介质的非线性极化

第2章介质的非线性极化本章主要问题：•光在介质中传播的波动方程有哪些不同形式？•介质极化率如何定义，有那些对称性质？•极化率实部和虚部有何物理意义，其间有何关系？2.1非线性介质的波方程2.1.1非线性介质的麦克斯韦方程光波在非性线介质中传播时也服从麦克斯韦方程:物质方程VxHV物质方程VxHV・D=pD=sE+P0B=R(H+M)0J=bE(2.1.1)(2.1.2)(2.1.3)(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)式中E、D——电场强度、电感应强度H、B一—磁场强度、磁感应强度P、M-电极化强度、磁极化强度&、卩-00真空介电系数、真空磁导率电导率（代表介质的吸收损耗）J―电流密度,自由电荷密度(2.1.8)(2・1・9)在非线性介质中，(2・1・9)P=8x⑴•E+sx⑵：EE+sx⑶EEE+ ・000X(n)是口阶电极化率，它是个n+1阶张量。 ： …极化强度P可分成线性和非线性两部分，其非线性部分就是极化强度的高次项之和，以P表示，则NLP=8x⑴•E+P。 (2.1.10)0NLO将式(2.1.10)代入(2.1.5)可得D=sE+8x(i)•E+P=s•E+P, (2.1.11)00NLNL这里s=8(1+x(1)) (2.1.12)0是介质的线性介电系数；其中x(i)是线性极化率。在各向异性介质中x(i)和s二者都是复数二阶张量。—般非线性介质是绝缘体(J=0，p=0)和非磁性材料(M=0),则非线性介质的麦克斯韦方程组可表为：VxE=—卩-0&(2.1.13)VxH=辺+qEdt(2.1.14)D=s•E+P(2.1.15)NL2.1.2各向异性介质的时域波方程将(2.1.13)的两边进行Vx运算，再将式(2.1.14)代入，并用式(2.1.15)得到(2.1.16)VxVxE+吓哲+卩d2s•E=—卩^NL。(2.1.16)0 dt 0dt2 0dt2这就是描述光在各向异性非线性介质中传播的时阈波动方程。该方程比线性波动方程仅多了右边的一项。相当存在一个次波源。第二项与介质的吸收损耗有关，若介质为无损耗的，即◎=0，再利用c=1/卫8,式(2.1.16)表为s00

(2.1.17)1 Q2 1 Q2(2.1.17)[VX(Vx)+—— s^]E(r,t)二一——P(r,t)sc2Qt2 sc2Qt2nL ‘00这是光在无损耗各向异性非线性介质中传播的时阈波动方程。为解方程求得场强E，必须首先求出非线性极化强度％2.1.3各向异性非线性介质的频域波方程(2.1.18)将E(r,t)和Pn(r,t)展开成i=1,2,3…个单色平面波的组合(傅里叶展开)：

E(r,t)=工E(k,w)=工Eei(k.r-W,t)(2.1.18)TOC\o"1-5"\h\ziii iii(2.1.19)P(r,t)=工PNL(k,W)=工PNLei(kr-Wit)(2.1.19)NL iii iii式中r为坐标矢量，k为单色平面波的矢量，w为光波的频率。将式(2・1・18)和(2.1.19)代入式(2・1・17)，消去两边的求和号和i序数，可得到血__ W2_(2.1.20)[Vx(Vx)- e-]E(k,①)二 Pnl(k,①)(2.1.20)\o"CurrentDocument"sc2 sc200这是各向异性非线性介质的单色平面波的波方程。2.1.4各向同性非线性介质频域波方程在方程(2・1・20)中，利用VxVxE=V(V-E)-V2E，考虑各向同性介质，有V・E=0;再用关系式k=w/c，k=kn和n=js/s，则得00v0k2V2E(k,w)+k2E(k,w)=-fPnl(k,w) (2.1.21)s0这是各向同性非线性介质的单色平面波的波方程。它是一个非齐次二阶微分方程，难于求解，一般都要做近似简化处理，慢变振幅近似是一种常用的方法。现在考虑一个沿z方向传播的稳态单色平面波，振幅随z变化，但不随时间变化。电场强度和非线性极化强度分别表为：

