量子力学考研核心题库

空题于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．(1)自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在x和x+1/3之间的概率是_____.A.025B.033C.011D.067 (2)上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____.A.019B.072C.033D.050【答案】(1)B为 (2)A所求概率即粒子的波粒子的波函数为题为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的1010．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为().厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是()..第4页，共47页为 ()。答题请用泡利矩阵定义电子的请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动，13．【答案】(1)半整数内禀角动量在存在。 (2)空间量子化的事实。 (3)电子自旋磁矩需引入2倍关系。测不准关系物理含义测不准关系物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同时有确定激辐射是处于激发能级的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较低能级同以以。第5页，共47页既不影响体系的量子状态即用任意相因子去乘以波函数，，2121．已知厄米算符.满足且求： (1)在A表象中算符的矩阵表示。 (2)在B表象中算符的本征值和本征函数。 (3)从A表象到B表象的么正变换矩阵S。的本征值是因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所，在A表象中算符的矩阵是：设在A设在A表象中算符由于是厄米算符，所以：第6页，共47页(2)类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为：在B和和所以所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为：- (3)类似地，在A表象中算符的本征值是本征函数为：从A表象到B表象的么正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：2222．考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方本征值为空间部分波函数对称时对应总空间部分波函数反对称时：空间部分波函数对称时利用可知，2323．已知氢原子在t=0时如下处于状态：zt利用归一利用归一化条件：能量的可能取值为相应的取值能量的可能取值为相应的取值几率为：能能量平均值为：自旋自旋z分量的可能取值为相应的取值几率为：f>0时的波函数为：用即即第8页，共47页25．(1)写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学 (2)考虑由2个全同费米子()组成的体系，设可能的单粒子态为试【答案】(1)全同粒子系的波函数：对称性波函数；反对称性波函数。其随时间演 (2)用表示出体系可能的状态如下：2929．设已知在，的共同表象中，算符的矩阵分别为试在取值为的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.可能取得的值有概率为态矢得设为可率为2727．粒子在一维无限深势阱中运动.设该体系受到的微扰作用。 (1)利用微扰理论求第八能级的准至二级的近似表达式.(2)指出所得结果的适用条件.【答案】(1)维无限深方势阱体系的零级近似波函数和零级近似能量第q页，共47页 (2)结果适用的条件是即E本征波函数而也属于正幂次级数，故有定态方程而也属于正幂次级数，故有定态方程I令上方程可化简为C数。第10页，共47页空题因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.础源于题7．对力学量进行测量.要能得到确定结果的条件是()A.体系可以处于任一态B.体系必须处于宏观态第11页，共47页C.力学量必须是守恒量D.体系必须处于的本征态处于力学量对应的本征态.假定角动假定角动量平方算符)10．择为(如果则可能是本征值的选和，率最大的径向坐标位置是(A.B.D.设原子核带正电核为为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出现几第第12页，共47页答题什么区别？。线偏振光选择线偏振光选择定则认为这与什么量子效应有？ (1)碱金属原子能级偶数分裂； (2)光谱线偶数条； (3)分裂能级间距与能级有关； (4)由于电子具有自旋。随，算符对，算符对态，算符对态的作用是得到体算符对态的作用是得到体系取系取不同能量本征值的几率幅(从而就得到了相应几率)，第13页，共47页20．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测 (1)求Q表象中的本征值和本征函数； (2)已知粒子状态为求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.【答案】(1)先算出该算符在Q表象中的矩阵元.设其本证函数为由久期方程解得再代回可得对应本征函数为时时时时对应本征函数为 (2)粒子的力学量可能取值即其本征值.第14页，共47页相应概率为相应概率为且上表达式中均为常数，且试探波函数利用波函数的归一化试探波函数，代入可得基态能量，24．考虑相距2a、带电为e和一e的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m、带电为e见图求在玻恩近似下的散射振幅见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面入射波矢k垂直于偶极子方向，图】式中此即所求表达式. (1)求t时刻的波函数 (2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率.)