2022届上海市延安中学高三年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022届上海市延安中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知集合，集合，则__．【答案】【分析】结合交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以故答案为：.2．__．【答案】##【分析】分子分母同时除以，根据极限的思想可求得结果.【详解】由题意得，.故答案为：.3．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.【答案】2.【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．函数的定义域为__________________.【答案】【分析】求函数的定义域,可转化为求反函数的值域.设,根据反正弦函数的定义域解关于的不等式,即可得出的定义域.【详解】解:设,反正弦函数的定义域为,解不等式,可得.所以函数的定义域为:.故答案为.【点睛】本题考查反三角函数的定义域的求法,是基本知识的考查,求反三角函数的定义域,可转化为求反函数的值域.5．已知，则__．【答案】【分析】及角的范围即可求解.【详解】因为，所以，所以，又，所以.故答案为:.6．(1+2x)n的二项展开式中，含x3项的系数等于含x项的系数的8倍，则正整数n=________．【答案】5【详解】由二项展开式的通项公式知，含x3项，其系数为，含x项为，其系数为，由题意，解得.7．小王、小杨、小李三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是______【答案】【分析】计算出三人的选法种数以及三人选定的两个休息日相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】小王在每周七天中任选两天，有种选法，同理小杨、小李也有种选法，则三人共有种选法；其中三人选定的两个休息日相同的情况有种，则他们选定的两个休息日相同的概率为．故答案为：.8．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式-1，则实数的取值集合为______.【答案】【分析】根据元素的代数余子式的公式,得到关于的三角关系式,即可求得的取值集合.【详解】行第2列的元素1的代数余子式为,，实数的取值集合为.故答案为:【点睛】本题考查行列式元素代数余子式的计算,以及三角函数中的给值求角问题,属于基础题.9．有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在中，已知，，_______，求角A的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为，试将所缺的条件补充完整．【答案】【分析】＞，因此用正弦定理求解会出现两解的情形，因此考虑用余弦定理，这样应该已知，这样在已知的情况下去求得即可．【详解】由，，得，但若已知去求，有两解，不合题意；再计算，，，，若再已知，可用余弦定理求，再求，这时是唯一解，满足题意．故答案为：．【点睛】本题考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理．在用正弦定理解三角形时要注意可能有两解的情形，而用余弦定理只会出现一解．由于题中只有一解，故应该考虑是先用余弦定理求解，这样条件不是，而应该是．10．已知无穷等比数列的首项为，其前项和为，若且数列满足，则数列的各项和为__．【答案】【分析】根据求出，得到公比，进而求出数列为等比数列，利用无穷等比数列求和公式求出答案.【详解】因为，所以，即，故，因为，所以，又，故数列为等比数列，公比为，故的各项和为.故答案为：11．若关于的方程在内恰有三个实数根，则实数的取值范围是________【答案】【分析】题中有绝对值,故考虑分绝对值中的正负情况进行去绝对值讨论即可.【详解】设,.当时,有;当时有.故.当时，，当且仅当，即时取等号根据对勾函数性质可知故在上单调递减,在上单调递增.又在为减函数,如图.故方程在内恰有三个相异实根则.故答案为：12．函数,当时,恒成立,则的最大值是_____.【答案】【分析】先根据恒成立写出有关a，b的约束条件,再在aob系中画出可行域,由斜率模型可得．又,令t，则1≤t≤4,利用y＝t在[1，4]上单调递增,即可得出结论．【详解】令g（m）＝（3a﹣2）m+b﹣a．由题意当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1可得0≤g（0）≤1,0≤g（1）≤1,∴0≤b﹣a≤1,0≤2a+b﹣2≤1．

即a≤b≤1+a①,2≤2a+b≤3

②．把（a，b）看作点画出可行域,由斜率模型可看作是原点与（a，b）连线的斜率,由图可得当（a，b）取点A时,原点与（a，b）连线的斜率最大,与b﹣a=0重合时原点与（a，b）连线的斜率最小.∴14．又,令t,则1≤t≤4,∵y＝t在[1，4]上单调递增,∴t＝4时,即a,b时,y有最大值是.则的最大值是故答案为：【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查了分式最值问题,考查了线性规划的应用,考查了数学转化思想方法,训练了利用线性规划知识求最值,是中档题．二、单选题13．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．14．给定下列四个命题：①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（

