机电传动控制第三章免费

机电传动控制第三章免费第一页，共七十一页，2022年，8月28日3-1时间响应

3-2一阶系统的时间响应3-3二阶系统的时间响应3-4瞬态响应的性能指标

3-5系统的误差分析与计算第三章系统的时间响应分析第二页，共七十一页，2022年，8月28日系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。

它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。3-1时间响应时间响应的概念第三页，共七十一页，2022年，8月28日

按振动性质分为：自由响应与强迫响应自由响应：频率为固有频率ωn强迫响应：频率为激振频率ω按振动来源分为：零输入响应与零状态响应零输入响应：与y（0）零输入有关零状态响应：与输入、零状态有关时间响应的组成第四页，共七十一页，2022年，8月28日系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。它反映系统的快速性和稳定性瞬态响应时间趋于无穷大时，系统的输出状态。它反映了系统的准确性。稳态响应对稳定系统第五页，共七十一页，2022年，8月28日典型输入信号实际中经常使用的有两类信号。其一：系统正常工作时的输入信号。这类信号既简便又不会因外加干扰而破坏系统的正常运转，然而，它并不能保证获得对系统动态性能的全面了解。其二：外加测试信号。这是更常用的一类输入信号。其中，单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和一些随机函数在实验中经常用到。第六页，共七十一页，2022年，8月28日(1)单位脉冲函数δ(t)lim=∞,0≤t≤ε 0 其它L[δ(t)]=1(2)单位阶跃函数u(t)u(t)=1 ,t≥0L[u(t)]=1ε

ε0δ(t)=1stoxi(t)1otxi(t)h1h典型输入信号及其拉氏变换第七页，共七十一页，2022年，8月28日(3)单位斜坡函数r(t)r(t)=t ,t≥0 L[r(t)]=(4)单位抛物线信号xi(t)=t2/2,t≥0 L[t2/2]= (5)正弦函数AsinωtL[Asinωt]=As211s3ωS2+ω2toxi(t)toxi(t)toxi(t)典型输入信号及其拉氏变换第八页，共七十一页，2022年，8月28日其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。第三章线性系统的时域分析3-2一阶系统的时间响应1、一阶系统的数学模型第九页，共七十一页，2022年，8月28日当初始条件为零时，其传递函数为

T-时间常数

第三章线性系统的时分析第十页，共七十一页，2022年，8月28日1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)2、一阶系统的单位阶跃响应对上式取拉氏反变换，得

T第十一页，共七十一页，2022年，8月28日一阶系统单位阶跃响应的特点第三章线性系统的时域分析xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo(∞)=1，无稳态误差。当t=0时，初始斜率为时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T越小，C(t)响应越快，达到稳态用的时间越短，即系统的惯性越小。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T～4T。1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)第十二页，共七十一页，2022年，8月28日第三章线性系统的时域分析

当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即3、一阶系统的脉冲响应第十三页，共七十一页，2022年，8月28日一阶系统单位脉冲响应的特点xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号都如此。当t=0时，初始斜率为第十四页，共七十一页，2022年，8月28日即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变系统及非线性系统。

第三章线性系统的时域分析规律t第十五页，共七十一页，2022年，8月28日

凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。3-3二阶系统的时间响应1、二阶系统的数学模型第十六页，共七十一页，2022年，8月28日

二阶系统的传递函数的标准形式为：其中，T—为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。－自然频率（或无阻尼固有频率）

－阻尼比（相对阻尼系数）

二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示

第三章线性系统的时域分析第十七页，共七十一页，2022年，8月28日二阶系统的特征方程：

特征根为：

第三章线性系统的时域分析2、二阶系统的单位阶跃响应第十八页，共七十一页，2022年，8月28日下面分四种情况进行说明：

(1)欠阻尼

令

－衰减系数

－阻尼振荡角频率，得

（两特征根为共轭复根，左半平面）第十九页，共七十一页，2022年，8月28日

h(t)

第三章线性系统的时域分析第二十页，共七十一页，2022年，8月28日欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点:瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定。振荡幅值随ξ减小而加大。第二十一页，共七十一页，2022年，8月28日(2)临界阻尼

