工程力学课件-7.2

第七章梁的弯曲内力7.1梁弯曲的基本概念7.2梁弯曲的内力7.3梁的平衡微分方程和积分方程7.4连续曲线法求梁的内力图第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念q弯曲变形—杆件受到垂直于杆的轴线的外力,即横向力,或受到位于杆轴平面内的外力偶矩作用时，杆的轴线由直线弯成曲线（或梁轴线的曲率产生改变）的变形。梁—以弯曲变形为主要变形的杆件。第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念受力图第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念受力图结构图PaAB阳台梁栏杆PqAB第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：对称轴对称轴对称轴对称轴第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念轴线纵向对称面Fq弯曲后梁的轴线（挠曲线）截面对称轴M平面弯曲—梁的挠曲线与载荷作用面共面的弯曲变形。平面弯曲的充分条件—梁截面有对称轴及载荷作用在对称面内。第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念梁的支座形式与计算简图第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念静不定梁—支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。

（e）固支梁（f）多跨梁第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念梁的纯弯曲和中性轴横力弯曲或剪切弯曲—梁横截面上既有弯矩又有剪力。纯弯曲—梁横截面上只存在弯矩一种内力。中性层—受拉区与受压区的交界面为梁的中性层。中性轴—中性层与梁横截面的交线为梁的中性轴。第六章圆轴的扭转7.1梁弯曲的基本概念梁上荷载及其符号组合载荷第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力平面弯曲Cxyz截面对称面的法线截面对称轴梁平面弯曲时的内力：沿截面对称轴方向的剪力

FQ=Q=Fxy

(x-y平面）绕纵向对称面的法线的弯矩

M

=Mxz第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法——

截面法q

已知梁所受的载荷，如何确定梁任意横截面上的内力？Cxyz平面弯曲第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力

设有一简支梁AB，梁上一点受集中力F

作用。现分析距A端为x

处的横截面m-m

上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力2、截取m-m

截面左段剪力

—使截面不产生移动弯矩M—使截面不产生转动得到：ALBFab第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力得到：如截取m-m截面右段梁:由作用力与反作用力的关系得第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力梁的内力正负号规则根据变形约定内力的正负：

同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。剪力：

梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪力为正，反之则为负。概括为“左(向)上或右(向)下，剪力为正”。第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力弯矩M：使梁弯曲呈向上凹形的弯矩为正，反之则为负。受压侧受拉侧或记为：

梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺右逆，弯矩为正”。内力正负号规则：梁下侧受拉为正第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力

“Happy”Beamis

“Sad”Beamis

+，正弯矩和正剪力内力正负号规则：MM对弯矩符号可根据弯曲的形状来记忆：第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力梁上的分布载荷第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力例4-1：

一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力2、求C截面（跨中截面）上的内力得到：（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）得到：（弯矩Mc

的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力如取右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力解：1、根据平衡条件求支座反力例4-2：一外伸梁受力如图所示。试求C截面、截面和截面上的内力。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力2、求指定横截面上的剪力和弯矩C

截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF截面：与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力

在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x

的函数，即称为剪力方程和弯矩方程AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力弯矩和剪力的变化规律：

在载荷无突变的一段杆的各截面上，内力按相同的规律变化。第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF◆因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。

控制截面的概念：外力规律发生变化的截面—如集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点所位于的横截面.第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力剪力图和弯矩图——用图示的方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的曲线。注意：在内力图中必须标明绝对值最大的内力值2)在内力图中必须标明控制截面上的内力值第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力例4-3:悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。取参考坐标系xAy。解：1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段:第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力BC段:2、作梁的剪力图和弯矩图3、求和（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x

可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x

的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中偶作用处，M(x)

应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、若所得方程为x

的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸方向及其极值。第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力例4-4：

外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaC解：1、取参考坐标系xCy。根据平衡条件求支座反力第六章圆轴的扭转7.2梁弯曲的内力2、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段:AB段:yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)求弯矩的极值-

确定剪力为零的位置

xyABqF=qaCa2ax-qa(-)(-)(+)(-)E(+)x注意：在内力图中必须标明绝对值最大的内力值及相应位置；2)在内力图中必须标明控制截面上的内力值。在A点在A点第六章圆轴的扭转7.3梁的平衡微分方程和积分方程考察受任意载荷作用的梁。规定向上的分布载荷q(x)

为正。建立xoy坐标系。研究梁的微分段的平衡。q(x)o取一长度为dx的微分段，及考察此微段的受力与平衡q(x)xydx

x由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度

q。微分段的平衡剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的分布载荷集度

q。yABqF=qaCa2ax-qa(-)(-)(+)(-)E(+)略去二阶微量

，得：

由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力。微分段的平衡弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力

FQ

。yABqF=qaCa2ax-qa(-)(-)(+)(-)E(+)由此式知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁上相应点处的分布载荷集度q

的符号决定。弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系梁内力分量间的微分关系

荷载剪力方程弯矩方程剪力图弯矩图常数线性二次曲线

线性突变无变化突变拐折取极值常数集中力集中力偶0=QF例4-5

一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：1、根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m校核无误。由0，=åyFAB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的形状。载荷CADBAD斜直线斜直线AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作-图。4、作M-图。CA段：(-)AD段：-3KN4.2KN-3.8KN(