2022年高考数学基础题型+重难题型突破类型三零点问题（解析版）

类型三零点问题

【典例1】下列说法正确的是()

A.当/(%)=0时,则/(X。)为了。)的极大值

B.当/'(不)=()时，则/(X。)为/(x)的极小值

C.当/'(%)=0时，则，(x。)为/(幻的极值

D.当/(X。)为f(x)的极值且/'(%)存在时，则有/'(%)=()

【解析】不妨设函数/(x)=X3则可排除ABC由导数求极值的方法知当/(%)为/(%)的极

值且/'(%)存在时，则有/'(%)=0故选：D

【典例2】如果函数y=f(x)的导函数y=尸(%)的图象如图所示，则以下关于函数y=f(x)的

判断:

①在区间(-2,2)内单调递增；②在区间(2,4)内单调递减；③在区间(2,3)内单调递增；

④％=-3是极小值点；⑤*=4是极大值点

其中正确的是()

【解析】对于①，f'(x)在区间(-2,2)内有正有负，y=f(x)在区间(-2,2)内有增

有减，①不正确

对于②，在区间(2,4),f'(x)>0,故f(x)单增，故②不正确;

对于③，在区间(2,3)(x)>0,故f(x)单增，故③正确；

对于④，当x=—3时，函数『(x)fO,故④不正确；

对于⑤，当x=4时■，f'(x)=0,且f'(x)先正后负，x=4为极大值点故⑤正确.故选:

A.

【典例3】函数〃x）=，—1丫+2的极值点是（）

A.x=0B.x=lC.%=—1或1D.x=l或0

【解析】函数的导数为f'（x）=2（x3-1）x（3x2）=6X2（^-1）,

当r（x）=O得x=0或x=l,

当x>l时，:（x）>0，当0<x<l时，r（x）<0,所以x=l是极小值点.

当x<0时，r（x）<0,当0<x<l时，r（无）<0,所以x=0不是极值点.故选B.

【典例4】经过原点（0,0）作函数/（x）=1+3尤2图像的切线，则切线方程为—

【解析】Vf,（x）=3X2+6X,

①若原点（0,0）是切点，则切线的斜率为f'（0）=0,则切线方程为y=0；

②若原点（0,0）不是切点，设切点为P（x。，y0）,

则切线的斜率为/'（%）=3片+6与，因此切线方程为

丁-（£+3*）=（3¥+6%）（%-%）,

因为切线经过原点（0,0）,；.一（3%+无：）=—九0（3%；+6%）,片0,解得豌）=—.

9

切线方程为y=--X,化为9x+4y=0.

4

，切线方程为y=0或9x+4y=0.

【典例5】过函数〃x）=V—3x上的点用（-2,-2）的切线方程是

【解析】因为析［力=3〃-3

设切点为（内）,%），则左=/'（玉））=3片一3,

所以切线方程为:y-（片-34）=（3片-3）（x-x0）,

因为M（—2,—2）在切线方程上，

所以_3x（））=（3*一3）（-2-/），解得：/=1或毛=-2.

当拓=1时，女=3片一3=0,此时切线方程为>=-2；

当毛=-2时，左=3"-3=9,此时切线方程为9x-y+16=0.

所以，切线方程为：>二-2或9x-y+16=0.

【典例6】已知函数f(x)=6、-a(x+2),

(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性;

⑵若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

【解析】解⑴当a=l时，f(x)=ex-(x+2),ff(x)=ex-l,

令伊(x)<0,解得x<0,令f'(x)>0,解得x>0,

所以f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

(2)f'(x)=ex—a.

①当aWO时，fr(x)>0,

所以f(x)在(-8,+8)上单调递增.

故f(x)至多存在一个零点，不合题意.

②当a>0时，由f'(x)=0,可得x=lna.

当x£(—8,Ina)时、f'(x)<0；

当x£(lna,+8)时,伊(x)>0.