第三章线性系统的时域分析临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应特点※单调上升，无振荡、无超调※xo(∞)=1，无稳态误差。（两特征根为两个相等的负实根，负实轴）第二十二页，共七十一页，2022年，8月28日(3)过阻尼

第三章线性系统的时域分析（两特征根为两个不等的负实根，负实轴）第二十三页，共七十一页，2022年，8月28日第三章线性系统的时域分析特点※单调上升，无振荡，过渡过程时间长※xo(∞)=1，无稳态误差。第二十四页，共七十一页，2022年，8月28日(4)无阻尼（ξ=0）状态

系统有一对共轭虚根

系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：（两特征根为共轭纯虚根，虚轴）第二十五页，共七十一页，2022年，8月28日第三章线性系统的时域分析3、二阶系统的单位脉冲响应第二十六页，共七十一页，2022年，8月28日欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且ξ越小，衰减越慢，振荡频率ωd越大。故二阶欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其衰减的快慢取决于

ξωn（1/ξωn称为时间衰减常数）。第二十七页，共七十一页，2022年，8月28日结论二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ξ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定ξ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长0<ξ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快ξ=0时，出现等幅振荡第三章线性系统的时域分析第二十八页，共七十一页，2022年，8月28日3-4二阶系统响应的性能指标

假设前提

1）二阶欠阻尼系统在单位阶跃信号作用下的响应来定义2）初始条件为0，即在单位阶跃输入作用前，系统处于静止状态。第二十九页，共七十一页，2022年，8月28日为了说明欠阻尼系统的单位阶跃响应的过渡过程的特性，采用下列性能指标

(1)上升时间tr

(2)峰值时间tp

(3)最大超调量Mp (4)调整时间ts

(5)振荡次数Ntrtpts10MptXo(t)允许误差第三十页，共七十一页，2022年，8月28日表示性能指标的单位阶跃响应曲线

第三十一页，共七十一页，2022年，8月28日延迟时间td：单位阶跃响应h(t)达到其稳态值的50%所需的时间。上升时间tr：响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。峰值时间tp：响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：调整时间ts：响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的

±2%或±5%）内所需的时间。td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。Mp用来评定系统的相对平稳性。第三章线性系统的时域分析第三十二页，共七十一页，2022年，8月28日结论二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。通常根据允许的最大超调量来确定ξ。一般选择在0.4～0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp，但系统快速性降低，tr、tp增加。

当ξ=0.7时，系统的Mp、ts均小，故称其为最佳阻尼比。第三章线性系统的时域分析第三十三页，共七十一页，2022年，8月28日二阶系统计算举例例1设系统的方框图如图所示，其中ξ=0.6，ωn=5s-1。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性能指标tp，Mp和ts。 解：(1)求tp

wd=wn√1-ξ2

=4s-1 故由式(3.4.15)，得

tp=π/wd=0.785s (2) 求Mp 由式(3.4.17)，得

Mp=e-ξπ/√1-ξ2×100％

=9.5％

(3) 求ts 由式(3.4.22)和(3.4.23)的近似式，得

ts=4/(ξwn)=1.33s (取△=0.02) ts=3/(ξwn)=1s (取△=0.05)Xi(s)Xo(s)+E(s)Wn2S(s+2ξwn)第三十四页，共七十一页，2022年，8月28日例2 如图所示的机械系统，在质量块m上施加xi(t)=8.9N阶跃力后，m的时间响应xo(t)如图所示，试求系统的m,k和c值。 解：由图3.4.6(a)可知，xi(t)是阶跃力输入，xi(t)=8.9N，xo(t)是输出位移。有图可知系统的稳态输出①xo(∞)=0.03m，②xo(tp)-xo(∞)=0.0029m③tp为2s，此系统的传递函数显然为：

G(s)=Xo(s)/Xi(s)=ms2+cs+k

式中，Xi(s)= Nmkcxi(t)xo(t)xi(t)/m0.0301234t/s0.002918.9S第三十五页，共七十一页，2022年，8月28日

(1)求k 由Lplace变换的终值定理可知：

xo(∞)=limxo(t)=lims·Xo(s)

