2019-2020学年安徽省宿州市十三所省重点高二上学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省宿州市十三所省重点高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．点到直线的距离等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据点到直线距离公式，直接计算，即可得出结果.【详解】点到直线的距离为.故选：C【点睛】本题主要考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.2．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A错误。不共线的三个点才可以确定一个平面；B错误。四边形不一定是平面图形。如：三棱锥的四个顶点构成的四边形；C正确。梯形有一组对边平行，两条平行线确定一平面；D错误。两个平面有公共点，这些点共线，是两个平面的交线；故选C3．“”是“两直线和互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由，求两直线的斜率，再由两直线垂直求的取值，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】当时，两直线和的斜率分别为：和，所以两直线垂直；若两直线和互相垂直，则，解得：；因此“”是“两直线和互相垂直”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定方法即可，属于基础题型.4．已知圆与圆关于轴对称，则圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先由已知圆的方程，得到已知圆的圆心坐标与半径，再由已知圆与所求圆的对称关系，得到所求圆的圆心与半径，即可得出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为，又圆与圆关于轴对称,所以圆的圆心坐标为，半径为；因此圆的方程为：.故选：B【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记即圆与圆位置关系即可，属于基础题型.5．若直线平面，直线，则与的位置关系是（）A． B．与异面C．与相交 D．与没有公共点【答案】D【解析】根据直线与平面平行的性质，得到平面内的直线与平行或异面，进而可得出结果.【详解】因为直线平面，则平面内的直线与平行或异面，又直线，所以与平行或异面，即没有公共点.故选：D【点睛】本题主要考查线线位置关系的判定，熟记线线、线面位置关系即可，属于基础题型.6．圆截直线所得的弦长等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，与半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长等于，即可得出结果.【详解】因为可化为，所以圆的圆心为，半径为，因为点到直线的距离为，所以，圆截直线所得的弦长.故选：D【点睛】本题主要考查求圆的弦长，熟记几何法求解即可，属于常考题型.7．一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据斜二测画法的性质求解即可.【详解】由斜二测画法性质得,原图,.故原图形的周长为故选：D【点睛】本题主要考查了斜二测画法的性质,属于基础题型.8．若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先由方程表示圆，得到；再由过点有两条直线与圆相切，得到点在圆外，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为表示圆的方程，所以，即；又过点有两条直线与圆相切，所以点在圆外，因此，即；综上，.故选：C【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，熟记过圆外一点的圆的切线条数的判定方法，以及圆的一般方程即可，属于常考题型.9．已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如图，作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4故选D10．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由圆得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，确定直线与圆位置关系，求出圆上的点到直线的距离的范围，再由直线方程求出，两点坐标，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径为，由点到直线距离公式可得：点到直线的距离为，所以直线与圆相离；又点在圆上，所以点到直线距离范围是：，即；又直线分别与轴，轴交于，两点，所以，，因此，所以，即，故选：A【点睛】本题主要考查三角形面积的取值范围，熟记直线与圆位置关系，会求圆上的点到直线距离的范围即可，属于常考题型.11．如图，直三棱柱的体积为，点分别在侧棱和上，，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长和侧棱长均为，则认为分别为侧棱和上的中点，则（其中为边上的高），所以．故选B．【考点】柱、锥、台体的体积．【思路点睛】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长和侧棱长均为，分别为侧棱和上的中点，求出底面面积和高，即可求出四棱锥的体积．本题考查柱、锥、台体的体积，考查计算能力，特殊化法，在解题中有独到效果，本题还可以让或在特殊点，四棱锥变为三棱锥解答更好．12．若圆：上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】先由题意，得到圆关于直线对称，即直线过圆的圆心；根据圆的方程，得到圆心坐标与半径，得到，从而推出表示圆上的点到直线距离的平方；求出圆心到直线的距离，进而可求出结果.【详解】因为圆上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，所以圆关于直线对称，即直线过圆的圆心；又圆可化为，其圆心为，半径为；所以有，即，因此可表示直线上的点，又是圆：上的点，所以表示圆上的点到直线距离的平方；由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离为，因此直线与圆相离，所以圆上的点到直线距离的最小值为，所以的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的综合，熟记直线与圆位置关系，会求圆上的点到直线的距离即可，属于常考题型.二、填空题13．以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程是______.【答案】【解析】先由题意，得到所求圆的半径，再由圆的标准方程，即可得出结果.【详解】因为所求圆以点为圆心，并且与轴相切，所以所求圆的半径为，因此，所求圆的方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记圆的标准方程即可，属于基础题型.14．