C P(B)=0.81+0.14+0.112 P(120X200)(200160)120160 (40)(40)2(40)1 即400.9 40

（1）似然函数L2)n

ni1