·ms2+cs+k·(8.9/s)N=(8.9/k)N

而xo(∞)=0.03m,因此k=297N/m。

(2)求m 由式（3.4.16)得

=9.6％ 又由式(3.4.17)求得ξ=0.6。 将tp=2s,ξ=0.6代入tp=π/wd中,得wn=1.96s-1。 再由k/m=wn2求得m=77.3kg。

(3)求c 由2ξwn=c/m，求得c=181.8N·s/m1=lims第三十六页，共七十一页，2022年，8月28日实际上，大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。这种用高阶微分方程描述的系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。这就要求在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化。因此，本节将利用关于二阶系统的一些结论对高阶系统作定性分析，并在此基础上，阐明将高阶系统简化为二阶系统来做出定量估算的可能性。高阶系统传递函数的普遍形式可表示为：高阶系统第三十七页，共七十一页，2022年，8月28日系统的特征方程式为还可以表示为：第三十八页，共七十一页，2022年，8月28日高阶系统的响应可以看作是多个一阶环节和二阶环节的叠加。了解系统的零极点分布就可以对系统的性能进行分析：1.闭环极点都在平面的作半部，系统稳定。各个环节分量衰减的快慢取决于极点里虚轴的距离。离虚轴越远，衰减越快。2.衰减项的幅值既与极点有关还与零点有关。零点对系统的影响反在在此。零点与极点很靠近时，对应项的幅值很小，这对零极点对系统过渡过程影响很小。3.主导极点：离虚轴最近的极点，其实部小于其他极点实部的1/5，且附近不存在零点。系统的响应主要由这一极点决定。利用此可以把高阶系统化为低阶系统。第三十九页，共七十一页，2022年，8月28日“准确”是对控制系统提出的一个重要性能要求，对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确的达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。当存在随机干扰作用时，可能带来随机误差；当元件的性能不完善、变质或者存在诸如干摩擦、间隙、死区等非线性时，也可能带来误差。3-5系统的误差分析1、误差及稳态误差的概念第四十页，共七十一页，2022年，8月28日但是这些不是本节所要研究的内容。本节讨论的是系统在没有随机干扰作用，元件也是理想的线性元件的情况下，系统仍然可能存在的误差。第四十一页，共七十一页，2022年，8月28日系统的误差e(t）与偏差ε(t)系统的误差是以系统输出端为基准来定义的，设xor(t)是控制系统所希望的输出，xo(t)式其实际输出，则误差e(t)定义为e(t)=xor(t)-xo(t)Lplace变换记为E1(s)

E1(s)=Xor(s)-Xo(s) (3.6.1)

Xi(s)Xo(s)+E(s)G(s)H(s)1H(s)+E1(s)Xor(s)第四十二页，共七十一页，2022年，8月28日系统的偏差则是以系统输入端为基准来定义的，记为ε(t)。

ε(t)=xi(t)-b(t) Lplace变换记为E(s)为E(s)=Xi(s)－B(s)=Xi(s)－H(s)Xo(s) (3.6.2)式中H(s)为反馈回路的传递函数。Xi(s)Xo(s)+E(s)G(s)H(s)1H(s)+E1(s)Xor(s)第四十三页，共七十一页，2022年，8月28日

现求E(s)与E1(s)的关系。 如前所述，一个闭环的控制系统之所以能对输出Xo(s)起自动控制作用，就在于运用偏差E(s)进行控制，即，当Xo(s)≠Xor(s)时，由于E(s)≠0，E(s)就起控制作用，力图将Xo(s)调节到Xor(s)值；反之，当Xo(s)=Xor(s)时，应有E(s)=0，而使E(s)不再对Xo(s)进行调节。因此Xo(s)=Xor(s)时，

E(s)=Xi(s)－H(s)Xo(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)=0

所以，Xi(s)=H(s)Xor(s)或 Xor(s)=H(s)Xi(s) (3.6.3)由式(3.6.1)、(3.6.2)可求的在一般情况下系统的误差与偏差间的关系为E(s)=H(s)E1(s)

