关于采购煤的数学模型

关于采购煤的数学模型问题重述：某单位采购员在秋季要决定冬季取暖用煤的贮量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元，15元和20元，又设秋季时煤价为每吨10元，若贮煤多于实际用量，多出的部分每吨需要1元的贮存费。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，采购员要确定秋季贮煤多少吨总的支出最少。1.试对该问题建立矩阵对策模型。2.该对策模型在纯策略意义下是否有解？如果无解请写出求解最优混合策略的线性规划模型公式并用Lingo求解。问题分析及模型假设：该问题我们可以认为是一个博弈问题，博弈双方为采购员和气候，即采购员和气候为局中人，由于采购员要使自己的总支出最小，而气候我们可以认为它的目的是使采购员的总支出最大。由题意只采购员储煤量在10~20吨之间，考虑采购员如果少储存一吨需要多支出5元或者10元，而多出一吨储存仅需支出1元储藏费，所以采购员采取的合理决策行动有三个：储煤10吨、储煤15吨、储煤20吨；气候的决策行动也有三个即：气候较暖、气候正常、气候较冷博弈双方的决策行动极其产生的结果可以清晰地用表1描述（采购员的总支出）。表1采购员与气候的博弈及其产生的结果气候采购员较暖正常较冷储煤10吨支出100元支出175元支出300元储煤15吨支出155元支出150元支出250元储煤20吨支出210元支出205元支出200元模型建立：由以上分析我们可以得到采购者的决策集S1={q1,q2,q3},q1、q2、q3分别表示储煤10吨、储煤15吨、储煤20吨，气候的决策集S2={w1,w2,w3},w1、w2、w3分别表示天气较暖、正常、较冷，则采购者的赢得矩阵为：因：v1=maxminaij=-210，i*=3；v2=minmaxaij=-200，j*=3ijji所以v1≠v2,即在纯策略意义下矩阵对策G={S1，S2；A}不存在解。我们建立混合意义下的模型，有：采购者的混合策略集为：S1*={x=(x1,x2,x3)|｝气候的混合策略集为：S2*={y=(y1,y2,y3)|｝则采购者的赢得函数为：E(x,y)=xAyT=采购者希望获得最大期望效用，因而所面临的决策问题是：maxxAyT(x∈S1*)模型求解：由于双方都希望优化自己的赢得，所以采购者面临的决策问题可以转化为：maxminxA=VM（1）其中min是对xA中所有的元素取极小。类似的，气候的所面对的决策问题可转化为：minmaxAyT=VN（2）由于要达到纳什均衡所以有：VM=VN=V，则V即为对策G={S1，S2；A}在混合意义下的最优值则转化为线性规划问题有：V,j=1,2,3；（3）将（3）转化为标准的线性规划形式，不妨假设V>0，（考虑到A的值都为负值所以我们将A的每一元素都加上300，则将V最终变为正值且求得的值比实际值大300记为V’）在（3）中令Xi=xi/V’,则（3）变为：1,j=1,2,3；/V’（3）由于V是采购员可能的最小赢得中最大的那个，所以我们的问题是求解在Xi未知的情况下求解其最大值。对此我们可以建立起线性规划模型（4）：V’=1/zminz=X1+X2+X3200*X1+145*X2+90*X3≥1125*X1+150*X2+95*X3≥1（4）0*X1+50*X2+100*X3≥1X1、X2、X3≥0同理对于气候方，我们也可建立线性规划模型V“=1/ωmaxω=Y1+Y2+Y3200*Y1+125*Y2+0*Y3≤1145*Y1+150*Y2+50*Y3≤1（5）90*Y1+95*Y2+100*Y3≤1Y1、Y2、Y3≥0软件实现：利用lingo软件求解（4）其结果如下：由上可得minz=0.0105，X1=0.0005，X2=0，X3=0.01，故V’=1/z=95.24，所以V=V’-300=-204.76,S1*={0.0005/0.0105，0/0.0105，0.01/0.0105}={1/21，0，20/21};由上可得maxω=0.0105，X1=0.0005，X2=0，X3=0.01，故V“=1/ω=95.24，所以V=V“-300=-204.76,S2*={0.005/0.0105，0/0.0105，0.01/0.0055}={10/21，0，11/21};综上所述：对策G={S1，S2；A}在混合策略意义下的解为V=-204.76。由于采购者的混合策略集为：S1*={1/21，0，20/21};所以按最大概率选取应该采取策略q3,即储煤20吨。摘要：在市场经济的今天，必须正确看待收入分配中的公平与效率的问题。效率原则是生产力的一个基本原则，而公平原则是调节社会分配关系，即人与人之间利益关系的一个基本原则。正如本文中雇员与雇主的矛盾关系：雇主总是希望以较少的工资换取较多的劳动，而雇员总是希望以较少的劳动换取较多的工资。按照经济学原理，双方将会按照“等价交换”的原则达成某种协议，实现双赢的局面。为表示等价交换，特引入“无差别曲线”（图4），并且我们可以想象，本问题中的“无差别曲线”应是单调递增的，下凸的，且互不相交，这样双方满意的“交换路径”应在两族曲线切点的连线上，再根据等价交换作图，即可确定双方的工作时间——工资协议。当工作时间改变时，沿着平衡曲线滑动（图6），即可得到新的利益平衡点。对比横纵坐标变化率，即可确定对雇主更有利的方案（图7）。关键词：等价交换