(2.1.22)E(z,w)=E(z)ei(kz-®t)(2.1.22)PNL(z,w)=PNL(z)ei(k'z-wt)式中k和k'分别是原光波和极化波的波失。将式(2.1.22)代入(2.1.21)，其中式(2.1.21)左边第一项为式中k和k'分别是原光波和极化波的波失。将式(2.1.22)代入(2.1.21)，其中式(2.1.21)左边第一项为V2E(z,o)=(鼻+i2k—-k2)E(z)ei(kz)

dz2 dz因此式(2.1.21)表为d2 d k2(+i2k )E(z)=一亠PNL(z,o)e-i(kz-ot)dz2 dz £0(2.1.23)此为在各向同性介质中z向传播的单色平面波的波方程。假设在波长量级的距离内光波振幅的变化非常慢，满足以下条件:az(2.1.24)并假设PNL(z,o)随z的变化可以忽略不计，则式(2・1・23)中略去第一项写成dE(z)

az0PNL(z,o)e-i(kz-ot)2£k0dE(z)io2ecnPNL(z)ei^kz.(2.1.25)式中Ak=k'-k。这样，在慢变近似条件下，各向同性非线性介质中z向传播的单色波的频域波方程被简化为简单的一阶微分方程，便于求解。式(2・1・25)描述在稳态和在慢变近似条件下的各向同性非线性介质中沿z向传播的单色光波的频域波方程。若存在介质对光电场的吸收，根据式(2.1.16)，式(2.1.25)应改写为+-E(z)=-^PNL(z)eiAkz (2.1.26)dz 2 2ecn0式中a=卩cc/n是介质的吸收系数。02.1.5各向同性非线性介质时域波方程考虑各向同性介质V-E二0及n=再7可,(2・1・17)式变为-V2E(r,t)+n2竺E(r,t)二—丄竺P(r,t) (2.1.27)c2dt2 £c2dt2NL0(2.1.28)此为各向同性非线性介质中的时阈波方程。设时域下的波场为单色平面波(2.1.28)E(z,t)=A(z,t)ei(kz-Q)式(2.1.27)中的各项为V2E(z,t)=(兰+i2k—-k2)A(z,t)ei(kz-®

dz2 QzQ2Q2Qt2一i2w-®2)A(z,t)ei(kz-Q)

QtQ2P(z,t)仝-q2P(z,t)Qt2NL NL假设波的振幅随空间和时间皆缓慢变化，满足以下慢变近似条件Q2A(z,Q2A(z,t)Qz2«kQzQ2A(z,t)Qt2<<QA(z,t)Qt(2.1.29)则在(2.1.27)中略去场振幅的二阶时间导数和二阶空间导数，得到一阶波方程：+1aA(z,£)二旦p(z,t)e-i(kz-Q) (2.1.30)Qz vQt 2£cnNL0这是在慢变近似条件下各向同性非线性介质中单色波的时域波方程。若光波是一个宽脉冲，在(2.1.30)式中v二c/n是光波的相速度；若光波是一个短脉冲，在(2・1・30)式中v=dQ/dk是波包的群速度。2.2非线性极化率2.2.1极化强度的频域表达式考虑电极化强度P与电场强度E之间的因果关系。在时刻t,介质感应的电极化强度dP⑴(t)是由在此之前时刻[=t-叭的电场强度E([)在叭时间内的作用所确定，二者呈正比关系，dP(t)=£x⑴(t-1)-E(t)dt (2.2.1)0111考虑E(t)在t之前所有时间电场强度E(t)对P(i)(t)的贡献，则有11P(1)(t)J%x(1)(t一t)-E(t)dt (2.2.2)0111