求演化成所需的最短时间第15页，共47页()求演化成所需的最短时间谐振子定态能量和波函数：任意时刻t为已知t=0，在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t的波函数可以表示为 (2)t (3)设率为是即处于第一激发态的几率得26．分别在表象中，求出的矩阵表示，并求出由表象到表象的变换矩阵。【答案】(1)在表象中应为对角矩阵，对角元为的本征值，由知的本征值为±1，故：ad为实数，可得：第16页，共47页而所以取则：而取则(比较在表象中取 (2)在表象中，方法同上。先令再求得最后求得 (3)下面求由表象到表象的变换矩阵。设其基矢为有：对于本征矢可得对于所有激发态能级，其简并度为二.设对应零级近似波函数为易得到则第17页，共47页有方程再由久期方程得故体系激发态定态能量的一级近似为：写出粒子的自旋算符在表象中的的矩阵形式； (2 (2 ( (2中利用公式则第18页，共47页结合可得\第1b页，共47页量子力学考研核心题库(三)空题理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.图图；5．(1)体系处在用归一化波函数描述的状态.且此波函数可以按力学量A所对应的厄米算 (2)题(1)中设是算符的本征值，则力学量A的平均值_____。 (3)题(1)中当对体系进行力学量A测量时，测量结果一般来说是不确定的.但测量得到某一结果)以并积分得考虑到正交归一化条件有 (2)【解析】由平均值定义式以及正交归一化条件有 (3)为确定【解析】由题意在上式两边乘以并积分得的考虑到正交归一化的考虑到正交归一化条件有而概率应该为为定值.A题 势阱范围为则体系的基态能量是()。第21页，共47页粒子质量为答题【答案】波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。14．则对任意波函数有：为题意因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。，并【答案】(1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。第22页，共47页波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 (2)力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的 (3)将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：则在则在盔中测量力学量得到结果为的几率是得到结果在范围内的几率是 (4)体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。如金属电子冷发射和衰变现如金属电子冷发射和衰变现代表(自旋向上)的状态波函数代表(自旋向下)的状态波函代表自旋向上的概率数，，，， (1)给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢(谐振子波函数以表示)。 (2)它们的简并度分别是多少？))态第23页，共47态第一激发第一激发态 (2)基态二重简并，第一激发态四重简并。 (1)在表象中求的归一化本征函数.(2)若为某一方向余弦，义. (3)对于两个电子组成的体系，若用分别表示单电子自旋平方和自旋z分量的共同本征态，证明态矢量是体系总自旋平方的本征态.，【答案】(1)在表象中，由和由的本征方程很容易求得的本征值与本征矢： (2)第24页，共47页，，故向的投影只能取两个值： (3)在耦合角动量表象中，总自旋的共同本征态则题中故是的本征态.24．质量为m的粒子处于角频率为的一维谐振子势中. (a)写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数(可不归一化).(b)写出在动量表象中的 (c)证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为.【答案】(a)在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数 (b)在动量表象中坐标算符可表示为则一维谐振子的势能为则哈密顿算符为 (c)在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为25．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场中(为x轴的单 (1)若虬同本征矢为基，求自旋算符S的矩阵表示.第25页，共47页(2)如果初始时刻t=0粒子的态为求在t＞0后粒子的态？ (3)发现粒子处在态的概率是多少?【答案】(1)由于故由于哈密顿量为则能量本征态对应于本征态. (2)由定态方程解得而故而故t＞0后粒子的态为 (3)由于故所求概率为p第26页，共47页换为对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以记27．对于一个限制在边长为L的立方体中的自旋为1/2、质量为m的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.SS为自旋波函数.可分离变量得终解得代表例子自旋朝上和朝下两种状态.粒子能量产生影响，故粒子粒子能量基态对应对应波函数为例子第一激发态能量对应波函数有：第第27页，共47页第二激发态能量对应波函数有：又在边界处应该满足又在边界处应该满足连续条件故故对应能量为第28页，共47页量子力学考研核心题库(四)空题题量，则电子的较高一级能态的能量是多少？()I由题意较高级能量与基态能量比值由题意较高级能量与基态能量比值，基态能量为则第一激发态能量为，是()A.B.D._11．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？()A.1B.D.有_____。答题第第30页，共47页15．现有三种能级请分别指出他们对应的是哪些系统。作进一步讨论。量的对易关系.1q．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。这种 (1)计算并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合(要求给出组合系数)。 (2)计算的本征态⑴第第31页，共47页 (2)设的本征值为，本征矢为则:：：与对应的本征矢为： (3)利用矩阵直积的知识，可将表示为：与态与态只相差倍。得证到的任意， (1)求很长时间后电子跃迁到激发态的概率.