所以f(x)在(-8,ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

故当x=lna时,f(x)取得最小值，最小值为f(Ina)=-a(l+lna).

(i)若则f(lna)2O,f(x)在(-8,+8)上至多存在一个零点，不合题意.

e

(近)若@>,，f(Ina)<0.

e

因为f(-2)=e-2>0,

所以f(x)在(一8,Ina)上存在唯一零点.

由(1)知，当x>2时，e*-x-2>0.

所以当x>4且x>21n(2a)时，f(x)=—a(x+2)>e"'•修+2)—a(x+2)=2a>0.

故f(x)在(Ina,+8)上存在唯一零点.

从而f(x)在(-8,+8)上有两个零点.

综上，a的取值范围是(5+8)

【典例7】设函数f(x)nx'+ax'+bx+c.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；

(3)求证：a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.

【解析】(D解由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3/+2ax+b,切线斜率k=f'(0)

=b.

又f(O)=c,所以切点坐标为(0,c).

所以所求切线方程为y—c=b(x—0),即bx—y+c=0.

⑵解由a=b=4得f(x)=X3+4X'+4X+C

・・・f'(x)=3X2+8X+4=(3X+2)(X+2)

令f'(x)=0,得(3x+2)(x+2)=0,

2

解得x=-2或x=一鼻，

f'(x),f(x)随X的变化情况如下：

_2

(—8,—2)

X-2h'V-3Ct'+8

f'(X)+0—0十

32

f(x)cC------1

27

所以，当c>0且c—11<0时，存在XiG(—8,—2),xzG(—2,—x；!e^—I，

使得f(X。=f(x2)=f(X3)=0.

由f(x)的单调性知，当且仅当ce(0,豹时，函数f(x)=(+4x2+4x+c有三个不同零点.

(3)证明当A=4a2-12bV0时,即a2—3bV0,

(x)=3x2+2ax+b>0,xG(―°°.+°°),

此时函数f(x)在区间(一8,十8)上单调递增，

所以f(x)不可能有三个不同零点.

当A=4a2-12b=0时，f1(x)=3x'+2ax+b只有一个零点，记作xo.

当xe(—8,x。)时,广(x)>0,f(x)在区间(-8,X。)上单调递增；

当xG(x。,+8)时,『(x)>0,f(x)在区间(x°,+8)上单调递增.

所以f(x)不可能有三个不同零点.

综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有A=4a2-12b>0,

故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.

当a=b=4,c=0时，a2—3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2”只有两个不同零点,

所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.

因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.

【典例8】设函数f(x)=/一alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f'(X)零点的个数；

【解析】⑴解f(x)的定义域为(0,+8),f，(x)=2e25--(x>0).

X

当aWO时，f(x)>0,f'(x)没有零点.

当a〉0时，因为小单调递增，一色单调递增，

X

所以f'(x)在(0,+8)上单调递增.

又f'(a)>0,当b满足0〈仅彳且时，f(b)<0,

故当a>0时，f'(x)存在唯一零点.

(2)证明由(1)可设f'(x)在(0,+8)的唯一零点为x。，

当x£(0,xo)时，f'(x)<0；当x£(xo,+8)时，『(x)>0.

故f(x)在(0,X。)上单调递减，在(X。，+8)上单调递增，

所以当x=x。时，f(x)取得最小值，最小值为f(x。).

aa22

由于2e2xo---=0,所以f(xo)=7；—+2axo+aln~^2a+aln".

xo2xoaa

2

故当a>0时,f(x)22a+aln-.

a

2

)证明:当a>0时,f(x)>2a+aln-

a

【典例9】设函数f(x)=x?+ax+b(a,beR).

(1)当b=：+l时，求函数f(x)在［-1,1］上的最小值g(a)的表达式；

(2)已知函数f(x)在［-1,1］上存在零点，OWb—2aWl,求b的取值范围.

【解析】解(1)当b=，+l时，f(x)=(x+j+1,

故对称轴为直线x=-］.

2

当aW—2时，g(a)=f(1)=，+a+2.

当一2VaW2时，g(a)=(一|)=l.

2

当a>2时，g(a)=f(―1)=^-a+2.

a

—+a+2,aW—2,

综上，g(a)=<L-2VaW2,

2

a

y—a+2,a>2.

I4

s+t=­a»

⑵设s,t为方程f(x)=O的解，且一lWtWl,贝ij

[st=b,

—2t1—2t

由于OWb—2a<1,因此j'WsW'(—lWtWl).

V|乙vI乙

当OWtWl时，系—2t2t—2t2

L-I乙LI乙

22t2]t2t23

由于一鼻W40和一鼻W上9W9—44,所以-5<b<9—4乖.

OLI乙OLI-乙乙

2

当一lWt<0时，■t—^苣2t'2Wstw—卷2t，

—2t2t—2t2

由于一和一3W不行VO,所以一3<bV0.

故b的取值范围是[-3,9-475].

【典例10】已知函数f(x)=lnx-x+2sinx,f'(x)为f(x)的导函数.

(1)求证：f'(x)在(0,n)上存在唯一零点；

(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点.

【解析】证明⑴设g(x)=f'(x)=(—l+2cosx,

当x£(0,冗)时，g'(x)=-2sinx—"T<0,

x

所以g(x)在(0,冗)上单调递减，

又因为g仔卜>1+1>0,g仔)=『1<0,

所以g(x)在廿，上有唯一的零点a,所以命题得证.

(2)①由⑴知,当xW(0,a)时，*(x)>0,f(x)在(0,a)上单调递增；当xW(a,n)

时，f((x)<0,f(x)在(a,n)上单调递减，所以f(x)在(0,n)上存在唯一的极大值点a

仔〈W),

(冗、jinJI

所以f(a)>f=-----+2>2—~—>0,

又因为f|A|=-2-A+2sinA<-2-A+2<0,

\e)eee

所以f(x)在(0,a)上恰有一个零点，

又因为f(n)=lnn—n<2—n<0,

所以f(x)在(a,n)上也恰有一个零点.

②当xW[n,2n)时，sinxWO,f(x)Wlnx-x,

设h(x)=lnx-x,则h，(x)=：T<0,

所以h(x)在",2。)上单调递减,所以h(x)Wh(兀)<0,

所以当2冗)时,f(x)Wh(x)Wh(n)<0恒成立,

所以f(x)在[JT,2n)上没有零点.

③当x£[2几，+8)时，f(x)Winx—x+2,

设6(x)=lnx—x+2,则犷(x)=B<。，

所以巾(x)在[2n，+8)上单调递减，所以@(x)W巾(2口)<0,

所以当x£[2n,+8)时，f(x)〈巾(x)<小(2兀)<0恒成立，

所以f(x)在[2*+8)上没有零点.

综上，f(x)有且仅有两个不同的零点.

f(x)=-x3—a(x24-x+l)

【典例11】已知函数3

(1)若a=3,求"X)的单调区间；

(2)证明：只有一个零点.

—3*2—3X—3„2_<；y_Q

【解析】：(1)当a=3时，f(x)=3,f，(x)="

令f，(x)=0解得x=3—28或*=3+2V3

当xG(-8,3-2百)丁(3+2件+8)时，f，(x)>0；

当xG(3-2A3+26)时，f，(x)<0.

故f(x)在(-8,3-2次)，(3+2巡，+8)单调递增，在(3—26，3+26)单调

递减.

⑵由于户+*+1>°,所以/㈤=°等价于「+'+1一3a一

x33Q/(%2+2%+3)

设g(x)=/+x+i-a则g,(x)=l+x+1)220,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)

在(-8,+8)单调递增.故g(X)至多有一个零点，从而f(X)至多有一个零点.

―6a2+2d—=_6(cz—)2—-<0->0

又f(3a-l)=366,f(3a+l)=3，故f(x)有一个零

点.

