人教版八年级数学下册第17章勾股定理PPT习题课件

第1节

勾股定理第1课时

勾股定理第十七章勾股定理1234567891011121314151知识点勾股定理1．直角三角形_________________等于____________．即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________________．两直角边的平方和斜边的平方a2＋b2＝c2返回返回2．(中考·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(

)A．5 B．6C．7 D．8A返回3．(中考·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(

)A．5 B．6C．8 D．10C返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长是(

)A．14 B．4C．14或4 D．无法确定C返回5．(中考·漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

)A．5个

B．4个

C．3个

D．2个C返回6．(中考·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．10返回2知识点勾股定理与图形的面积7．勾股定理通常是用________法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用________来解决．面积勾股定理返回8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(

)A．48 B．60C．76 D．80C返回9．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(

)A．2π B．4πC．8π D．16πA返回10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(

)A．13 B．26C．47 D．94C返回11．如图，将一块边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为(

)A．b2＋(b－a)2

B．b2＋a2C．(b＋a)2

D．a2＋2abA1题型勾股定理在求线段长中的应用12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝.求：(1)DC的长；(2)AB的长．解：返回(1)在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2＝32－

＝

，∴DC＝.(2)在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝42－

＝

，∴AD＝.∴AB＝AD＋BD＝

＋

＝5.2题型勾股定理在求面积中的应用13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m．求四边形ABCD的面积．解：如图，连接AC.

∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD都是直角三角形．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，∴AC＝25.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，∴AD＝24.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

AB·BC＋

AD·CD＝

×20×15＋×24×7＝234(m2)．返回3题型勾股定理在折叠问题中的应用14．如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的长．解：根据题意，得△AFE≌△ADE，∴AF＝AD＝10cm，EF＝ED.∴EF＋EC＝DC＝8cm.在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，∴BF＝6cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．设EC＝xcm，则EF＝DC－EC＝(8－x)cm.

在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2.解这个方程，得x＝3，即EC的长为3cm.返回倍长中线法15．(中考·柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得DB＝3.(2)如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.∵D是AC边的中点，∴AD＝CD.在△EDA和△BDC中，AD＝CD∠ADE＝∠CDBDE＝DB∴△EDA≌△BDC(SAS)．∴∠DAE＝∠DCB.∴AE∥BC.∵DB⊥BC，∴△ABC中BC边上的高的长等于BE的长．易知BE＝2BD＝6，∴BC边上的高的长为6.点拨返回返回【思路点拨】倍长中线BD，说明2BD等于△ABC中BC边上的高．第1节

勾股定理第2课时

勾股定理的实际应用第十七章勾股定理12345678910111213141知识点求实际中长(高)度的应用返回1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问题，运用________定理求解．勾股返回2．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞________m.133．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(

)A．x2－6＝(10－x)2

B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2

D．x2＋62＝(10－x)2D返回返回4．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下移了(

)A．0.9米 B．1.3米C．1.5米 D．2米B返回5．小亮准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(

)A．2m B．2.5mC．2.25m D．3mA返回2知识点求实际中的最短距离的应用6．求实际中的最短距离的实质是将实际问题转化为几何中的两点间的距离或点到直线的距离的模型，然后利用_________________或____________进行说理，最后利用__________________来求出这个最短距离．两点之间线段最短垂线段最短勾股定理返回类型1展开图中的最短距离7．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为________．返回8．(中考·东营)如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是(