实际上，当t>t时，E(t)对P(i)(t)没有贡献，x(1)(t-1)=0。111再取E(t1)和P(1)(t)的傅里叶变换E(t)=卜E(3)e-i3t1d3(2.2.3)1 p(2.2.3)P(1)(t)=fgP(3)e-i3td3—g将式(2.2.3)代入式(2.2.2)，得到频域的表达式式中P⑴(w)二x(1)(3)-E(w)(2.2.4)X(1)(3)式中P⑴(w)二x(1)(3)-E(w)(2.2.4)X(1)(3)=Jgx(1)(t一t)ei3(t-t1)dt—g 1 1在非线性情况下，P可以展开为E的幂级数，极化强度在频域中表达为(2.2.5)其中式中P(w)=P(1)(®)+P⑵(3)+P⑶(3)+…P(1)(3)=8X(1)(3；3)-E(3)0P(2)(3)=8x(2)(3；3,3):E(3)E(3)01212P(3)(3)=8x(3)(3；3,3,3)E(3)E(3)E(3)0123123(2.2.6)(2.2.7)X(n)(3) X(n)(t一t,t一t，…,t一t)ei[31(t-t1)+32(t-t2)+・・・3n(t-t)dtdt…dt1 2 n 1 2 n—g(2.2.8)3=3+3+•…+3。12n下面给出各阶电极化强度的直角坐标分量表达式。介质中的场由n个不同频率的分量(包含着这些频率的谐波、和频波、差频波等)组成E(t)=工E(3)e-i3nnn式中E(3)是复数振幅，n可正可负。并规定n(2.2.9)E(3 )=E(-3)=E*(3)-n nn(2.2.10)频率为3的极化强度分量为P⑴（①）=工&咒⑴（①;①）E（①）卩 0jia aaP⑵@=Y£咒⑵ ,①）E@）E@）1 0ia卩 1 2a1卩2（2.2.11）（2.2.12）a（2.2.11）（2.2.12）式中P⑶(w)=s8咒⑶(®；w,式中P⑶(w)=s8咒⑶(®；w,w,w)E(®)E(®)E(®) (2.2.13)卩 0pa旳 123a1卩2y3a旳w=w+w+w+ ； p,a,卩,y, =x,y,z。1232.2.1极化率的对称性下面指出电极化率张量的对称特性，它反应了介质结构的对称性和电极化强度的实数性。1．频率置换对称性可以证明电极化率张量具有以下固有的置换对称性X⑴*(w)=x(叽一w)ijijX⑵*(w；w,w)=x⑵(w;一w,w)=x⑵(w;一w,w)ijk12ijk12ijk21(2.2.14)X(n) *(w；w,w, ,w)=x(n) (w；-w, ,-w,w)ll1l2ln 1 2 n l1l2lnl 1 2 n=X(n)lnll1(w；w,-w,/'n 1n-1J-1)若外场频率远离介质的共振频率，介质被认为是无色散的和无耗的，则存在着完全的置换称特性，即式(2・2・14)中的*号可以取消。2．时间反演对称性根据电极化强度的实数性可以证明咒(n)(w;w,w，…,w)=X(n)(-w;-w，-w，…,-w) (2・2・15)叫2…1n 12n 叫2…1“ 1 2 “3．空间结构对称性由于介质结构的对称性，当笛卡儿坐标的指标被置换时，X(n)保持不变，ll1l2Lln使非线性极化率张量的独立矩阵元的总数大大减少：X(2)只有27个独立元；X(3)只有81个独立元。对于具有中如果介质具有中心对称结构，即在坐标反演变换{x,y,z}T{-x，-y，-z}时，P和E都要变成反方向。由(2・2・11)-(2・2・13)式可见，P(1)和P(3)的表示式不变但P(2)式左边变号，据对称性要求/(2)必须等于零，该式才能成立。也就是说，具有中心对称介质的偶阶极化率为零。若只考虑到三阶非线性效应对于具有中心对称性的介质，没有二阶非线性效应，只有三阶非线性效应。2.2.3简并因子(1)若电场强度和电极化强度分别表示为E(r,t)二工E(&)e一豁+c.c., (2.2.16)nnP(r,t)二工P(®)e-+c.c.o (2.2.17)nn考虑到极化率的对称性，频率为o的n阶极化强度分量表示如下，它是由n个波场所引起，其中有m个相同频率。P(n)(0)=Dz£ xn) (o；o,o ,o，…,o )E (o)E (o)…E (o )(2.2.18)卩 0卩ap■…丫 123 na p yn邛…丫式中的系数D被称为简并因子，对于式(2.2•⑹和(2・2・17)的情况，可以证明：n!D=—o (2.2.19)m!(2)在有些文献中，电场强度和极化强度分别表示为E(r,t)=工［E(o)e-叫+E*(o比叫］， (2.2.20)2 n onP(r,t)=-工P(o)e-叫o (2・2・21)2nn对这种情况，极化强度分量式(2.2.18)也成立，但是简并因子变成(n!AD=21-nno (2.2.22)5!丿几种常见的非线性光学效应的极化率表达式及其相应的两种简并因子列于下表中。非线性过程阶极化率D=2i-n（n!/m!）D=n!/m!线性色散1力（i）（o；o）11线性吸收1力d）（o；o）11电光效应2X（i）（o；o,0）12二次谐波2X⑵（2o；o,o）1/21

