棱柱棱锥问题

棱柱棱锥问题第一页，共七十二页，2022年，8月28日平行问题垂直问题角度问题距离问题柱锥问题体积面积问题多面体与球的问题生活问题和翻折问题综合问题第二页，共七十二页，2022年，8月28日空间几何体的结构特征第三页，共七十二页，2022年，8月28日定义：由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。第四页，共七十二页，2022年，8月28日定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称为旋转体。第五页，共七十二页，2022年，8月28日上面提到的物体的几何结构特征大致有以下几类：棱柱棱锥圆柱圆锥棱台圆台球多面体旋转体第六页，共七十二页，2022年，8月28日棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的公共边都平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱。侧棱底面顶点侧面（1）底面是全等的多边形1、棱柱的结构特征DABCEFF′A′E′D′B′C′（2）侧面都是平行四边形．（3）侧棱平行且相等．特点：高底面侧面棱第七页，共七十二页，2022年，8月28日DABCEFF′A′E′D′B′C′思考：倾斜后的几何体还是棱柱吗？斜棱柱第八页，共七十二页，2022年，8月28日复习：知识网络棱柱(分类)棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱第九页，共七十二页，2022年，8月28日棱柱的分类棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……1.侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。3.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。第十页，共七十二页，2022年，8月28日棱柱的表示法(下图)用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1。第十一页，共七十二页，2022年，8月28日四棱柱四棱柱直四棱柱侧棱垂直底面平行六面体底面是平行四边形长方体正四棱柱正方体侧面垂直底面l2=a2+b2+c2第十二页，共七十二页，2022年，8月28日SABCD顶点侧面侧棱底面

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体叫棱锥．2、棱锥的结构特征棱锥（1）底面是多边形（2）侧面都是三角形．（3）侧棱相交于一点．高O第十三页，共七十二页，2022年，8月28日棱锥的分类三棱锥四棱锥五棱锥（四面体）第十四页，共七十二页，2022年，8月28日正棱锥

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.OSABCDE正棱锥的基本性质

各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如五棱锥S-ABCDE。斜高第十五页，共七十二页，2022年，8月28日棱锥棱锥正四棱锥正三棱锥正四面体体积V＝Sh/3顶点在底面正多边形的射影是底面的中心第十六页，共七十二页，2022年，8月28日3、棱台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台.棱台（1）底面是相似的多边形（2）侧面都是梯形．（3）侧棱延长线交于一点．BCADSB1A1C1D1DBCAC1

B1A1D1上底面下底面侧面顶点侧棱底面侧面棱第十七页，共七十二页，2022年，8月28日由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如下图，棱台ABCD-Ａ1B1C1D1。DBCAC1

B1A1D1第十八页，共七十二页，2022年，8月28日斜高用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。正棱台正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高。正棱锥正四棱台第十九页，共七十二页，2022年，8月28日AA′OO′4、圆柱的结构特征如何描述下图的几何结构特征？第二十页，共七十二页，2022年，8月28日AA′OO′

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱圆柱的结构特征旋转轴底面侧面母线（1）底面是平行且半径相等的圆（2）侧面展开图是矩形（3）母线平行且相等．（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆（5）轴截面是矩形．第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5、圆锥的结构特征圆锥（1）底面是圆（2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形（3）母线相交于顶点（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆（5）轴截面是等腰三角形．顶点AB底面轴侧面母线SO用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日6、圆台的结构特征

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台.圆台OO’圆柱、圆锥可以看作是由矩形或三角形绕其一边旋转而成，圆台是否也可看成是某图形绕轴旋转而成？第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日锥体柱体台体柱、锥、台体的关系棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？上底扩大上底缩小上底缩小上底扩大第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日7、球的结构特征球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。球心半径直径O第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?O用一个截面去截一个球，截面是圆面。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日几何体的分类柱体锥体台体球多面体旋转体第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日

