2023届福建省宁德市高三年级上册学期期末模拟（一）数学试题【含答案】

2023届福建省宁德市高级中学高三上学期期末模拟（一）数学试题一、单选题1．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】由复平面对应的点写出复数的代数形式，然后求出，进而可求模.【详解】由已知复数，的代数形式为，，，故选：B.2．已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合中元素范围，再根据可得实数的取值范围.【详解】由已知集合，又，，，故选：C.3．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，某省派出了200名教师援疆.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，调查他们的援疆工作情况，若样本中女教师比男教师少8人，则该省此次援疆女教师人数为（

）A．16 B．40 C．80 D．120【答案】C【分析】先求出样本女教师人数，由分层抽样的定义列式求解即可.【详解】设样本中女教师为x人，则，∴援疆女教师人数为.故选：C4．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可得的定义域为，且，所以为偶函数，B错误；又因为恒成立，在时，，在时，D错误，且当时，，，所以结合图形可知A正确，B错误，故选:A.5．青花穿花龙纹盘是我国明朝生产的一件国宝级瓷器，现收藏于国家博物馆.该盘撇口，弧壁，广底，底心微塌，圈足.通体绘青花纹饰，盘心及内外壁绘穿花龙纹，足墙绘如意云头纹，气势雄伟，表现出苍莽天穹巨龙的威武形象.青花穿花龙纹盘的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，盘高，口径，足径，底部圆柱高，则该青花穼花龙纹盘的容积约为（

）（其中的值取3）A．591毫升 B．1044毫升 C．1576毫升 D．1700毫升【答案】B【分析】根据圆台和圆柱的体积公式计算,即可得答案.【详解】由题意得圆台上底面半径为，圆台下底面和圆柱的底面半径为，青花穿花龙纹盘的容积约为：

，故选：B6．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数的运算性质，可比较的大小，由于，结合对数式与指数式的转化以及指数函数性质，可得，即可得答案.【详解】由题意可得，，由于，故，即；由于，故，而，故，所以.故选：D.7．第19届亚运会即将在美丽仢西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者.现安排某大学含甲、乙的6名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排2人，每人只能在一个场馆工作，则甲、乙两人被安排在不同的场馆的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分组分配问题结合古典概型求解.【详解】6人分成3组并安排到三个场馆工作，共有种不同的安排方法，其中甲、乙被安排到不同场馆有种不同的安排方法，所以甲、乙两人被安排在不同的场馆的概率为，故选:A.8．设椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知四边形是矩形，其中，进而根据，结合勾股定理与椭圆定义求解即可.【详解】解：因为，点，关于原点对称所以，线段互相平分，且相等，所以四边形是矩形，其中，设，所以，，所以椭圆离心率为故选：C二、多选题9．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，故A正确；对于B选项，由得，为第二或第四象限角，所以，解得（为第四象限角）或（为第二象限角），故B错误；对于C选项，由于，整理得，解得，故C正确；对于D选项，，故D正确；故选：ACD10．已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（

）A． B．的最小值为36C． D．的最小值为16【答案】BCD【分析】利用基本不等式以及基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】由两边同除以得，A错误；因为，即，所以，当且仅当，时取得等号，B正确；由得，因为，所以，因为当且仅当时取得等号，且，又因为上述过程可得，当且仅当，时取得等号，取等条件不一致，所以，C正确；，当且仅当，即也即时取得等号，D正确，故选:BCD.11．已知函数（，），，，在区间上单调，则下列说法正确的是（

）A．B．的最小正周期可以为C．的图象的对称中心坐标为（）D．的最小值为【答案】CD【分析】对于AB，由在区间上单调，可得，可求出的范围，从而可判断AB，对于CD，由，可得，由，可得，可求出，从而可判断CD.【详解】因为在区间上单调，所以，得，所以A错误，因为，所以，所以的最小正周期大于等于，所以B错误，由，得，由，得，所以解得，，因为，所以的最小值为，所以D正确，由于，，所以，得，所以，所以，由，得，所以的图象的对称中心坐标为（），所以C正确，故选：CD12．若对，恒成立，则的取值可以为（

