数学破题36计 第1计 芝麻开门 点到成功

rnC数学破题36计rnC

第

芝麻开

点到成●名义七品芝麻官，说是这个官很小，就是芝麻那么的一《阿里巴巴》用芝麻开门的“以小见大就那点芝麻，竟把个庞然大门给“点”开数学中，以点成、以点带面、两线交点、三线点、还有顶点、焦点、极限点等，这些足以说明“”的重要.因，以点破题，点到成功就了自然之中、情理之中的事了●例范［题（鄂第15题）将杨辉三角中的每一个数

rn

1都换成分数，就得到一个如下图所示的分(Cr数三角形来莱布尼茨三角从莱布尼茨三角形可看出11(nCr(CxnCr

，其中

x

.令

a

111113123060nC2(C2

.［析一此题，文并举，篇幅很大，还有省略省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物从处破门呢？我们仍然在“点”打主.1莱布三角形，它然没有底边，但有个顶点，我就打这个顶点的意1［Ⅰ将式

11(nCr(nCxnCrn

与右边的顶点三形对应（图右然有

1(n

12

(n

x

1r

对此，心算可以到=1，r，x对一般情况讲，是x=r+1这是本题第的答1

a1［语本是填空题要结不讲道理因此有必要就一般情况进解析，而是以点带面，到成.要明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶.因三角形中任一个数，等于对应的“脚下”两数之和所以选择任何一个“一头两脚”的小三角形，都能解x=r+1.a1第2道填，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的项.［解Ⅱ］在三角形中先找到了数列首项

，并将和数列

n

13060

中的各项依次“点连线右线实线所串各数之就是a这个a，就等于首项左角的那个nn

.因为

在向下一分为二行依次列项时我们总取右舍左去的各项（虚线串）所成数列的极限是0.因此得到n

这就是本题第空的答案［评解的关键是“以点破门的点是一个具体数，采用的方法是以3点串线——三角中的实线，实线上端折线所对那个数就问题的答案事实上，三角形的任何一个数（点）都有这个.例从

这个数开始，向下连（无穷线连数的极限）就是

这个数的左上角那个数.用式表示就是

1160［接本型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的题，而是一个10分上的大有关答附录如.［］由

11(Cr(nrnCr

知，可用合项的法，将

a

n

的和式逐步合项a

11131230nC2(nCn2

211(C3C(3CC4C11211(C3C(3CC4C225CnC(n2(nC13nn

1(nC

1113C5C3n

1(n

111113C(nC21(2(nn21n

［2第二问实质是求莱布尼茨三角形中从第三起每一行的倒数的和，即a

11C4C12nCn(nCn

根据第一问所推的结论只需在原式基础上增加一

1(nC

，则由每一行中任一数都等于其“脚下”两数和，结合给出的数表可次向上求和为

，故

1a2(C

，从而1limn2［3（）将

r

代入条件式，并形得

11(Crr(Crn取

r

令

得11221130(4C4C5C

1111213„„„

，1112(nC1(2nC1(

3

(2yV(2yV13棱柱V以上诸式两边分相加，得

11［明以三法都对答题而.如用在以上填空题中则是鸡动用了牛刀为此我们认到“芝麻开门，点到成功”使用对象上的真正意.●应练1．如图把椭圆

2225

的长轴分8份，过每个分点作轴垂交椭圆的上半部分于P，P，„12

7七个点，是椭圆的一个焦点，则FP|+„„12+|PF72．如图所示，直三棱ABC—A中，P，Q分是111侧棱AA，上的，且PCQ，则四棱B—A1111的体积与多面体—Q的积值为.1●考答1．找“点”—椭的另一个焦点2连接PFF、„F，椭的定义Fa=10122225如此类推+F=FPPF=„=+F=×=12227由椭圆的对称性知，本题的答案是7的一即.2．找“点”——动点Q的限如图所示，令AP=CQ=0.即动点与重合，动点与重合.1则多面体蜕变为棱锥C—BB锥蜕化为三棱锥11—AB.11显然V∴—BC∶—AABB11