2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)-

绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数（） A. B. C. D.2.设常数，集合，，若，则的取值范围为（） A. B. C. D.3.已知函数为奇函数，且当时，，则（） A. B. C. D.4.设向量与垂直，则等于（） A. B. C. D.5.直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A. B. C. D.7.已知命题，则是（） A. B. C. D.8.函数的图像与函数的图像的交点个数为（） A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（） A.样本中的女生数量等于男生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C.样本中的男生偏爱理科 D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点，，若直线上存在点，使得，则称直线为“型直线”．则下列给出的直线中，是“型直线”的有（） A. B.C. D.11.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列判断正确的为（） A.与垂直 B.与垂直 C.与平行 D.与平行12.下列结论中正确的有（） A.命题：”，“的否定是“，” B.若直线上有无数个点不在平面内，则 C.若随机变量服从正态分布，且，则D.等差数列的前项和为，若，则第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.从名学生中选出名参加米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，一共有种安排方法（结果用数字表示）．14.设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与交于，两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于．15.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是． 16.若函数是周期为的奇函数，且在上的解析式为，则．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，．（1）求与；（2）求和：．18.（12分）在中，角的对边分别是，已知．（1）求的值；（2）若，求边的值．19.（12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为"体育迷"． 附：，（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关? 非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的"体育迷"人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．20.（12分）如图，在直棱柱中，，，，，．（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值．21.（12分） 如图，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线交于不同的两点，． （1）若点的纵坐标为，求；（2）若，求圆的半径．22.（12分）已知，函数．（1）求的单调区间；（2）证明：当时，．

参考答案与解析第Ⅰ卷1.A 【解析】．故选A．2.B 【解析】当时，，此时要使得，需满足，所以；当时，，此时要使得，需满足，所以；当时，，此时成立．综上，．故选B．3.D 【解析】．故选D．4.C 【解析】因为，所以，所以，所以．故选C．5.A 【解析】若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线距离，，若，则，．则的面积为，即充分性成立；若的面积为，则．即，即，则，即，解得，则不成立，即必要性不成立．故“”是“的面积为”的充分不必要条件．故选A．6.B 【解析】如图，设球心为，则，．在直角三角形中，球的半径满足因此该球的表面积故选B.7.C 【解析】由于题中给出的命题是全称命题，因此是特称命题，按照“先改量词，再否定结论”的步骤，可知的否定形式为.故选C.8.A 【解析】函数为上的单调递减函数，则有，而若在上为增函数，只需，即即可，因此"函数为上的单调递减函数"是"在上为增函数"的充分但不必要条件．故选A．二、多项选择题.9.BC 【解析】由图知，样本中的女生数量多于男生数量，由图知，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量．故选BC.10.CD 【解析】因为，所以点在椭圆上，由题可知在椭圆中，，，，所以型直线只需和椭圆有交点即可，故A错误，直线在坐标轴上的截距均大于椭圆的短半轴和长半轴长，所以B错误，而直线，与轴的交点在椭圆内或椭圆上，故CD正确．故选CD.11.ABC 【解析】连接，，如图所示，则点是的中点，是的中位线，所以，又，所以．因为，，所以，．又因为与相交，所以与不平行．故选ABC.12.AD 【解析】A显然正确；B中直线可以与平面相交，错误；C中因为，所以，，错误；D中，所以，正确．故选AD.第Ⅱ卷三、填空题.13. 【解析】分甲乙均不入选、甲乙有一人入选和甲乙入选这三种情况．总的安排方法为14. 【解析】容易求得由椭圆的定义可知又因为，则，即得又离心率，结合，得．15. 【解析】连接，首先证明，再证，从而得到，即直线与所成的角是．16. 【解析】因为是以为周期的奇函数，所以，．因为当时，，所以．因为当时，，所以．所以．四、解答题.17.【解析】（1）设的公差为，的公比为，依题意可得解得故（2）等差数列前项和所以18.【解析】（1）已知，所以整理即有所以又为中的角，所以，所以所以（2）因为，所以因为，所以，即，所以，所以，所以19.【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，"体育迷"有人，从而完成列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到"体育迷"的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名"体育迷"的概率为．由题意，从而的分布列为0123所以20.【解析】（1）是直棱柱，，又因为，．又，且，，平面，．（2），直线与平面所成的角即直线与平面所成的角．如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．则设则因为，所以所以设平面的法向量为，则平面的一个法向量，，所以所以与平面所成角的正弦值为．21.【解析】（1）抛物线的准线的方程为由点的纵坐标为，得点