2020秋高中数学人教版4-5课堂演练：第二讲2.1比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修4-5课堂演练：第二讲2.1比较法第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法A级基础巩固一、选择题1．设t＝a＋2b,s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是（)A．t＞s B．t≥sC．t＜s D．t≤s解析：s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b）＝(b－1）2≥0，所以s≥t.答案：D2．已知a,b都是正数,P＝eq\f(\r(a)＋\r(b)，\r(2）)，Q＝eq\r（a＋b），则P，Q的大小关系是（)A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q解析：因为a，b都是正数，所以P＞0，Q＞0.所以P2－Q2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（a)＋\r（b)，\r（2)))）eq\s\up12（2）－(eq\r(a＋b））2＝eq\f（－（\r(a）－\r（b)）2,2）≤0。所以P2－Q2≤0。所以P≤Q.答案：D3．已知a＞b＞－1，则eq\f（1,a＋1)与eq\f(1，b＋1）的大小关系为（)A.eq\f(1,a＋1）＞eq\f（1,b＋1） B.eq\f（1,a＋1）＜eq\f（1，b＋1）C。eq\f(1,a＋1)≥eq\f（1,b＋1） D.eq\f（1，a＋1)≤eq\f(1,b＋1)解析：因为a＞b＞－1，所以a＋1＞0，b＋1＞0,a－b＞0，则eq\f(1,a＋1)－eq\f（1，b＋1)＝eq\f(b－a,（a＋1）（b＋1）)＜0，所以eq\f(1，a＋1)＜eq\f(1，b＋1）。答案：B4．在等比数列｛an}和等差数列{bn｝中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为(）A．a5＞b5 B．a5＜b5C．a5＝b5 D．不确定解析：由等比数列的性质知a5＝eq\f（aeq\o\al（2,3),a1)，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1≠a3，故a5－b5＝eq\f(aeq\o\al（2,3)，a1）－2b3＋b1＝eq\f（aeq\o\al(2，3）－2a3a1＋aeq\o\al(2,1）,a1）＝eq\f（（a3－a1）2，a1）＞0。因此，a5＞b5。答案：A5．已知a＞0且a≠1,P＝loga（a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()A．P＞Q B．P＜QC．P＝Q D．大小不确定解析：P－Q＝loga(a3＋1）－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1）.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1,0＜eq\f（a3＋1，a2＋1）＜1，所以logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q。当a＞1时,a3＋1＞a2＋1＞0，eq\f(a3＋1,a2＋1）＞1，所以logaeq\f(a3＋1,a2＋1）＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A。答案：A二、填空题6．设A＝eq\f（1,2a）＋eq\f（1，2b），B＝eq\f(2，a＋b)（a＞0，b＞0），则A，B的大小关系为________．解析：A－B＝eq\f(b＋a，2ab)－eq\f（2，a＋b）＝eq\f（（a＋b）2－4ab，2ab（a＋b））＝eq\f(（a－b)2，2ab（a＋b）），因为a＞0，b＞0,所以2ab＞0，a＋b＞0,又因为（a－b)2≥0，所以A≥B.答案:A≥B7．设a〉b>0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r（a)，y＝eq\r（a)－eq\r（a－b），则x，y的大小关系是x________y（填“>”“<"或“＝”)．解析：因为eq\f（x，y）＝eq\f(\r(a＋b)－\r(a),\r(a)－\r(a－b）)＝eq\f（\r（a)＋\r（a－b),\r（a）＋\r（a＋b）)〈eq\f(\r(a）＋\r(a＋b），\r（a）＋\r（a＋b））＝1，且x〉0,y>0，所以x〈y.答案：<8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．解析:由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2）2＞0，故a＝－2，b＝－eq\f(1,2)不同时成立．答案：a＝－2，b＝－eq\f(1，2)不同时成立三、解答题9．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－（2ab2－a2b）＝2a(a2－b2）＋b(a2－b2）＝(a2－b2)·（2a＋b)＝(a－b)(a＋b）（2a＋b）．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，从而（a－b)（a＋b)（2a＋b）≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.10．已知函数f（x)＝log2（x＋m),且f（0）,f（2)，f(6）成等差数列．(1)求f（30)的值；（2）若a，b,c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a）＋f（c)与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．解：（1）由f（0)，f（2),f(6）成等差数列,得2log2(2＋m）＝log2m＋log2（6＋m）,即(m＋2）2＝m(m＋6)(m〉0）．所以m＝2，所以f（30）＝log2(30＋2）＝5.（2)f(a)＋f(c）>2f（b）．证明如下：2f(b)＝2log2(b＋2）＝log2(b＋2）2，f（a）＋f(c）＝log2［（a＋2)(c＋2)]，又b2＝ac，所以（a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝ac＋2（a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c）－4b。因为a＋c>2eq\r（ac)＝2b(a≠c)，所以2（a＋c）－4b〉0,所以log2［（a＋2）（c＋2）]>log2(b＋2)2，即f（a)＋f（c)>2f（b)．B级能力提升1．若a，b∈R＋，且a≠b,M＝eq\f（a，\r(b)）＋eq\f(b,\r(a））,N＝eq\r（a）＋eq\r(b),则M与N的大小关系是（)A．M＞N B．M＜NC．M≥N D．M≤N解析：因为M＝eq\f（a\r（a）＋b\r(b）,\r（a)\r（b））＝eq\f（(\r（a)＋\r(b））（a－\r(a)\r（b）＋b),\r(a)\r(b）).且M，N＞0，a≠b,eq\f（M,N）＝eq\f(a－\r（a)\r(b）＋b，\r（a)\r(b)）＞eq\f(2\r(a)\r（b)－\r(a)\r（b),\r(a)\r(b)）＝1，所以M＞N。答案:A2．一个个体户有一种商品，其成本低于eq\f（3500,9）元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5％，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售（填“月初"或“月末”）．解析:设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋（a＋100)×2。5％，月末售出的利润为L2＝120－2%a,则L1－L2＝100＋0。025a＋2.5－120＋0。02a＝0.045eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f（3500,9)）)，因为a＜eq\f（3500,9)，所以L1＜L2,月末出售好．答案：月末3．若实数x,y,m满足|x－m｜＜|y－m｜，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abeq\r(ab).证明:因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以a2b＋ab2＞2abeq\r(ab），a3＋b3＞2abeq\r（ab），所以a2b＋ab2－2abeq\r(ab)＞0，a3＋b3－2abeq\r(ab）＞0.所以｜a2b＋ab2－2abeq\r(ab)｜－|a3＋b3－2abeq\r（ab）|＝a2b＋ab2－2abeq\r(ab)－a3－b3＋2abeq\r（ab)＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a）＋b2(a－b）＝(a－b)（b2－a