合肥市2021年高三第三次教学质检测数学试题（理科）

合肥市2021年高三第三次教学质・检测

数学试题（理科）

（考试时间：120分钟满分：150分）

第I卷（60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知=集合4=卜|/-2》-3>（）｝与8=卜k=2欠-1,左€2｝关系的丫6011图如图解,

则阴影部分表示集合的元素共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.设z=l±l+i（i是虚数单位），则上卜

21

A.；B.C.1D.&

3.如图，网格纸中小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个几何

体的三视图，则该几何体最长棱的长度为

A.4>/3B.4及C.80D.8

4.在平面直角坐标系中，已知点P（cos6sinr）,A（2,0）,当f由

-变化到工时，线段AP扫过形成图形的面积等于

33

A.2B.-C.-D.—

3612

5.已知曲线C:y=cos2x,曲线E:y=sin[x+。），则下面结论正确的是

A.把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后,再向右平移4个单位长度得到曲线E

6

B.把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移四个单位长度得到曲线E

6

C.把C上各点横坐标缩短到原来1倍（纵坐标不变）后，再向右平移四个单位长度得到曲线E

D.把C上各点横坐标缩短到原来;倍（纵坐标不变）后,再向左平移四个单位长度得到曲线E

6

6・若函数十）弋IK；；'

满足“。）=/（2"）,则/（2«）的值等于

A.2B.0C.-2D.-4

7.右图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采摘，

然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售.路径1：先

将油桃集中到4处，再沿公路AC运送；路径2：先将油桃集中到B处，再沿

公路BC运送.已知AC=3km,BC=4km.为了减少运送时间，园主在油桃园

中画定了一条界线，使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近，另一

侧的采摘工按路径2运送路程较近.若这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

8.已知等比数列｛%｝的各项均为实数，公比为q,则下列结论I昔误的是

A.若4a2>0,则a2aB.若4+4<0,JLa,+a3<0,则q>-l

C.若%>a„>0,则a“+。“+2>2。,向D.若a,,.<0,则（---卜。

9.某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽

调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要

平均工作24h.而抗洪指挥部目前只有一府斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.

若抽调的翻斗车每隔2（）min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥

部至少年靠攀抽调这种型号翻斗车

A.25辆B.24辆C.23辆D.22辆

10.已知圆C：X2+/+4X+1=0,过圆外一点P作圆C的切线，切点为A.若归4|=&归。|（。为

坐标原点），则|PC|的最小值为

A.4B.4-V2C.4-6D.4-逐

11.已知函数/（*）=*1!14+四*,g（x）=-x2+x.当xe（O,+8）时，/（x）Ng（x）恒成立，则实数a

的取值范围是

A.与,+8）B.-,+co^jC.[l,+oo）D.[e,+a>）

12.几何中常用图表示L的测度，当L为曲线、平面图形和空间几何体时，同分别对应其长度、面积

和体积.在A48c中，AB=3,BC=4,AC=5,P为AABC内部一动点（含边界），在空间中，到点尸

的距离为1的点的轨迹为L,则囚等于

A.6%+12B.—+6C.—^+12D.—+12

333

第II卷（90分）

本卷包括必考题和选考题两部分第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题'

第23题为选巍，考生根据要求作答.

二'填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在答题卡上的相应位置

13.己知AABC的重心为G,^BG=xAB+yAC,则x-y=.

14.已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与抛物线c的交

点为。.若|QF|=2|PQ|,则抛物线C的方程为.

15.为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”

研学游活动.该校高一年级部10个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个班级只去1个革命老区，每

个革命老区至少安排3个班级，则不同的安排方法共有种（用数字作答）.

16.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现:平面内到两个定点的距离之积为常数的点

的轨迹是卡西尼卵形线（CassiniOval）.在平面直角坐标系中，设定点6（-c,0）,F2（c,。），点。为坐

22224

标原点，动点P（x，y）满足|尸耳卜归周="（a*0且为常数），化简得曲线E：x+/+C=V4xC+«.

下列四个命题中，正确命题的序号是.（将你认为正确的命题的序号都填上）

①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；

②当。=c时，|尸。|的最大值为应“；

③阀|+1P周的最小值为2a；

④面积的最大值为;

三'解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

在418c中，角AB,C的对边分别为a,b,c,怖=岳也卜+?）.

⑴求B；

⑵若"=（2-&）ac,c=2,求A4BC的面积.

D

18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥A-BCDE中，BC_L平面ABE,DE//BC,

DE=3BC=6,ZBAC=45,ZD4E=ZABE=60」.

⑴求证：AE±AC;

(2)设尸为棱AO上一点，且4B〃平面CEF,求二面角O—CF—E的

大小

19.(本小题满分12分)

某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由A,B两个系统组成，

其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为

P(0<P<l),且每个电子元件能否正常工作相互独立每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则

该系统可以正常工作，否则就需要维修.

⑴当〃=；时，每个系统维修费用均为200元设孑为该电子产品需要维修的总费用，求4的分布列

与数学期望；

(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品4,B两个系统进行检测.从A,B两个系统能够

正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？

20.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=21nx-^(x-l).

⑴若〃x)W0,求实数。的值；

⑵求证：/(〃+吗[2+(*]…[〃+

5+1)

21.(本小题满分12分)

已知点。是圆Q：。+4产+丁=72上一动点，点4(4,0),线段的垂直平分线交线段DQ于点B.

(1)求动点B的轨迹方程C；

(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且

焦点在同一条直线上，曲线T经过点£(-3.0),F(3,0).过曲线C上任一点P作曲线7的切线，切点分

别为N,这两条切线P