或 E1(s)=H(s)E

(s) (3.6.4)11第四十四页，共七十一页，2022年，8月28日

由上可知，求出偏差E(s)后即可求出误差，对单位反馈系统来说，H(s)=1，故偏差ε(t)与误差e(t）相同。如图Xi(s)Xo(s)+E(s)G(s)H(s)1H(s)+E1(s)Xor(s)第三章线性系统的时域分析第四十五页，共七十一页，2022年，8月28日1）误差：

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

2）稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t→∞）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：误差及稳态误差的计算第四十六页，共七十一页，2022年，8月28日从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。

第四十七页，共七十一页，2022年，8月28日系统的开环传递函数可写成下面的形式：2、系统的型别第四十八页，共七十一页，2022年，8月28日第三章线性系统的时域分析可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：第四十九页，共七十一页，2022年，8月28日1）静态位置误差系数Kp

按输入信号的不同来定义各种静态误差系数，并求相应的稳态误差。

当输入为单位阶跃时的稳态误差，称为位置误差3、静态误差系数与稳态误差第五十页，共七十一页，2022年，8月28日2）静态速度误差系数Kv

当输入为单位斜坡时的稳态误差，称为速度误差。称为静态速度误差系数。

第三章线性系统的时域分析1第五十一页，共七十一页，2022年，8月28日3）静态加速度误差系数Ka当输入为单位加速度时的稳态误差，称为加速度误差。称为静态加速度误差系数。第三章系统的时间响应分析第五十二页，共七十一页，2022年，8月28日第三章线性系统的时域分析第五十三页，共七十一页，2022年，8月28日结论不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有意义。第五十四页，共七十一页，2022年，8月28日根据上面的讨论，可归纳如下几点：（1）关于以上定义的无偏系数的物理意义： 稳态偏差与输入信号的形式有关，在随动系统中一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。又输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”无偏系数，（如输入阶跃信号而引起的无偏系数称位置无偏系数，它表示了稳态的精度。“某种”无偏系数越大，精度越高；当无偏系数为零时即稳态偏差为∞，表示不能跟随输出；无偏系数为∞则稳态无差。第五十五页，共七十一页，2022年，8月28日（2）当增加系统的型别时，系统的准确度将提高，然而当系统采用增加开环传递函数中积分环节的数目的办法来增高系统的型别时，系统的稳定性将变差，因为系统开环传递函数中包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是比较困难的，因此Ⅲ型或更高型的系统实现起来是不容易的，实际上也是极少采用的。增大K也可以有效地提高系统的准确度，然而也会使系统的稳定性变差，因此，稳定与准确是有矛盾的，需要统筹兼顾。第五十六页，共七十一页，2022年，8月28日（3）根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号是上述典型信号的线性组合时，即xi（t）=a0+a1t+a2t2/2，输出量的稳态误差应是它们分别作用时稳态误差之和。（4）对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，可由式（）将稳态偏差换算为稳态误差。必须注意，不能将系统化为单位反馈系统，再由计算偏差得到误差，因为两者计算出的偏差和误差是不同的，这点读者可自行思考与证明。第五十七页，共七十一页，2022年，8月28日4、扰动作用下的稳态误差（R(s)=0)第三章线性系统的时域分析由图可知，系统的偏差为

E(s)=R(s)－B(s)=－B(s)=－H(s)Xo(s)

从概念上讲，有干扰引起的输出都是误差。第五十八页，共七十一页，2022年，8月28日

G2(s)1+G1(s)G2(s)H(s)

G2(s)H(s)N(s)1+G1(s)G2(s)H(s)在干扰作用下

Xo(s)= ·N(s)

E(s)=－H(s)Xo(s)=－

干扰引起的稳态偏差为

εss=limsE(s)=lim[s ]

G2(s)H(s)N(s)1+G1(s)G2(s)H(s)第五十九页，共七十一页，2022年，8月28日所以，扰动引起的稳态偏差：

由扰动引起的输出为：即系统误差：

稳态误差：

第三章线性系统的时域分析第六十页，共七十一页，2022年，8月28日系统误差：第六十一页，共七十一页，2022年，8月28日本章小结时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过