）A．①② B．②③C．③④ D．①③【答案】D【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.【详解】对①，幂函数的图象都过，偶函数的图象关于轴对称，图象不经过点的莫函数一定不是偶函数，故①正确；对②，若平面内的无数条直线互相平行，则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误；对③，若有两个相邻的侧面是矩形，则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线，则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行，则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确；对④，当时,满足数列是递增数列，，，则，不满足数列是递增数列，故④不正确；故选：D.15．已知函数实数，，满足，且满足，若实数是函数的一个零点，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】得到的定义域及单调性，结合，得到或，从而得到或，得到答案.【详解】因为在上是增函数，又，，所以中一项为负的、两项为正的或者三项都是负的，即或．由于实数是函数的一个零点，当时，，当时，，综上，一定成立．故选：C．16．在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，若，，当数列的周期最小时，该数列的前2021项的和为（

）A．673 B．674 C．1346 D．1348【答案】D【分析】依次取，与，根据题意得到关于的等式，从而排除，的可能，推得成立，进而求得数列的周期最小时，每个周期内各项之和，由此得解.【详解】因为，，，所以，因为数列是周期数列，而，当时，可得，则，即，不满足题意；当时，则，即，解得或（舍去），则，，不满足题意；当时，则，即，则或，当时，，即，解得（舍去）；当时，，此时，即；又，即，则或，当时，，此时，即；当时，，即，解得（舍去）；所以且，故，此时，，，，，，，，满足题意；所以数列的周期最小值为，此时；；，所以．故选：D．【点睛】关键点睛：本题的突破口是如何确定数列的周期的最小值，依次取，与进行检验分析，巧妙地利用且推得，从而确定满足题意，由此得解.三、解答题17．如图，四棱锥中，平面，，，，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出向量、，然后利用空间向量法计算出异面直线与所成角的余弦值；（2）计算出平面的一个法向量，平面的一个法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意可知，、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易得，则点、、、.，，.因此，异面直线与所成角的余弦值为；（2）易知点、、、.易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，由，得，解得，令，则，，所以，平面的一个法向量为，，由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角以及二面角，解题的关键就是要建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为向量法来求解，考查计算能力，属于中等题.18．已知函数．(1)若，当时，求的取值范围；(2)若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据对数函数的单调性解对数不等式；(2)根据奇函数的定义结合反函数的求解方法求解.【详解】（1）原不等式可化为，所以，且，且，得．所以的取值范围是.（2）因为是奇函数，所以，得，当时，，，此时，，．当时，，，，此时，，，．．所以．19．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)米.(2)当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.【详解】分析：(1)在中，由正弦定理可得，即可求的周长；(2)利用余弦定理列出关系式，将的值代入并利用基本不等式求出的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值.详解：（1）在中，有正弦定理可得，,的周长为米.（2）在中，有余弦定理得当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.点睛：该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.20．设函数，．(1)解方程：；(2)令，求证：；(3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）结合指数方程求解即可.（2）由，结合即可求解.（3）结合函数的奇偶性和单调性得到对任意的都成立，即对任意的都成立，即可求解.【详解】（1）因为，，，所以，解得，所以．（2）因为，所以．因为，故．（3）由题知因为是实数集上的奇函数，所以，所以，解得，所以，又因为，所以，即解得．所以，在实数集上单调递增．由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，又因为在实数集上单调递增，所以，即对任意的都成立，即对任意的都成立，因为，当且仅当时取等号，所以．21．设数列的前项和为，若，则称是“数列”.（1）若是“数列”，且，，，，求的取值范围；（2）若是等差数列，首项为，公差为，且，判断是否为“数列”；（3）设数列是等比数列，公比为，若数列与都是“数列”，求的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【分析】（1）根据数列的新定义，列出不等式组且，，即可求解；（2）由等差数列，得到，进而得出，再由的单调性，得到，即可得到结论；（3）设等比数列的公比为，分和时，结合数列的新定义，即可作差判定.【详解】（1）由题意，数列满足，称是“数列”，又由，，，，可得且，解得，即的取值范围是.（2）由题意，数列的通项公式为，则，又由，可得数列随着的增大而减小，所以当时，取得最大值，所以，所以数列