2019-2020学年云南省峨山彝族自治县第一高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年云南省峨山彝族自治县第一高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则集合的子集共有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】由集合中元素个数，即可求出其子集数.【详解】解：集合中共有元素4个，因此其子集共有个，故选:B.【点睛】本题考查了集合子集的个数.一般地，若集合中的元素有个，则其子集共有个.2．复数等于（）A．１+ｉ B．１－ｉ C．－１+ｉ D．－１－ｉ【答案】A【解析】【详解】，选A3．已知数列为等差数列，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，.【考点】数列，三角函数．4．设，，，则的关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为，，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查指对幂比较大小以及指数函数，对数函数的性质，属于基础题.5．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率【考点】几何概型6．执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进行运算求，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果．如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s＝1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s＝1×3×5＝15．故选：C．【考点】程序框图．7．四棱锥的顶点在底面中的投影恰好是，其三视图如图所示，则四棱锥的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图还原四棱锥，分别求出五个面的面积，即可求出四棱锥的表面积.【详解】解：由三视图可知，四棱锥为棱长为的正方体的一部分，则,所以,；因为，所以，则表面积为.故选:B.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积.本题的关键是由三视图还原四棱锥.8．设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：（1）若、，则（2）若，，则（3）若、，则（4）若，，则其中真命题的序号是（）A．（1）（4） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）【答案】D【解析】【详解】故选D.9．如图,阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．10．已知直线是曲线的切线，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点为，求出函数的导数后可知，从而可求出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程即可求出的值.【详解】解：设切点为，因为，所以，解得，，则，所以切点为在切线上，所以，解得，故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义.本题的关键是求出切点坐标.在函数图像切点满足：一、切点处的导数值为切线斜率，二是切点既在切线上又在函数图像上.11．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【解析】为了得到函数的图像,可以将函数向右平移得到的图像，故选D.12．在名运动员中，选名运动员组成接力队，参加米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有（）种.A． B． C． D．【答案】C【解析】第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，按照分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是：第一步，安排中间2个位置有种，第二步，安排首尾2个位置有种，共有种，故选：C【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，属于基础题.二、填空题13．若二项式的展开式中的系数是84，则实数__________．【答案】1【解析】【详解】试题分析：由二项式定理可得：，因为的系数是，所以即，即，所以.【考点】二项式定理.14．如果实数满足条件，那么的最大值为【答案】1【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．设、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一个点，，为与的等比中项，则该椭圆的离心率为______.【答案】【解析】在中，由余弦定理知，，从而可得，即，进而可求离心率.【详解】解：因为为与的等比中项，所以，在中，由余弦定理知，，即，所以，则离心率.故答案为:.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了椭圆的定义，考查了椭圆离心率的求解，考查了等比中项.本题的关键是结合余弦定理和等比中项写出含的式子.16．已知半径为的球中有一个内接正四面体，则这一正面体的体积是______.【答案】【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出正方体的棱长即可求出正四面体的体积．【详解】解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，设正方体的棱长为：；对角线长为：，则由，得，正四面体的体积为．故答案为：．【点睛】本题是基础题，考查正四面体的外接球，体积的求法，本题的突破口在正四面体转化为正方体，外接球是同一个球，考查计算能力，空间想象能力．三、解答题17．已知数列的首项，通项，且成等差数列，求：（Ⅰ）p,q的值；(Ⅱ)数列前n项和的公式.【答案】（Ⅰ）p=1,q=1(Ⅱ)【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力.【详解】（Ⅰ）由又，且，得解得p=1,q=1(Ⅱ)解：18．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．【答案】（1）；（2）2．【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.试题解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．19．如图，四棱锥的底面为菱形，面，分别为的中点，．（Ⅰ）求证：面面．（Ⅱ）求面与面所成的锐二面角的余弦值．【答案】．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题解析：（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴．在中，，，∴．∴，即．又，∴．∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，又∵平面，平面平面．（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，∴平面平面∵平面，∴．由（Ⅰ）知，又∴平面，又平面，∴平面平面．∴平面是平面与平面的公垂面．所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．在中，，即．又，∴．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．理（Ⅱ）解法二：以为原点、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，、、则，，．由（Ⅰ）知平面，故平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则．∴．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．【考点】本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题解法较多二应用向量则简化了证明过程．20．如图，直线与抛物线相切于点.（1）求实数的值；（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程，即可求得的值；（2）将（1）中所得的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.【详解】（1）直线与抛物线相切于点.则，得，（）因为直线与抛物线相切，所以，解得.（2）由（1）可知，故方程（）即为，解得，代入，得.故点，因为圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，即，所以圆的方程为.【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.21．若函数,当时,函数有极值为.(1)求函数的解析式；(2)若有个解,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由时，函数有极值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，有极大值；当时，有极小值，因为关于的方程有三个不等实根，所以函数的图象与直线有三个交点，则的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.22．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性5女性10总计50已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）求该公司男、女员工各多少人；（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由.下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】（1）填表见解析；（2）男员工人数为人，女员工有325人（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关，详见解析【解析】（1）根据题意可得喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而补全列联表.（2）根据公司男员工人数所占的比例即可求解.（3）根据列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即