)A． B．C. D．C返回9．(中考·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(

)A．4 B．5C．6 D．7类型2对称点中的最短距离B

返回10．(中考·安徽)如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝

S长方形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为(

) B.C．5 D.D11．有一辆装满货物的卡车，高5m，宽3.2m(货物的顶部是水平的)，要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4m，长方形竖直的一条边长是4.6m.1题型勾股定理在求高度中的应用(1)这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由；(2)为了减少交通拥堵，交通部门想把该隧道改为双向二车道，这时这辆卡车能通过这条隧道吗？(1)能通过．理由如下：如图，设O为半圆的圆心，AB为半圆的直径，在OB上截取OE＝3.2÷2＝1.6(m)，过E作EF⊥AB交半圆于F，连接OF.在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即22＝1.62＋EF2，EF＝1.2m，1.2＋4.6＝5.8(m)>5m，所以这辆卡车能通过此隧道．解：(2)当把该隧道改为双向二车道时，4÷2＝2(m)<3.2m，所以这时这辆卡车不能通过这条隧道．返回2题型勾股定理在求圆柱上两点最短距离中的应用12．为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆柱形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示．已知圆柱的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在侧面上均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解：返回将圆柱形灯罩侧面展开如图所示．在Rt△ABC中，AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm.所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．故应裁剪180cm长的油纸．3题型勾股定理在求圆锥上两点最短距离中的应用13．如图，有一个高为12cm，底面直径为10cm的圆锥．现有一只蚂蚁在圆锥的顶点M处，它想吃圆锥底部N处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程．解：如图，设O为圆锥底面圆的圆心，连接MO，NO，MN.则MO⊥NO，MN就是蚂蚁爬行的最短路程．由题意知MO＝12cm，NO＝5cm，所以在Rt△MNO中，MN2＝122＋52，即MN＝13cm.答：蚂蚁需要爬行的最短路程为13cm.返回方程思想14．如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)．如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．解：设BD＝xm，由题意知BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝(30－x)m.∴(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，∴x＋10＝15.答：这棵树的高为15m.点拨返回返回【思路点拨】通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示出AD的长度，再利用勾股定理列方程求解．第1节

勾股定理第3课时

勾股定理的几何应用第十七章勾股定理123456789101112131知识点用勾股定理在数轴上表示实数1．在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别为正整数的直角三角形的斜边的长．例如：在数轴上找表示±的点时，是以原点O为圆心，以两直角边长分别为________的直角三角形的________为半径画弧，与数轴的两个交点即为表示±

的点．3，2斜边长返回返回2．(中考·台州)如图，数轴上的点O，A，B分别表示数0，1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是(

) B.C. D.B3．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为(

)A．2 B.C.

D.C返回返回4．(中考·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为________．(－1，0)返回5．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝

；再过P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝

；又过P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2020＝__________．返回2知识点勾股定理在几何问题中的应用6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有(

)A．0条

B．1条

C．2条

D．3条D返回7．(中考·衢州)如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于(

) B.C. D.B返回8．(中考·德州)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为________．39．(中考·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图①所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为

时，正方形EFGH的面积的所有可能值是__________(不包括5)．13和49返回1题型面积法在求线段长中的应用10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在网格中，顶点均为格点．求点A到直线BC的距离．S△ABC＝4×5－×2×5－×2×2－×3×4＝7.根据勾股定理，BC2＝32＋42＝52，BC＝5.设点A到直线BC的距离为h，∵S△ABC＝

BC·h，∴×5h＝7，∴h＝.故点A到直线BC的距离是.解：返回2题型化斜为直法在证明线段平方关系中的应用11．如图，AD是△ABC的中线．求证AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．证明：过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，根据勾股定理，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2，AE2＝AD2－DE2，∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD·DE＋DE2＋CD2＋2CD·DE＋DE2＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD·DE＋2CD·DE.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2，即AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．返回3题型等角代换法在证明线段平方关系中的应用12．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)AD2＋AE2＝DE2.证明：(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CE＝CD.∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC.∵∠DBC＋∠DAC＝90°，∴∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.返回建模思想13．在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s），并在离该公路100m处设置了一个监测点A.在如图所示的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：≈1.7)．(1)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°.

∴OA＝

AB.∵OA＝100m，∴AB＝200m.根据勾股定理，得OB＝

＝

＝100(m)．在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.

