三维图形的几何变换

机械工业出版社机制教研室汤爱君CAD/CAM技术当前1页，总共64页。1、四边形的四个顶点坐标为（10，20）、（20，20）、（20，10）、（10，10），如果图形在x方向上的比例变换为2，在y方向上的比例为0.5，求变换后的各点坐标当前2页，总共64页。2、四边形的四个顶点坐标为（0，10）、（10，10）、（10，0）、（0，0），如果图形在x方向上的错切变换为2，求变换后的各点坐标当前3页，总共64页。3、自己推导出对y=x和y=-x线的对称变换矩阵（1）将直线y=x按逆时针方向旋转45度，使直线与y轴重合。即作旋转变换。当前4页，总共64页。（2）将旋转之后的图形对y轴作对称变换。其变换矩阵为：当前5页，总共64页。（3）将图形按顺时针方向旋转45角，即作旋转变换。其变换矩阵为：当前6页，总共64页。则关于直线y=x的对称变换矩阵T为：同理，可求出关于直线y=-x的对称变换矩阵T为：当前7页，总共64页。回顾1、计算机图形学2、图形生成技术与算法3、图形变换（1）窗、视变换视不变，窗变，图形相反变化窗不变，视变，图形相同变化（2）基本变换当前8页，总共64页。当前9页，总共64页。当前10页，总共64页。授课大纲3.1二维复合变换的实例3.2对二维复合变换的一般规律进行总结3.3三维图形的几何变换3.3.1比例变换3.3.2对称变换3.3.3错切变换3.3.4平移变换3.3.5旋转变换3.4投影变换3.5图形裁剪技术点的裁剪线段的裁剪3.6数控加工技术概述基础重点当前11页，总共64页。3、二维组合变换上述的几种变换可用统一的变换矩阵形式来实现，称之基本变换。但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两次或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为：P*=PT1T2…Tn=PT式中，T=T1T2…Tn为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。当前12页，总共64页。（1）绕任意点旋转变换平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角，需要通过以下几个步骤来实现：(1)将旋转中心平移到原点;(2)将图形绕坐标系原点旋转θ角;(3)将旋转中心平移回到原来位置。当前13页，总共64页。例二：平面图形对一般位置直线ax+by+c=0的对称变换。（1）将平面图形与直线ax+by+c=0一起向左平移x=c/a，使该直线通过原点，即作平移变换。当前14页，总共64页。（2）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转θ=arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变换。当前15页，总共64页。（3）将旋转之后的图形对y轴作对称变换，相当于对y轴进行对称变换。其变换矩阵为：当前16页，总共64页。（4）将图形按顺时针方向旋转θ角，即作旋转变换。其变换矩阵为：当前17页，总共64页。（5）直线ax+by+c=0从原点反平移x=c/a，回到直线原来的位置，即作平移变换。其变换矩阵为：当前18页，总共64页。则图形对一般位置直线的对称变换矩阵T为：当前19页，总共64页。二维图形几何变换矩阵可用T表示如下：总结：如果将矩阵T分成四块，则各部分的功能为：当前20页，总共64页。对图形进行比例、对称、旋转、错切等变换。[a31，a32]对图形进行平移变换，a31、a32分别为x、y方向的平移量。a13对图形进行投影变换a23当前21页，总共64页。2、复合变换解决复合变换问题的一般步骤为：（1）任意点移至坐标原点（2）实现基本图形变换（3）反向移回任意点复合变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，即：[A][B]≠[B][A]因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。当前22页，总共64页。先平移后旋转先旋转后平移当前23页，总共64页。三、三维图形的几何变换三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：T＝当前24页，总共64页。齐次变换矩阵：平移缩放旋转错切透视变换整体缩放当前25页，总共64页。1、比例变换变换矩阵T=式中，A、E、J分别为x,y,z三个坐标方向的比例因子当前26页，总共64页。2、对称变换相对于xoy平面的对称变换矩阵为Txoy=相对于yoz平面的对称变换矩阵为Tyoz=当前27页，总共64页。相对于xoz平面的对称变换矩阵为Txoz=当前28页，总共64页。3、错切变换变换矩阵T=式中，D、H是图形沿x方向的错切系数；B、I是图形沿y方向的错切系数；C、F是图形沿z方向的错切系数当前29页，总共64页。变换矩阵T=4、平移变换其中L、M、N分别是X、Y、Z方向的平移量当前30页，总共64页。5、旋转变换（1）绕z轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为当前31页，总共64页。（2）绕x轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为当前32页，总共64页。（3）绕y轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为当前33页，总共64页。四、投影变换将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过程称为投影变换。根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当投影中心(观察点)与投影平面之间的距离为无穷远时，为平行投影，否则为透视投影。透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。当前34页，总共64页。投影变换分类:投影平行投影透视投影正平行投影斜平行投影正交投影正轴测投影正等测投影正二测正三测斜等测斜二测一点透视二点透视三点透视当前35页，总共64页。1、平行投影投影直线的方向与向量 的方向一致，投影平面为xoy平面，设对象形体上一点的坐标为（x1，y1，z1），求得过该点与投影方向一致的直线的参数方程为（xp，yp，zp）为投影直线的向量。当前36页，总共64页。该直线与xoy平面的交点坐标为（x2，y2，0）,则：因此平行投影变换关系为：投影变换矩阵当前37页，总共64页。2、正投影---三视图