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.∴该几何体的外接球的表面积为.故答案为.点睛：本题主要考查三棱柱外接球表面积的求法，属于中档题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.15．已知命题“使得”是假命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】先由题意，得到命题的否定为真命题，即对任意恒成立，进而可求出结果.【详解】因为命题“使得”是假命题，所以其否定“使得”是真命题，即对任意恒成立，所以只需.故答案为：【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，熟记含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型.16．已知k∈R，P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为________．【答案】9【解析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【详解】由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故答案为：9【点睛】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．三、解答题17．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．【答案】，定义域为【解析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．【详解】如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在正四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为x的正方形，F是BC的中点，EF⊥BC，EF＝5，则四棱锥的高EO＝，其中0＜x＜10，∴四棱锥的体积V＝，定义域为（0，10）.【点睛】本题考查了函数模型的应用，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中自变量的取值范围，属于中档题．18．已知直线经过点.（1）点到直线的距离为2，求直线的方程.（2）直线在坐标轴上截距相等，求直线的方程.【答案】(1)，.(2)或.【解析】（1）先讨论直线斜率不存在的情况，直接得出直线方程；再讨论直线斜率存在的情况，设出直线方程，根据点到直线距离公式，即可求出结果；（2）先由题意，得到直线斜率一定存在且，分别求出直线在两坐标轴的截距，建立等量关系，求出斜率，进而即可求出结果.【详解】（1）当直线斜率不存在时，即符合要求，当直线斜率存在时，设直线的方程为，整理得，点到的距离，，解得，得，即直线的方程为，.（2）由题知，直线斜率一定存在且，直线，当时，，当时，，∴，解得或.即直线的方程为或.【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.19．如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点.（1）求证：平面.（2）在上找一点使得平面平面，并证明.【答案】(1)证明见解析(2)点为的中点.证明见解析【解析】（1）取中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题意，确定点为的中点；再给出证明：连接，，根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）取中点，连接，，∵，，∴是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）点为的中点.证：连接，，因为、分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又因为，，所以且，即四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以平面.又因为，所以平面平面.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.20．已知圆：.（1）设直线与圆相交于、两点，求实数的取值范围.（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【解析】(1)由题圆心到直线的距离小于半径,列式解不等式即可.(2)设的方程,再根据直线垂直平分弦得圆心必在上,代入方程求解参数即可.【详解】（1）因为直线与圆相交于、两点，所以圆心到直线的距离小于半径，即，化简得：，∴或．故实数的取值范围是．（2）设符合条件的实数存在，由（1）得，则直线的斜率为，∴的方程为，即，∵垂直平分弦，故圆心必在上，∴，解得：．∵，故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的问题,主要根据圆心到直线的距离求解,同时也考查了圆的对称性,属于中等题型.21．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，点在圆所在平面内，且是圆的切线，交圆于点，连接，.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】(1)由题意可知，，从而可得平面，从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明；（2）由条件计算和，然后利用即可得到结果.【详解】解：（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以.又在圆锥中，垂直底面圆，所以，而，所以平面，从而.在三角形中，，所以，又所以平面.（2）因为，，，所以在直角中，.又，则是等腰三角形，所以，.又，所以设点到平面的距离为，由，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.22．已知圆：，圆与圆关于直线：对称.（1）求圆的方程；（2）过直线上的点分别作斜率为，4的两条直线，，使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.（i）求点的坐标；（ii）过点任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交，判断所得弦长是否恒相等，并说明理由.【答案】(1)(2)（i）.（ii）恒相等.见解析【解析】(1)根据轴对称求得圆的圆心即可.(2)由题,两问均可设与过点任作两条互相垂直的直线分别为,再由题意得到的距离与到的距离相等,列式求解与证明即可.【详解】（1）设，因为圆与圆关于直线：对称，，则直线与直线垂直，中点在直线上，得，解得，所以圆：.（2）（i）设，的方程为，即；的方程为，即.因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，所以到的距离与到的距离相等，即，所以或.由题意，到直线的距离，所以不满足题意，舍去，故，点坐标为.（ii）过