∴OC＝OA＝100m，∴B(－100，0)，C(100，0)．解：点拨返回(2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m， ≈18(m/s)＞

m/s，∴该汽车在这段限速路上超速．返回【思路点拨】(1)要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC的长即可；(2)由(1)可知BC的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与m/s比较即可．第2节

勾股定理的逆定理第1课时

勾股定理的逆定理第十六章二次根式123456789101112131415161718191知识点逆命题、逆定理1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题叫做____________，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的__________．互逆命题逆命题返回返回2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为________．逆定理返回3．下列命题的逆命题正确的是(

)A．两条直线平行，内错角相等B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等C．全等三角形的对应角相等D．若两个实数相等，则它们的平方也相等A返回4．下列说法正确的是(

)A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D．真命题的逆命题是真命题B

返回5．(中考·包头)已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(

)A．0 B．3C．2 D．1A返回2知识点勾股定理的逆定理6．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______________．直角三角形返回7．(中考·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(

)A．3，4，5 B．2，3，4C．4，6，7 D．5，11，12A返回8．(中考·眉山)如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(

)A．90°

B．60°C．45°

D．30°C返回9．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于最大的半圆面积，那么这个三角形为(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形B返回10．(中考·南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(

)A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，7C返回11．三角形的三边长a，b，c满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(

)A．等边三角形

B．锐角三角形C．直角三角形

D．钝角三角形C返回3知识点勾股数12．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为__________．勾股数返回13．下列各组数能构成勾股数的是________(填序号)．①6，8，10；②7，8，10；③，

，1.①14．下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)．其中是勾股数的有(

)A．1组

B．2组C．3组

D．4组返回D1题型勾股定理的逆定理在辨析题中的应用15．阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．②∴c2＝a2＋b2.③∴△ABC为直角三角形．(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________．(2)错因是_____________________________________________．(3)本题正确的结论是_________________________________________．等号两边不能同除以a2－b2，因为它有可能为零③△ABC是直角三角形或等腰三角形返回2题型勾股定理的逆定理在判断三角形形状中的应用16．如图，E，F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，CE＝

BC，F为CD的中点，连接AF，AE，EF.问：△AEF是什么三角形？请说明理由．解：返回△AEF是直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝

BC，DF＝CF，∴CE＝1，BE＝3，FC＝DF＝

DC＝2.根据勾股定理，得AE2＝25，EF2＝5，AF2＝20，则AE2＝EF2＋AF2.∴△AEF是直角三角形．3题型勾股定理的逆定理在求角度中的应用17．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求∠DAB的度数．解：返回连接AC.

∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝

＝

，∠BAC＝45°，又CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9.∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.4题型勾股定理的逆定理在实际问题中的应用18．某校想把一块三角形废地开辟为植物园，如图，测得AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m.(1)若入口E在边AB上，且与A，B的距离相等，求从入口E到出口C的最短路线的长．(2)若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，点D距点A多远时，水渠的长度最短？(1)连接CE，则CE即为从入口E到出口C的最短路线．延长CE至点F，使EF＝CE，连接AF.∵E在边AB上，且与A，B距离相等，∴AE＝BE.在△CEB和△FEA中，∴△CEB≌△FEA(SAS)．∴∠B＝∠EAF，BC＝AF.又AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m，解：CE＝FE∠CEB＝∠FEAEB＝EA∴AC2＋BC2＝802＋602＝6400＋3600＝1002＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.∴∠B＋∠BAC＝90°.又∠B＝∠EAF，∴∠EAF＋∠BAC＝90°，即∠CAF＝90°.在Rt△CAF中，AC＝80m，AF＝BC＝60m，∴CF＝

＝100m.又CE＝EF，∴CE＝

CF＝50m.故从入口E到出口C的最短路线的长为50m.(2)由题意知，当CD⊥AB时，CD最短．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝×100×CD＝×80×60，∴CD＝48m.在Rt△ACD中，∵AC2＝AD2＋CD2，∴802＝AD2＋482，∴AD＝64m.故点D距点A64m时，水渠的长度最短．

返回阅读法19．(中考·宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：

其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．解：返回当n＝1时，a＝(m2－1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③.当a＝5时，(m2－1)＝5，解得m＝±(舍去)；当b＝5时，即m＝5，

代入①③，得a＝12，c＝13；当c＝5时，(m2＋1)＝5，解得m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，代入①②，得a＝4，b＝3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.第2节勾股定理的逆定理第2课时

勾股定理及其逆定理的应用第十七章勾股定理123456789101题型勾股定理的验证1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到长方形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.由题知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.

又∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.

∴∠C′AC＝90°.∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，∴(a＋b)(a＋b)＝

ab＋

ab＋

c2.∴(a＋b)2＝2ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.证明：返回2题型勾股定理在折叠问题中的应用2．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O，且OE＝OD.求AP的长．∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根据题意，得△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.∴∠D＝∠E.在△ODP和△OEG中∴△ODP≌△OEG(ASA)．解：∠D＝∠EOD＝OE∠DOP＝∠EOG∴OP＝OG，PD＝GE.∴DG＝EP.设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6－x，DG＝PE＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，根据勾股定理，得BC2＋CG2＝BG2，即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8.∴AP＝4.8.返回3．(中考·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计)．3题型勾股定理在求最短路径长中的应用20返回4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．4题型勾股定理的逆定理在判断三角形形状中的应用(1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．(2)猜想：当a2＋b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2_____c2时，△ABC为钝角三角形．(填“＞”或“＜”)(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．锐角钝角＞＜(3)∵c为最长边，∴4≤c＜6.①当a2＋b2＞c2，c2＜20，即4≤c＜2时，△ABC为锐角三角形；②当a2＋b2＝c2，c2＝20，即c＝2时，△ABC为直角三角形；③当a2＋b2＜c2，c2＞20，即2＜c＜6时，△ABC为钝角三角形．解：返回5题型勾股定理的逆定理在判断方向中的应用5．如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.又AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．解：返回返回6．(中考·淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为(

)A. B．C. D．10－6题型勾股定理与它的逆定理的综合应用B7．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．解：如图，连接EE′.根据题意，△ABE≌△CBE′，∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.又∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°.根据勾股定理，得EE′＝.在△EE′C中，EE′＝

，E′C＝1，EC＝3.由勾股定理的逆定理，可知∠EE′C＝90°.又BE＝BE′，∴∠BE′E＝∠BEE′＝

＝45°.∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.返回7题型勾股定理及其逆定理在网格中的应用8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格．(1)求四边形ABCD的面积．(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由．(1)如图所示．将四边形ABCD分成4个小直角三角形，发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半，即×52＝12.5.解：(2)AD⊥CD.理由如下：在△ADC中，∵AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，∴AD2＋CD2＝AC2.∴△ADC是直角三角形，且AD⊥CD.返回9．(中考·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”8题型勾股定理及其逆定理在网格中的应用这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(

)A．7.5平方千米

B．15平方千米C．75平方千米

D．750平方千米A返回10．如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海．晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向．经检测AC＝10nmile，AB＝6nmile，BC＝8nmile.若该可疑船只的速度为12.8nmile/h，则该可疑船只最早何时进入我国领海？解：∵AB2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.又S△ABC＝

AC·BD＝

AB·BC，∴×10·BD＝

×6×8，解得BD＝4.8.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82＝40.96，解得CD＝6.4.故该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8＝0.5(h)．因此该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10：58.返回全章热门考点整合应用第十七章勾股定理12345678910111考点两个概念概念1逆命题1．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤互为逆命题吗？(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题互为逆命题．(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不互为逆命题．(2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0；⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.(3)①与④，②与⑥分别互为逆命题．解：返回返回1考点两个概念概念2逆定理2．下面三个定理中，存在逆定理的有(

)个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3C3．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是否互为逆定理：(1)全等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等．(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们互为逆定理．(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不互为逆定理．解：返回4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．2考点两个定理定理1

勾股定理设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.解：返回2考点定理2

勾股定理的逆定理两个定理5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．n2－12nn2＋1(2)是直角三角形．证明如下：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，∴a2＋b2＝c2.∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．返回返回6．(中考·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB