2018届山东省济南市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018届山东省济南市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数（为虚数单位），则的共轭复数等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为；所以的共轭复数等于，故选B.2.已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为集合，，当时，集合为空集，符合题意，集合不是空集时，由，，可得,,所以实数的所有值构成的集合是，故选D.3.欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，，，则油（油滴的大小忽略不计），正好落入孔中的概率为，故选B.4.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内取值的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】B【解析】服从正态分布，曲线的对称轴是直线，在区间内取值的概率为，故选B.5.已知直线的方程为，则“直线平分圆的周长”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B6.设和为双曲线的两个焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若，设，则，是等腰直角三角形的三个顶点，，，，即，双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.7.记，则的值为（）A.1B.2C.129D.2188【答案】C【解析】在中，令，可得，，所以，故选C.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8.定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数，的的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，又因为函数为偶函数，，解得，当时，取得最小值是，故选D.9.设满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域如图所示，将化成，当时，仅在点处取得最小值，即目标函数仅在点处取得最小值，解得，故选A.【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.10.已知，，若则（）A.有最小值-2，最大值2B.有最大值2，无最小值C.有最小值-2，无最大值D.有最大值-2，无最小值【答案】C【解析】画出与的图象，它们交于两点，由“规定”，在两侧，，故；在之间，，故，综上可知，的图象是图中的实线部分，因此有最小值，无最大值，故选C.11.某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由三视图可知，该凸多面体是如图所示的三棱锥，由图可知，三棱锥的三个面中，只有是直角三角形，即直角三角形的个数为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12.若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】化简，可得，令，原式可化为，，由韦达定理可得，，，两式相乘可得，即的值为，故选A.【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，利用换元法，将问题转化为，是解题的关键.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为__________．【答案】0【解析】第一次循环：，满足条件；第二次循环：，满足条件；第三次循环：，满足条件；第四次循环：，满足条件；第五次循环：，满足条件；第六次循环：，满足条件；第七次循环：，满足条件；，可得的值以为周期进行循环，所以最后输出的的值为，故答案为.14.已知的内角的对边分别为，若，，，则的面积为__________．【答案】【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，与，联立解得，，，则的面积，故答案为.15.已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________．【答案】9【解析】的导数为，由切线的方程得切线的斜率为，可得，所以切点的横坐标为，切点为，代入，得为正实数，则，当且仅当时，等号成立，的最小值为，故答案为.【易错点晴】本题主要考查导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16.已知平面上的两个向量和满足，，且，，若向量，且，则的最大值为__________．【答案】【解析】因为，，且，，，，如图，取中点，则，，，由可得，，在以为圆心，为半径的圆上，当，共线时最大，的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）（2）试题解析：（1）由已知得，时，所以，又，∴，则，∴为等比数列，所以（2）由已知得，当为偶数时当为奇数时，则为偶数综上：.18.如图，在三棱柱中，为边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形，，与相交于点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得，根据平面平面，可得平面，∴；（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组，求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得二面角的余弦值.试题解析：（1）已知侧面是菱形，是的中点，∵，∴因为平面平面，且平面，平面平面，∴平面，∴（2）如图，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由已知可得，，，∴，，，，设平面的一个法向量，，由，，得，可得因为平面平面，，∴平面所以平面的一个法向量是∴即二面角的余弦值是.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验.某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2017.82017.92017.102017.112017.122018.1月份代码123456市场占有率111316152021（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的两款车型报废年限各不相同.考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据.如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，.参考公式：相关系数；回归直线方程为，其中，.【答案】（1）见解析（2），23%（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据表格中的数据直接描点，可作出散点图，由表格数据算出，从而可得结果；（2）由，又，∴，从而可得结果；（3）用频率估计概率，利用古典概型概率公式可得到款单车的利润的分布列，从而可求得款单车的利润的数学期望，利用古典概型概率公式可得到款单车的利润的分布列，从而可求得款单车的利润的数学期望，每辆单车产生利润的期望值为决策依据可得结论.试题解析：（1）散点图如图所示，∴∴，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.（2），又，∴，∴回归直线方程为.2018年2月的月份代码，∴，所以估计2018年2月的市场占有率为23%.（3）用频率估计概率，款单车的利润的分布列为∴（元）.款单车的利润的分布列为∴（元）以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择款车型.20.已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.（1）求椭圆的方程和直线的斜率；（2）求面积的最大值.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）将代入，得，可得椭圆方程为，设直线，，，的中点为由得，根据韦达定理及斜率公式可得；（2）由弦长公式及三角形面积公式可得面积，利用导数可求得面积的最大值.试题解析：（1）将代入，得，，，椭圆方程为设直线，，，的中点为由得，，直线经过弦的中点，则，，，（2）当时，由得，，点到直线的距离，面积设，则求得，所以.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用导数研究函数的单调性，从而求得求三角形面积最大值的.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，证明.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论的范围，求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）函数有两个零点分别为，不妨设则，，，原不等式等价于令，只需证明证，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可得结论.试题解析：1）当时，，所以在上单调递减；当时，，得都有，在上单调递减；都有，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在单调递减，在上单调递增.（2）函数有两个零点分别为，不妨设则，要证：只需证：只需证：只需证：只需证：只需证：令，即证设，则，即函数在单调递减则即得请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）曲线分别交直线和曲线于点，求的最大值及相应的值.【答案】（1），（2）时，取得最大值【解析】试题分析：（1）利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将曲线的方程化为一般式，利用公式，，即可得到直线和曲线的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，令，可得，由曲线的极坐标方程