工程数学-线性代数复习参考资料

《工程数学—线性代数》复习参考资料——《线性代数》的复习尤其要求．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨 峰（省函授总站高级讲师）第一章行列式一、全排列及其逆序数（理解）把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列）对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。例题求排列32514的逆序数解3的逆序数为0；2的逆序数为1；5的逆序数为0；1的逆序数为3；4的逆序数为1；于是这个排列的逆序数为t010315二、n阶行列式的定义（理解）定义设有n2个数，排成n行n列的数表，aa…a11 12 1naa…a 21 22 2n………………aa…an1 n2 nn作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(1)t，得到形如(1)ta1pa2panp（1） 1 2 n的项，其中p1p2pn为自然数1,2,,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项，所有这n！项的代数和(1)ta1pa2panp 1 2 n称为n阶行列式，记作 a a a1112 1naaa D21 22 2n，aaa n1 n2 nn det(a)a det(a) a简记为 ij，数ij称为行列式 ij的元素。元素ij的第一个下标i i j称为行标，表明该元素位于第 行，第二个下标 称为列标，表明该元j素位于第 列，三、行列式的性质（掌握）记 a a aa a a11121n1121n1aaaaaaD21 22 2nDT12 22 n2 ， a a aa a an1 n2 nn1n 2n nn行列式DT称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。i rk ck第 行（或列）乘以k，记作i （或i ）推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。第i行（或列）提出公因子k，记作rik（或cik）。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质5若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如aaaa/a11 12 1i 1i 1na a aa/aD21 22 2i 2i 2n ，a a aa/a n1 n2 ni ni nn则D等于下列两个行列式之和： a a aa11 12 1i 1na a aaD21 22 2i 2n a a aan1 n2 ni nna a a/a11 12 1i 1na a a/a21 22 2i 2n a a a/a n1 n2 ni nn性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。j i ckc以数k乘第 列加到第 列上，记作i j；j i rkr以数k乘第 行加到第 行上，记作i j；rkr计算行列式常用的一种方法就是利用运算ij把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。P16例7、8。（可以证明，对于上三角行列式D有： a a a11 12 1na a D22 2naaa0 1122 nnann当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）四、行列式按行（列）展开（掌握）设 a a a 11 12 1n a a a 21 22 2nD a a aa i1 i2 ij in a a a n1 n2 nn a i j 在n阶行列式中，把ij所在的第 行和第 列划去后，留下来的n-1 a M阶行列式叫做元素ij的余子式，记作 ij；记A(1)ijMij ij，A aij叫做元素ij的代数余子式。i a引理一个n阶行列式，如果其中第 行的元素除ij外都为零，那么这行列a式等于ij与它的代数余子式的乘积，即 a a a 11 12 1n a a a 21 22 2nDaA0 0a0ijijij a a a n1 n2 nn定理行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)或Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即Dai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij，DaAaAaA0,ij或 1i1j 2i2j ninj 。五、四阶行列式的计算（重点掌握）例1计算行列式1234123112211解：1234c22c110 0 0c3c111123c34c1111141(1)113561122356481121134811111cc100(1)3356c23c11323(1)112374811447(1412)2例2计算行列式12342341412123解：234c22c110 0 0c3c127341c434c112127(1)1128104123281071013123471013 2 744127r2r1(1)32810r237r110 4(1)114 4436 710130 36(144116)160五、克拉默法则（注意，计算量比较大）xx x设有n个未知数1、2、…、n的n个线性方程的方程组axaxaxba11x1a12x2a1nxnb1 211 222 2nn 2（1）an1x1an2x2annxnbn克拉默法则如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即 a a11 1nD 0a a n1 nn那么，方程组（1）有唯一解D D Dx1x2 xn1 D，2 D，…，n D。其中D(j1,2,,n)是把第数行列式中第j列的元素用方程组右端的常j数项代替后所得到的n阶行列式，即aa ba aD aa ba a 11 1,ji 1 1,j1 1nj n1 n,j1 n n,j1 nn第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念（理解）ij表a11a21am1a 12a 22a m2a1na2namn1、由mn个数a(i1,2,,m;j1,2,,n)组成的m行n列的数mn称为m行n列矩阵，简称 矩阵，记作 a a a 11 12 1n a a a A21 22 2n am1am2amnA也常记作mn。mn a(i,j)这个数称为矩阵A的元素，简称元，数ij称为元。a(i,j)a(a)以数ij为元的矩阵可简记作（ij）或ijmn。2、行数和列数都等于n的矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶方阵A也记作An。3、只有一行的矩阵Aaaa 1 2 n称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作A(a,a,,a) 1 2 n只有一列的矩阵b1bB2bm称为列矩阵，又称列向量。Aa与Bb是同4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果 ij ij型矩阵，并且它们的对应元素相等，即ab(i1,2,,m;j1,2,,n)ij ij 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作AB元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。单位矩阵简记作E，即100 010En 0017、对角矩阵简记作Adiag(11,2,,n)即00 1 00 A2 00n二、矩阵的运算与性质（掌握）1、矩阵的加法mnAa、Bb，那么矩阵A与B的和记作设有两个矩阵 ij ijA+B，规定为ab11 11abAB2121ab12 12ab22 22ab 1n 1nnab 2n 2nam1bm1am2bm2amnbmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律：设A、B、C都是m×n矩阵，则ABBA（1） ；(AB)CA(BC)（2） ABA(B)（3）设设矩阵Aaij，记Aaij—A称为矩阵A的负矩阵。2、数与矩阵相乘数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为a11AAa21am1a12a22aa1na2nam2 mn数乘矩阵满足下列运算规律：设A、B、为m×n矩阵，λ、μ为数，则()A(A)()AAA；；(AB)AB。3、矩阵与矩阵相乘设Aaij是一个ms矩阵，Bbij是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵Ccij,其中cabababij i11j i22j issj并把此乘积记作C=AB必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。ABBA矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下 ，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：(AB)CA(BC)（1） （2）(AB)(A)BA(B),（其中λ为数）A(BC)ABAC(BC)ABACA（3） （重要）例1已知矩阵 1311 16 A013B25 001， 04求AB。解： 113(2)110 1635114 AB01(1)(2)3006(1)534010(2)(1)00605(1)4565 2 7044、方阵的行列式、伴随矩阵定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的A行列式。记作。 A A行列式的各个元素的代数余子式ij所构成的如下矩阵Aa112nAaA12 22A aan1an2a 1n 2n nnA称为方阵A的伴随矩阵．．．．，记