无差别曲线

交换路径

一、

问题的重述为了得到更多的剩余价值，雇主总是希望支付较少的工资，而得到更多的劳动力价值，雇员却希望以较少的劳动换取更多的报酬。最终，双方将按照“等价交换”的原则，达成一项双方都比较满意的协议。鉴于此题，我们需要分别作图表示雇员一天工作时间t与工资w的无差别曲线和不同工资率下雇主的计时工资线，并根据这两个曲线族，讨论双方满意的劳动——工资“交换路径”。在达成一项协议后，我们还应分析工作时间增加后，找到新的利益平衡点，并作图指出提高计时工资率和实行超时工作制，那一种对雇主更有利。

二、

问题假设与符号说明假设：1、雇员在工作时间内完成有效劳动；

2、雇员和雇主之间实行“按劳分配”，即“等量劳动领取等量报酬”。

三、

问题分析与解答

（1）

我们以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横、纵坐标，画出雇员的无差别曲线族如下图4：

对上图的解释：工作时间越长，则雇员的工资应越高，故曲线是递增的，而雇员总是希望工资的增长率大于工作时间的增长率，这样就使得曲线为下凸的。

（2）

假设雇主付计时工资，对不同的工资率，可画出计时工资线如下图5：

对上图的解释：当雇员不工作时，雇主不会愿意为其支付工资，故曲线过原点；在相同的时间内，工资率大的曲线纵坐标值也大，但达到一定程度后（称为曲线的膝点），雇主不会再增加工资（此时相当于承包工作制，图中未标示）。

将两条曲线画在一张坐标纸上（如下图6），用平滑的曲线连接两族曲线的切点，成为曲线PQ,则双方的折中协议必为PQ上的一点，根据等价交换准则及雇主工作要求（不同的工作率），可以确定最终协议为P1（P2）点。

（3）

假设雇员与雇主已经达成一个协议（t1，w1）,雇主想增加工作时间，那么实行超时工作制对雇主更有利：

假设新的协议为（t2,w2）,则从图中可以看出(w2-w1)/w1远大于(t2-t1)/t1,即若实行提高计时工资率的方法，需要支付w2的工资，而实行超时工作制，只需支付w2’的工资，显然，只要超时部分（t2－t1）的曲线斜率（即工资）率小于PQ的在此处的斜率，那么实行超时工作制就能够节省w2-w2’的工资，显然对雇主是有利的。

四、

模型评价

模型评价：优点：（1）援引恰当，分析切合经济学原理（2）

结果作