三年高考（2019-2021）数学（理）试题分项汇编-专题19 不等式选讲（教师版）

专题19不等式选讲1．【2021年全国高考甲卷数学（理）试题】已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.2．【2021年全国高考乙卷数学（理）试题】已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【解析】（1）由题设知的图像如图所示．（2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像．的图像与的图像的交点坐标为．由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，故不等式的解集为．4．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|．（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；（2）若f(x)≥4，求a的取值范围．【解析】（1）当时，因此，不等式的解集为．（2）因为，故当，即时，．所以当a≥3或a≤-1时，．当-1<a<3时，，所以a的取值范围是．5．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a，b，c∈R，，．（1）证明：；（2）用表示a，b，c的最大值，证明：≥．【解析】（1）由题设可知，a，b均不为零，所以.（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.6．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，解不等式．【解析】当x>0时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得．综上，原不等式的解集为．7．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，．所以，不等式的解集为．（2）因为，所以．当，时，．所以，的取值范围是．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【答案】（1）；（2）见详解．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设知，解得或．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．10．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．【答案】．【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；当0≤x≤时，原不等式可化