2022届创新设计二轮专题配套练习函数方程及函数的应用

A组(时间：45分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为()．A．0B．1C．2D．解析函数y＝|x－2|与函数y＝lnx的图象如图所示，有两个不同的交点，则函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内有2个零点．答案C2．(2022·广州模拟)函数f(x)＝－eq\f(1,x)＋lgx的零点所在的区间是()．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,10)解析由f(2)＝－eq\f(1,2)＋lg2<0，f(3)＝－eq\f(1,3)＋lg3>0得f(2)·f(3)<0，∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．答案C3．方程sinx＝|lgx|的根的个数是()．A．5B．4C．3D解析函数y＝|lgx|与函数y＝sinx的图象如图所示，由图象可得方程sinx＝|lgx|的根有4个，故选B.答案B4．已知a是函数f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()．A．f(x0)＝0 B．f(x0)<0C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定解析由函数图象可得f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x仅有一个零点a.当x0>a时，f(x0)>0.当0<x0<a时，f(x0)<0.答案B5．(2022·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()．A．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,10))) B．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,10)))C．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10))) D．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10)))解析由题意，可用特殊值法求解，当x＝17时，A选项错误，当x＝16时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10)))＝2，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10)))＝2，所以C、D选项错误，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2022·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.解析∵2<a<3<b<4，当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b<0；当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.答案27．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))的大小关系为________(用“<”号连接)．解析∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x)关于直线x＝2对称．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又f(x)在(0,2)上是增函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).答案feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))8．(2022·泉州模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x＋1，x∈[0，1，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞，))则关于x的方程f(x)＝a(－1<a<1)的所有根之和S＝________(用a表示)．解析当x<0时函数的解析式是f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x∈－1，0，,|x＋3|－1，x∈－∞，－1]，))函数图象如图所示，当－1<a<0时，方程f(x)＝a有五个根，最左边的两根之和为－6，最右边的两根之和为6，中间的一个根是满足logeq\f(1,2)(x＋1)＝a的x，故x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－1；同理，当0<a<1时方程f(x)＝a的所有根之和是满足log2(1－x)＝a的x，即x＝1－2a，当a＝0时所有根之和为0，故所有根之和S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－1，－1<a<0，,1－2a，0≤a<1.))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－1，－1<a<0,1－2a，0≤a<1))三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明：f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明：f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq\f(1,4).(1)证明函数的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝eq\f(1,x)＋2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)证明∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．由(1)知f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点．从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)解由f(2)<0，f(3)>0.∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝eq\f(5,2)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)－1＝lneq\f(5,2)－lne<0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))·f(3)<0，∴x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3)).取x2＝eq\f(11,4)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))＝lneq\f(11,4)－eq\f(1,2)＝lneq\f(11,4)－lneeq\f(1,2)>0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<0.∴x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(11,4))).而eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)－\f(5,2)))＝eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(11,4)))即为符合条件的区间．10．(2022·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x((1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解设包装盒的高为hcm，底面边长为acm，由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15cm时，S(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(30x2－x3)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时V′<0.所以当x＝20cm时，V取得极大值，此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).B组(时间：30分钟满分：35分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是()．A．m<a<b<n B．a<m<n<bC．a<m<b<n D．m<a<n<b解析当x＝a或x＝b时，f(a)＝1，f(b)＝1，又f(m)＝0，f(n)＝0.如图所示，则符合题意的是A.答案A2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝·f，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,9)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,9)))，则a，b，c的大小关系是()．A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．a>c>b解析∵[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，∴函数F(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为单调递减．又y＝f(x)是奇函数，∴y＝xf(x)为偶函数．∴函数F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为单调递增．又>1,0<logπ3<1，log3eq\f(1,9)＝－2，∴c>a>b.答案C3．(2022·江门模拟)函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)ax2＋2bx＋c(a，b，c∈R)在区间(0,1)内取得极大值，在区间(1,2)内取得极小值，则z＝(a＋3)2＋b2的取值范围()．\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))C．(1,2) D．(1,4)解析f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0>0，,f′1<0，,f′2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0，,a＋2b＋1<0，,a＋b＋2>0.))如图所示，则点(－3,0)到直线a＋b＋2＝0的距离为eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2<z<4，∴eq\f(1,2)<z<4.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象，如下图所示，∴a>1.答案(1，＋∞)5．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为________升．解析由题意知甲地到乙地耗油量为φ(x)＝eq\f(100y,x)＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,128000)＋\f(8,x)－\f(3,80)))，∴φ′(x)＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,64000)－\f(8,x2)))，由φ′(x)＝0得：x＝80，也就是当x＝80千米/时时，甲地到乙地的耗油量为φ(x)min＝eq\f(45,4)升．答案eq\f(45,4)三、解答题(本题10分)6．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．解若a＝0，则函数f(x)＝2x－3在区间[－1,1]上没有零点．下面讨论a≠0时的情况：(1)若f(－1)·f(1)≤0，则f(x)必在[－1,1]上有零点．∵f(－1)＝a－5，f(1)＝a－1，∴(a－5)(a－1)≤0⇒1≤a≤5.即1≤a≤5时，函数f(x)在区间[－1,1]上有零点．(2)若f(－1)·f(1)>0，下面分两种情况讨论：①当f(－1)＝a－5>0，f(1)＝a－1>0，即a>5时，抛物线y＝f(x)的对称轴x＝－eq\f(1,2a)必在直线x＝－1和x＝1之间，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＝－eq\f(1,2a)－3－a<0，于是f(－1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))<0，f(1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))<0，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2a)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，1))内各有一个零点．故当a>5时，函数f(x)在区间[－1,1]上有零点．②当f(－1)＝a－5<0，f(1)＝a－1