）A． B． C． D．2【答案】BD【分析】由题将问题变形为对恒成立，进而结合单调性，分，两种情况讨论求解即可得答案.【详解】解：由题知，，恒成立，且，所以对恒成立，令，，所以，当时，，单调递增，所以，当，单调递增，所以，当时，，对恒成立等价于对恒成立所以，当时，有，对恒成立等价于对恒成立，即对恒成立，由于，故；当时，对，恒成立，满足题意，综上，的取值范围是，所以，的取值可以为BD选项故选：BD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于将问题转化为当时，，对恒成立，进而分，两种情况讨论求解.三、填空题13．已知向量，满足，，，则______.【答案】【分析】先根据条件求出的坐标，再根据列方程求解.【详解】，,,又，，得，故答案为：.14．已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为______.【答案】【分析】设，由点线距离及两点距离公式列式化简即可.【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.故曲线的方程为.故答案为：15．已知数列的前项和为，，则______.【答案】【分析】利用递推公式可得，四项一组组成等比数列，利用公式求和即可.【详解】由得，当时，所以，所以，故答案为:.16．在平面四边形中，，，是以为斜边的直角三角形，将沿折起，使得点到达点的位置，若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】##【分析】根据题意结合球的性质分析可得三棱锥的外接球的球心即的外接圆圆心，再利用正弦定理求其半径，即可得结果.【详解】如图，取的中点，连接，∵，则，而平面平面，平面平面，平面，∴平面.又∵是以为斜边的直角三角形，则为的外接圆圆心，即，∴三棱锥的外接球的球心在直线上，由题意可知：的外接圆圆心在直线上，则连接，∴三棱锥的外接球的球心即为，在中，由题意可得，则，∴三棱锥的外接球的半径，故三棱锥的外接球的表面积.故答案为：.【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面.四、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）将条件变形并用正弦定理角化边，然后代入中，可将都用表示，再利用余弦定理求即可；（2）利用（1）将转化为关于的等式，再结合计算即可.【详解】（1）由得，在中，由正弦定理得，，，，，又，；（2）由（1），，即，，，又，则为锐角，．18．已知为数列的前项积，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用将条件整理变形可得，即可证明数列是等差数列；（2）将变形为，然后直接求和消去中间多项可得答案.【详解】（1）为数列的前项积，当时，，，等式两边同时乘以可得，即，又当时，，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，，．19．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为此举办了一次共青团史知识竞赛，并规定成绩在内为成绩优秀.现对参赛的100名学生的竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.成绩人数20403010(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为此次竞赛成绩与该学生是初中生还是高中生有关；优秀非优秀合计初中生20高中生45合计(2)为鼓励学生积极参加这次知识竞赛，学校后勤部给参与竞赛的学生制定了两种不同的奖励方案：方案一：参加了竞赛的学生每人都可抽奖1次，且每次抽奖互不影响，每次中奖的概率均为，抽中奖励价值50元的食堂充值卡，未抽中无奖励；方案二：竞赛成绩优秀的抽奖两次，其余学生抽奖一次，抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个数字（），若产生的数字能被3整除，则可奖励价值40元的食堂充值卡，否则奖励20元的食堂充值卡（充值卡奖励可叠加）.若学校后勤部财责人希望让学生得到更多的奖励，则该负责人应该选择哪一种奖励方案，并说明理由.参考公式：.，.附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列联表见解析，有；(2)方案二，理由见解析.【分析】（1）根据分布表完成列取表，利用题中公式运算求解判断即可；（2）计算两种方案的数学期望，通过比较进行判断选择即可.【详解】（1）优秀的人数为，所以列取表如下：优秀非优秀合计初中生201535高中生204565合计4060100因为，所以有95%的把握认为此次竞赛成绩与该学生是初中生还是高中生有关；（2）方案一：一个学生获得食堂充值卡的金额的数学期望为，方案二：能被3整除的概率为，设一个优秀学生获得充值卡的金额数为，则，，，，因此，不优秀学生获得充值卡的金额数为，所以一个学生获得充值卡的金额数的数学期望为：，显然，所以按照方案二满足要求.20．如图，已知四边形是直角梯形，，，，分别为，的中点，，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，.(1)求线段的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先证明出面.取的中点,过作，连接.以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求出线段的长；（2）利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形是直角梯形，，，，分别为，的中点，所以.所以翻折后因为面面，所以面.取的中点,过作，则面.连接.因为，，所以为等边三角形，所以.如图示：过作交于.在直角三角形中，,由,解得：，所以..以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.则所以所以（2）显然为面的一个法向量.设为面的一个法向量,则.不妨设，则.设二面角的平面角为，由图示，为锐角，所以.即二面角的余弦值为.21．已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.(1)求的标准方程；(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.【答案】(1)；(2)过定点.【分析】（1）由右焦点到的一条渐近线的距离为1，可求得，再由离心率为，结合可求出，从而可求出双曲线的方程；（2）设，则，设直线为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，再表示出直线的方程，令，表示出，结合前面的式子化简可得结果.【详解】（1）已知双曲线：（，）的右焦点为，渐近线方程为，即因为右焦点到的一条渐近线的距离为1，所以，因为双曲线的离心率为，即所以，得，所以双曲线的标准方程为；（2）设，因为点在双曲线上，且线段轴，所以，设直线为，由，得，，得，则，因为直线为，令，得，