日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？8、简单组合体由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．圆柱圆台圆柱第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日空间几何体的直观图第三十页，共七十二页，2022年，8月28日例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图1.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的轴，两轴相交于点，使注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性(2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日，在轴上取(2)以为中心，在上取以点为中心，画轴，并等于，再以为中心，画轴，并等于注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原来的一半．第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日并擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图(3)连接~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日例2．用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图2.用斜二测画法画空间几何体的直观图联想水平放置的平面图形的画法，并注意到高的处理第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日41.5第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图······正视图侧视图俯视图练习P20)4,5第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日HPCBDAO棱锥基本性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比C`B`D`A`第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日棱锥基本性质棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形PCBDAHERt⊿PEHRt⊿PHBRt⊿PEBRt⊿BEH第四十页，共七十二页，2022年，8月28日正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥2、棱锥的高可以等于它的一条侧棱长3、棱锥的高一定在棱锥的内部4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥判断正误第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置1、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日1.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()(A)至多只有一个是直角三角形(B)至多只有两个是直角三角形(C)可能都是直角三角形(D)必然都是非直角三角形C基础题例题第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日2.命题：①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有的侧棱的长都相等的棱锥，一定是正棱锥；③各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥，一定是正棱锥；④底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长都相等；⑤一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑥一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的有()(A)0个(B)1个(C)3个(D)5个C基础题例题第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日基础题例题2.正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=√2BB1，则AB1与C1B所成角的大小是（）A.60oB.90oC.105oD.75oB第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日3.长方体三边之和为a+b+c=6，总面积为11，则

其对角线长为__；若一条对角线与二个面所成的

角为30°或45°，则与另一个面所成的角为

___；若一条对角线与各条棱所成的角为α、

β、γ，则sinα、sinβ、sinγ的关系为_____

___________________________.sin2α+sin2β+sin2γ=2基础题例题530°第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日HOC`B`D`A`PCBDA设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？S中=2第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面,它将棱锥的侧面分为三部分面积之比(自上而下)为

。第五十页，共七十二页，2022年，8月28日过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是(自上而下）

。第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？PABCDO第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？PABCDOE第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？PABDCOEF第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日正三棱锥的底面边长为a.侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，求此截面面积？PABCOEF第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日已知:三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?DPABCO第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？PABC第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面上，若棱锥底面边长为a,高为h，求内接正方体的棱长？ABDCOPHEF设内接正方体的棱长为x第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积？PABC第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日能力·思维·方法4.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1,(1)求D到平面PBC的距离；(2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。APDCB解:(1)∵AD//平面PBC∴D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离∵PA⊥BC,AB⊥BC∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB∴A到PB的距离就是A到平面PBC的距离∵PA=AB=2,PA⊥AB,∴A到PB的距离为∴D到平面PBC的距离为第六十页，共七十二页，2022年，8月28日能力·思维·方法4.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1,(1)求D到平面PBC的距离；(2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。APDCBQ(2)延长CD与BA相交于Q,∵AD∥BC,且AD=BC∴A是QB的中点,又PA=AB=AQ∴BQ⊥PQ,又∵BC⊥平面PAB,∴CP⊥PQ,故∠CPB是所求二面角的平面角,故面PCD与面PCD所成的二面角为第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日例题讲解1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.(1)若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；作、证、求？APDCB∵PB⊥面ABCD，BA⊥AD，∴PA⊥AD∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角解：即∠PAB＝600在Rt⊿PAB中，AB＝a，∠PAB＝600∴PB＝aV=a3第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日例题讲解1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.(2)证明不论高PB怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.APDCBM证：由题设侧面PAD与PCD为全等⊿，作CM⊥PD于M，连结MA，则⊿CDM≌⊿ADM，∴AM＝CM，∠AMD＝900故AMC就是所证二面角的平面角.连结AC在⊿AMC中，由余弦定理cos∠AMC=故∠AMC＞900，即证.小结：作二面角平面角的方法

●有面的垂线，则一作一连法

●定义法，在两面内作棱的垂线

●面积射影定理第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日变化一四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝600，PB⊥面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；APDCBE第六十四页，共七十二页，2022年，8月28日四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝600，面PBC⊥面ABCD，且⊿PBC是等边⊿.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角；APDCB变化二E注意：●面面垂直的应用

●分析平面图形第六十五页，共七十二页，2022年，8月28日例题讲解2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿，∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2(1)求线段DE的长B1BADA1ECC1F解：取AB的中点F，连结EF，CF，∴EF//AA1//CC1∵D是中点，∴EFCD∴DE=CF在⊿ABC中，CF＝∴DE＝第六十六页，共七十二页，2022年，8月28日例题讲解2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt⊿，∠C=900，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2(2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示)MB1BADA1ECC1解：∵ABC-A1B1C1是直棱柱，AC⊥BC，∴AC⊥侧面BB1C1C，作CM⊥BD于M，连结AM，则∠AMC就是所求二面角的平面角；在⊿ACM中，AC＝2CM＝∴tan∠AMC=AC/CM=即所求为AC⊥CM，第六十七页，共七十二页，2022年，8月28日例题讲解3、如图在直三棱柱