与二维图形的组合变换一样，可以通过对三维立体图形顺序进行多种基本变换，来实现复杂的三维图形变换。主视图：变换矩阵中坐标y＝0，其它坐标不变：俯视图令z＝0，绕x顺时针旋转90°，再在负z方向平移，其变换矩阵为：当前38页，总共64页。左视图：令x＝0，绕z轴逆时针转90°，再沿负x方向平移，变换矩阵为：当前39页，总共64页。a)一点透视b)二点透视c)三点透视透视变换：

是通过视点将三维物体投影到投影面的变换。当前40页，总共64页。第三节图形裁剪技术实际应用中，面对一副大的画面，常要求开一个矩形窗口显示指定的部分画面。窗口内的图形被显示出来，而窗口外的图形则被裁减掉，使图形恰当的显示到屏幕上的处理技术称为裁剪技术任何图形在显示之前都要经过裁剪工作当前41页，总共64页。一、点的裁剪设矩形窗口的四条边界线是x=x1,x=x2,y=y1,y=y2,不等式组为凡符合上述不等式组的点，都是可见图形点，不符合的，则是不可见图形点。当前42页，总共64页。二、线段的裁剪线段与窗口的位置关系：线段完全落在窗口内线段完全位于窗口外线段部分位于窗口内当前43页，总共64页。编码裁剪法：第一位，点在窗口左边界线之左为1，否则为0；第二位，点在窗口右边界线之右为1，否则为0；第三位，点在窗口下边界线之下为1，否则为0；第四位，点在窗口上边界线之上为1，否则为0。1001100010100001窗口00000010010101000110主要思想：用编码方法来实现裁剪特点：对显然不可见线段的快速判别编码方法：将窗口及其周围共划分为九个区域，对这九个区域分别用四位二进制数编码表示。四位编码中每位（按由右向左顺序）编码的意义如下：当前44页，总共64页。对线段的两端点分别进行编码。然后根据线段两端点编码就能方便地判断出线段相对于窗口的位置关系：当前45页，总共64页。线段端点编码逻辑乘结果与窗口边界交点可见性AB000000000000无完全可见CD010001000100无完全不可见EF000000100000有部分可见PQ000101000000有部分可见MN000110000000无完全不可见当前46页，总共64页。如果线段两端点的四位编码都是0000，则表示两端点均在窗口内，线段完全可见。否则进入第二步。如果线段两端点的四位编码不全是0000，将线段两端点的四位编码逻辑相乘，结果不是0000，则表示线段两端点在窗口边界线外的同侧位置，该线段完全不可见，裁剪结束，否则进入第三步。如果线段两端点的四位编码不全是0000，将线段两端点的四位编码逻辑相乘，结果是0000，需要再判断线段与窗口边界是否相交，如果有交点，说明该线段部分位于窗口内，即部分可见；如果没有交点，说明该线段位于窗口之外，完全不可见。对于部分可见的线段，需要对线段进行再分。求出该线段与窗口边界线的交点，重复上述编码判断，把不在窗口内的部分丢掉。图中线段PQ被细分后PR段就被丢掉，得到新的段QR，这时还要对线段QR进行再分割，求出该线段与窗口下边界线的交点S，直到发现线段RS完全在窗口内为止。当前47页，总共64页。数控加工，也称之为NC（NumericalContorl）加工，是以数值与符号构成的信息，控制机床实现自动运转。数控加工技术概述一、数控加工的基本概念数控加工的优点：加工精度高，质量稳定可靠；自动化生产，效率高，周期短；可直接从CAD系统中提取数据，保证数据处理的一致性；减轻劳动强度改善劳动条件有利于生产管理当前48页，总共64页。数控机床应有更好的宜人性（人机关系及环保）便于操作的机床结构当前49页，总共64页。立式数控车床当前50页，总共64页。卧式数控车床当前51页，总共64页。立式数控铣床当前52页，总共64页。卧式数控铣床当前53页，总共64页。快走丝电火花线切割机床当前54页，总共64页。工作台移动式电火花机床当前55页，总共64页。工作台固定式电火花机床当前56页，总共64页。固定立柱立式加工中心当前57页，总共64页。滑枕立式加工中心当前58页，总共64页。O形整体床身立式加工中心当前59页，总共64页。数控机床工作过程加工准备阶段机床调整阶段程序调试阶段试切加工阶段正式加工阶段检测当前60页，总共64页。常见数控系统SIEMENSFANUC当前61页，总共64页。立式数控铣床当前62页，总共64页。用CAXA-ME实现加工的过程：首先，在后续设置中须配置好机床，这是正确输出代码的关键其次，看懂图纸，用曲线、曲面和实体表达工件然后，根据工件形状，选择合适的加工方式，生成刀位轨迹最后，生成G代码，传给机床当前63页，总共64页。代码功能代码功能G00G01G02G03G04G06G08G09G17G18G19G33G