和频效应2X2）（®；①,①）123 1 2差频效应2X⑵(①；o，―①)2 3 112三次谐波3X⑶（3o；o,o,o）1/41四波混频3/⑶（o；o,o,o）4 12 33/26简并四波混频3X⑶（o；o,_o,o）3/43简并四波混频相位共轭3X⑶（o;o,_o,o）c 1 2 p3/26光克尔效应(自作用)3X⑶（o；o,_o,o）3/43光克尔效应(互作用)3X⑶（o；o',_o',o）3/26自聚焦3X⑶（o；o,_o,o）3/43饱和吸收3X⑶（o；o,_o,o）3/43双光子吸收3X⑶（o；o,_o,o）12213/26拉曼散射(斯托克斯)3X⑶（o；o,_o,o）S l IS3/26拉曼散射(反斯托克斯)3X⑶（o；o,o,_o）as II S3/43注：表中极化率括号中的分号之后为入射场频率，分号之前为生成场频率。2.3Kramers-Kronig色散关系2.3.1极化率实部与虚部的关系必需指出，电极化率/(«)是一个复数，若表达为x(«)=%'(①)+议"(①), (2.3.1)其实部和虚部之间有如下关系X3)=—1PJ®“3)d①'， (2.3.2)兀_gco—coX"(o)=1PJsX )do'， (2.3.3)兀_®co—co式中P表示后面的积分为柯西主值积分。这是著名的Kramers-Kronig色散关系,简称K-K关系。由K-K关系可见，只要知道极化率的实部和虚部中任何一个的光谱就可通过此关系求出另外一个。根据X(-①)二％*(①),x"(co')是①'的奇函数，而咒@')是3'的偶函数。K—K关系可以写成如下另一种形式：X'(3)=二P…"(3')3'd3',兀0 32—32(2.3.4)X"(3)= PlA^3'。兀032—32(2.3.5)2.3.2极化率实部和虚部的物理意义1.线性折射率和吸收系数与极化率的关系我们考察一束频率为3的单色平面波在各向同性介质中沿z方向的传播所产生的线性极化。设光电场强度表示为E(z,3)=E(z)ei(kz.-①)+c.c.， (2.3.6)式中，k是非线性介质的复数波矢，其实部表示波的相位变化(介质的色散)，虚部表示波的振幅的变化(介质的吸收)，即.ak=k'+ik"=kn+i—o，oo2(2.3.7)式中，k=-是真空中的波矢；n和a分别表示介质的线性折射率和线性吸oc oo收系数。由电感强度的定义，考虑远离共振情况下的线性极化效应，则有D=£E+P(1)=£E+£X(1)E=(£+£X(1))E=£E，o oo oo式中，-为真空的介电系数；-=-+-X(1)为介质的复线性介电系数；X(1)为介o oo质的复线性极化率，可以分为实部和虚部两部分，利用关系-'=-(1+X(1)')，则o(2.3.8)£可表为£=£+£X(1)'+i£X(1)''=£'+i£X(1)oo00利用线性折射率n二0，式(2.3.9)改为!!£=£'(1+i-0X(1)'')。(2.3.9)£=£=n2-(1+iX(1)oo(2.3.10)!!)。n2o再利用复线性折射率n=J-T厂和真空光速c=1/Jk，将介质的复波矢表为0、00(2.3.11)(2.3.11)将式(2.3.10)代入(2.3.11)，得到(2.3.12)n20式(2.3.12)中的根号中第二项的模远小于1,可将搭展成泰勒级数，近似取前两项得kn(1+i^-)=kn00 (2.3.12)n20式(2.3.12)中的根号中第二项的模远小于1,可将搭展成泰勒级数，近似取前两项得kn(1+i^-)=kn00 2n2 000(2.3.13)将式(2.3.13)对比(2・3・7),利用8'=£(1+X(1)')得到0n0=[1+X(13]2(2.3.14)a=x(i)(3)"0n0= Z(1)(®)。cn0(2.3.15)可见介质的线性折射率和线性吸收系数分别与一阶极化率的虚部和实部成正比。2.非线性折射率和吸收系数与极化率的关系假设介质具有三阶非线性，入射激光是如式(2.3.6)的单色平面波，可以用以下慢变近似非线性波方程(2・1・25)，求解光场E(z)。这里设血=k—k=0。dE(z)

dzPNL(Z)= IPNL(Z)。28cn 28k000(2.3.16)非线性极化强度表为PNL(z)=P(3)(Z)=38°x⑶(①)E(z)|2E(z)。 (2・3・17)设X(3)(®)=3x⑶(切),X⑶=X(3)g)'+iX(3)(3)”,ePNL(z)=8[X⑶(®)'E(z)|2+iX⑶(3)''E(z)|2]E(z), (2.3.18)0e e=磐[X(3)(3)'E(z)|2+iX(3)(3)”E(z)|2]E(z) 。 (2・3・19)dz 2cn e e0利用I=8cn\E(z)|2，式(2・3・19)改为2oo

Qz22X⑶(®)'I+i e 8cne0000

Qz22X⑶(®)'I+i e 8cne0000

=ikI+i®xe3)(®)''I]e(z)8c2n2002cn8cn0(2.3.20)式(2.3.20)变为解得由式(2.3.6)其中e02ecn200k=ke NL08cn200X(3)(®)' (3)(®)''丁I+i e I,8c2n200(2.3.21)NLE(z)。(2.3.22)E(z)=E(0)eikNLz。(2.3.23)E(z,®)=E(z)ei(kz-®t)=E(0)eikNLzei(kz-®t)=E(0)ei