态， (2)基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零?简述理由.第第32页，共47页【答案】(1)根据跃迁几率公式必须必须先求得，根据题意知p氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为终态量子数必须是根据选终态量子数必须是记由初态到末态的跃迁矩阵元为将代入跃迁几率公式 (2)基态电子跃迁到的几率均为0,因为不符合跃迁的选择定则23．—体系未受微扰作用时只有三个能级23．—体系未受微扰作用时只有三个能级，c求能量至二分别为一级和二级修正能量.n=1时，将m=2,3代入II式得第第33页，共47页n=2时，将m=l,3代入II式可得n=3时，将m=l,2代入II式可得24．—哈密顿算符其中，，象且且 (1)不考虑空间运动，由确定自旋运动定态能量.与定态波函数已知时，求任意时刻f的波函数并求和的几率。 (2)同时考虑空间运动和自旋运动，已知时波函数为量与自旋的平均值：【答案】(1)本征方程为若设即需解方程有非零解，则必有可得任意时刻，第34页，共47页因为时刻，故：： (2)容易证明， (2)容易证明，，故：故一个电子的哈密顿为其中，，25．设在平行于y一个电子的哈密顿为其中，，：第35页，共47页y不妨取)在表象中，设自旋波函数为则能量本征方程为：在表象中，久期方程为： 并结合归一化条件可得 当时，可得自旋波函数为：27．设t=0时刻氢原子处于状态，其中是氢原子哈密顿算符的正交归一化本征波函数.求：(1)t=0时刻，体系能量的平均值. (2)t=0时刻，体系角动量平方的平均值. (3)t=0时刻，体系角动量x分量的平均值.(4)时刻，体系所处的状态【答案】(1)由题意可知n=2，3故t=0时，体系能量平均值为第36页，共47页则 (2)由题意知1=1，2则 ( (3故t=0时平均值为 (4)时刻体系所处的状态为28．粒子的一维运动满足薛定愕方程： 方程的两个解，证明与时间无关. (2)若势能V不显含时间t，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解取式(取式(1)之复共轭，第37页，共47页得得对全空间积分：即即所以与时间无关.(2)设代入薛定谔方程，分离变量后Et依赖r的常数.这样，得，以，通解可以表示为，是满足不含时的薛是满足不含时的薛定谔方程第以8页，共47页量子力学考研核心题库(五)空题；厄米；本征值合事实.阱改为势垒则的跃变条件为_____。题体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展述的态中.则在t时刻.对物理量A测量时所得的平均值A.t为()。值定义为分别为物理量本征值及取值概率，而考虑到正交归一化条件和力学量算符的厄米性，于是10．下面哪组是泡利矩阵().A.B.D.为11．—维问题中的哈密顿量为哈密顿与坐标的对易式()。第40页，共47页12．(1)考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝(缝宽为电子的德布罗意波长数量级)，观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处.如果电子枪向上移动(沿yy方向)距离d,则干涉图样()。A.向上移动距离dB.向下移动距离dC.向上移动距离d/2D.向下移动距离d/2 (2)题(1)中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则().A.干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B上移动 (3)题(1)中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离().A.加倍 (4)题(1)中，如果每个缝宽度加倍.则干涉图样中相邻最大值之间距离().A.加倍 (5)题(1)中，如果只有一个缝的宽度加倍(原来两缝宽度相同)，则().A.干涉图样消失B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变第41页，共47页D.干涉图样的最大强度与最小强度之差减小 (6)题(1)中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电子是否通过该狭缝，则().A.干涉图样向装探测器的狭缝移动B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变【答案】(1)Ba左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次ab移.再考虑到狭缝动距离d.(2)A，，子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失.(3)C条纹间距变为原来的二分之一.(4)D无关，即条纹间距不变.(5)D因而最小强度无法变为0,最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小.(6)C通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量不确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条第42页，共47页件之一就是参与干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失.答题。总自旋为114．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。本征值 近似能量为.不依赖于任何变量.子发出的每条光谱线都分裂为条(偶数)的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发及】表示电子自旋向下位置在处的几率密度；第43页，共47页表示电子自旋向上的几率。|处的几率|处的几率t电子处在的本征态上，求t＞0时测量的可能取值及相应的几率。任意t时的态矢为：取值为对应几率为其哈密顿量为试 (1)给出系统的力学量完全集； (2)求解能级； (3)给出每一个能级的简并度.可令约化普朗克常数第44页，共47页为书写简单计，可令约化普朗克常数时时时时其中故系统的力学量完全集为为为能级简并度将仅由可取值个数确定，可取值的个数为2,故简并度为