2019-2020学年江苏省宝应县高二下学期期中考试数学试题 Word版

2019-2020学年江苏省宝应县高二下学期期中考试数学一、单选题：(本大题9小题，共45分)1．若复数，则（）A． B． C． D．2．如果(，表示虚数单位)，那么（）A．1 B． C．2 D．03．已知函数的导函数为，且满足，则为（）A． B． C． D．4．下列求导运算正确的是（）A． B．C． D．5．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）A． B． C． D．16．二项式展开式中的常数项是（）A． B． C． D．7．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有()A．45种 B．56种 C．90种 D．120种8．由组成的无重复数字的五位偶数共有（）A．36个B．42个C．48个D．120个9．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题：(本大题3小题，共15分)10．若，则（）A． B．C． D．11．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A．-3是的一个极小值点B．-2和-1都是的极大值点C．的单调递增区间是D．的单调递减区间是12．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在常数项D．展开式中含项的系数为45三、填空题：(本大题4小题，共20分)13．___________。14．函数在其极值点处的切线方程为____________。15．设，，，，若的内角满足，则=。16．设函数，若无最大值，则实数的取值范围是____________。四、解答题(本大题6小题，共70分)17．（1）计算：（2）解方程：．18．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值。19．已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论。20．毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？21．如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为。（1）①设，将表示为关于的函数；②设，将表示为关于的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？22．已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围。2019-2020学年度第二学期高二下学期数学期中考试参考答案1.C2.B3.4.5.A6.7.A8.B9.10．AC11．ACD12．BCD13．3114．15．16．【分析】f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．17．解：(=C（2），，化简得，解得（不合题意，舍去）；∴．……10分18．解：函数的定义域为,(1)当时，，，……2分因而，所以曲线在点处的切线方程为，即.……5分(2)由知：①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；…………7分②当时，由，解得，又当时，；当时，，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．………9分综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值．………10分19．（1）解：当时，；当时，；当时，，……3分由此可以猜想，.……5分（2）下面用数学归纳法证明：①当时，，显然成立；……6分②假设当时猜想成立，即。……7分则当时,,……………11分所以当时猜想也成立；由①②可知，猜想成立，即.……………12分20．解：（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；……4分（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，因此，排法种数为；……8分（3）分以下两种情况讨论：①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.综上所述，共有种不同的排法种数.……12分21．解：（1）延长交于点，则，且为的中点，所以，由对称性可知，.①若，则，，在中，，所以，……………4分②若，则，在中，，，所以，所以.……………8分（2）选取①中的函数关系式，记则由得。……………10分当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以当时，取得最小值。从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省.……………12分选取②中的函数关系式，，记，则由及可得，，……………10分当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以当时，取得最小值，从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省.……………12分22．解：（1），当时，，，单调递减区间为，单调递增区间为，时，取得极小值，也是最小值，的最小值为。…………2分（2）当时，，令或，…………3分若时，恒成立，函数单调递减区间是，无递增区间。若时，，当或时，，当时，，即函数递减区间是，递增区间是。若时，，当或时，，当时，，即函数递减区间是，递增区间是。综上，若时，函数的递减区间是，无递增区间；若时，函数的递减区间是，递增区间是；若时，函数的递减区间是，递增区间是。…………6分（3）当时，设函数，则，设，当时，为增函数，在为增函数，在区间上递增，函数在上的值域为，，在上至少有两个不同的根，…………8分即方程在上至少有两个不同的根，记（，则，在恒正，在区间上单调递增，要使在上有两个不同的根则必存在使得，函数在区间上单调递减，在上单调递增，且同时满足①②③由①式得，…………