综上，f(x)只有一个零点.

【典例12】设函数f(X)=("tl)(xT2)(X-t3),其中匕也131;且八工2,《是公差为d的

等差数列.

(I)若［2=04=1,求曲线y=fQ)在点(°、(°))处的切线方程;

(II)若d=3,求/㈤的极值;

(IH)若曲线、=,(")与直线>=一("一，2)-6遮有三个互异的公共点，求d的取值

范围.

【解析】：(I)由已知，可得f(x)=x(x-l)(x+l)=x3j,故/〃)=3--1,因此f(0)=0,，(°)=

-1.又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f(°)(xQ),故所求切线方程

为x+y=0.

(11)由已知可得

f(x)=(xf2+3)(x±)(x±-3)=(XTJ3-9(x-t2)=x3-8t2x2+(3t/-9)x-t23+9t2.

故'(")=3x-6t2x+3t令'(")二0,解得x=t2-^,或x=t2+8.

当X变化时，,(*),f(x)的变化如下表：

(-°0,t2-(ti,+

XtV3

12-d,t2+吗

吗°°)

f'(x)4-0-0+

f(x)/极大值极小值/

所以函数f(x)的极大值为f(t2-8)=(-8)3_9X(_8)=6百；函数f(x)的极小值为

f(tN)=(8),fX(吗=>66.

(III)曲线y=f(x)与直线y=-(xTz)F8有三个互异的公共点等价于关于x的方程々-

3

t2+d)(x-t2)(x-l->-d)+(x-t2)+63=o有三个互异的实数解，令u=x-t2,可得u+(1-

d2)u+6^=0.

设函数g(x)=x3+(lY2)x+66,则曲线y=f(x)与直线y=-(xTz)r8有三个互异的公共点等

价于函数y=g(x)有三个零点.

。'%/+(1孑).

当d’wi时，这时g(“)在R上单调递增，不合题意.

Iy/d^—1Jd2—1

当cf*时，g'(")=o,解得x产一一下二X2=F~.

易得，g(x)在(―，X)上单调递增，在［x“X』上单调递减，在(X”+8)上单调递增.

(d2T2百(屋一

g(x)的极大值g(Xi)=g(6)=9>0.

&2T2V3(d2-l)l

g(x)的极小值g(X2)=g(翼)=-9.

若g(X2)20,由g(X)的单调性可知函数尸g(X)至多有两个零点，不合题意.

3

若gg)<0,即0-中>27,也就是|d|>g,此时|d|>293)=|由+6百>。,且

-2\d\<x1)5(-2|d|)=-61dl3—2|d|+66<_62g+6百V0从而由g(x)的单调性，

可知函数y=9(，在区间(-2|d|,/),(/,工2),(冷，1山)内各有一个零点,符合题意.

所以，d的取值范围是(_8,—g)u(g,+8)

【典例13］己知函数/。)=/+/+版+l(a>O,〃eR)有极值，且导函数f'(x)的极值点是

/(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于。的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明：b2>3a;

(3)若/(x),广。)这两个函数的所有极值之和不小于-］，求。的取值范围.

aa2

【解析】(1)由£(乂)内3+8*2+匕*+1,得£'6)=3乂2+2@*+1)=3&+3)2+13-：3.

aa2

当X=/时,f，(x)有极小值b石-.

因为f'(X)的极值点是f(X)的零点，

aa3a3ab2a*13

所以f(-5)=-27+27-3+1=0,又@>0,故6=9+a.

Q_土

因为f(x)有极值，故f'(x)=0有实根，从而b-3-9a(27-a3)W0,即a23.当a=3

时,f'(x)>0(xWT),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a>3时,f'(x)=0有两个相异

-a-ia2-3b-a+a2-3b

的实根xl=3,x2=3.

列表如下

(-OO,X|)公X(x,+oo)

XUpX2)22

f'M+0-0