结构动力学讲义三

第二章（续）

单自由度系统的振动3/15/20231先考虑冲量荷载作用于系统的响应。§1.2单自由度系统一般动荷载作用下

的受迫振动1、瞬时冲量

3/15/20232设体系在时处于静止状态，然后施加瞬时冲量。(在时间内作用荷载，其冲量。体系将产生初速度，但初位移仍为零。在时作用瞬时冲量所引起的动力响应为：3/15/20233如果在时作用有瞬时冲量，则在以后任一时刻的动力响应为：3/15/202342、无阻尼Duhamel积分任意的一般性荷载，在时刻的荷载强度为在一短时间间隔范围内作用这荷载，则会在结构上产生一个短持续时间的冲量，冲量导致的响应：3/15/20235表示在的整个响应时程范围内微分冲量的微分响应，不是时间间隔内的变化。整个荷载时程可看作由一系列瞬时冲量组成，每一个脉冲将产生一个如式所示的微分响应。对线性弹性体，总响应为荷载作用时间的全部微分响应的叠加，即对下式进行积分。3/15/20236特点：计算任意形式的动力荷载作用下无阻尼单自由度体系的动力响应。无阻尼体系的杜哈梅（Duhamel）积分自由振动、瞬态在荷载变化很不规则时，计算可能需要利用数值积分来进行。如果初始位移和初始速度不为零，则总位移为:强迫振动、稳态3/15/20237写成：式中：卷积积分（convolutionintegral）单位脉冲响应意义：表示在时，在一个单位大小“1”的脉冲作用下，结构体系的动力响应。（pulseresponsefunction）

3/15/20238有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅积分。当时，微分冲量引起的动力响应为3、有阻尼杜哈梅积分

有阻尼：无阻尼：3/15/20239在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和，则有阻尼体系的振动响应为:有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:3/15/2023104、杜哈梅积分分的数值计计算1)荷载函数是是可积的，，则结构的的动力响应应可利用下下式进行计计算。2）对于许多多实际情况况，如果荷荷载的变化化规律是用用一系列离离散数据表表示（如试试验数据）），此时的的响应计算算就必须借借助于数值分析方法。有阻尼：无阻尼：3/7/202311无阻尼体系系的动力响响应积分表表达式：：杜哈梅积分分的数值计计算，实质质上就是对对上式进行数值积积分。其中：3/7/202312考虑等时间间增量，，令三种基本数数值计算近近似方法，其求和表表达式为：：1）简单求和和法：：讨论积分项项3/7/2023132）梯形法法则：：3）辛普森森（Simpson）法则：：对于辛普普森法则则，式中中必必须须是偶数数。3/7/202314目的：计算一一系列相相继时刻刻的的响响应，其其中两相相邻时刻刻的间隔隔为（（用辛普普森法则则时为））。为了获得得整个响响应历程程特征，，把方程程写成增增量形式式：1）简单求求和法：：3/7/2023152）梯形法法则：3）辛普森森法则：：其中，表表示在在时刻所所得到的的和。同理，积分项项可可用相同同的方法法进行计计算。3/7/202316注：数值积积分解答答的精确确度与计计算中选选择和微微小时段段有有关，，一般可可取小于于系统自自振周期期的十分分之一，，便可得得到较好好的结果果。因此，无阻尼体系系动力响应的数值值解：同理，也可求得有阻尼尼体系动力响应。。3/7/202317单自由度系统如图图所示三角形冲击击荷载F(t)试求该系统的动力力位移和动力系数数，已知系统的初初位移和初速度均均为零。例2-5：3/7/202318冲击荷载作用的的时间很短，在在系统产生最大大位移之前，阻阻尼因素所吸收收的能量很少，，因此，冲击荷荷载作用下的计计算，一般不计计阻尼的影响。。解：将荷载F(t)代入杜哈梅（Duhamel）积分，得3/7/202319为了求最大动力力位移，由y(t)对时间求导等于于零来达到最大大位移的时间tm，即即，则可得最大动力力位移：动力系数：3/7/202320应该指指出，，上式式必须须满足足时才成成立，，即，解此不不等式式得，，这就说说明：：当时，最最大动动力位位移发发生在在时段内内，上上式应应用有有效；；当最大动动力位位移发发生在在时的自由振振动状态下下。时，则则3/7/202321为了求求时的动动力位位移，，先求求和速度度时的位位移将其带带入自自由振振动方方程得得此自由由振动动的幅幅值为为：3/7/202322动力系系数：：动力系系数只只与下表列列出不不同值值时时的动动力系系数。。有关，，即只只与有有关关t1/T0.1250.200.250.3710.400.500.751.001.502.000.390.660.731.001.051.201.421.551.691.762.00表不不同值时的的动力力系数数表3/7/202323图示水水塔，，受爆爆炸荷荷载F(t)作用。。设水水塔质质量，刚度度系数数和初速速度均均为零零，阻阻尼比比积分法法求动动力位位移。。例2-5:，已知知初位位移，试用用数值值3/7/202324水塔的自振振频率和周周期分别为为解:取微小时段段，约相当于于水塔自振振。为简便清清楚起见将将计算过程程列周期的1/20表显示。详细过程参参见课本。。3/7/202325§2.8阻尼理论与与阻尼比的的量测1、关于粘滞滞阻尼理论论的讨论阻尼是结构体系系的重要特特性之一。。单自由度体体系，按照照粘滞阻尼尼理论建立立了体系的自由振振动和强迫迫振动方程程：3/7/202326在简谐荷载载作作用下，设设结构的稳稳态响应为为：相应的速度度为：粘滞阻尼的的阻尼力为为：因此：3/7/202327表示阻尼力和和位位移之之间呈椭圆型关系。阻尼力和和位移都都随时间间变化，在一周周期内做的总功可以以看成是在各个个时间微量上上所做功的总和。时间增增加时时相应的位位移增量为，，故总总功为：等于椭圆所包围围的面积。3/7/202328用表表示粘滞阻尼振振动一个周期时时的能量耗散，，通常称为耗能能，即粘滞阻尼理论的的耗能和外加荷荷载的频率成正正比，振动越快快，每周耗散的的能量越大。实验结果表明：对于许多结构构振动一个周期期的耗能与频率率无关，即耗能能与振动的快慢慢无关。3/7/202329利用粘滞阻尼理理论分析结构振振动的结果，并并不能与实验结结果很好地吻合合，尤其是在能能量耗散机理上上表现出与实验验结论的不一致致性。但是，粘滞阻尼理论论使体系的振动动微分方程保持持为线性，计算算简便，因此仍仍然得到广泛应应用。3/7/2023302、阻尼比的量量测多数情况下，，结构的质量量和刚度可以以较容易地用用物理方法进进行分析与计计算，通常不可能用用计算的方法法来确定阻尼尼系数。许多多结构体系的的阻尼必须直直接用试验的方法来量测测。用实测结果计计算结构阻尼尼的几个主要要方法。3/7/202331a）自由振动衰减减法自由振动衰减减试验：最简单且最最常用的方法法方法：用任意手段段使一个体系系产生自由振振动后，阻尼尼比可用相隔隔周周后量得的两两个位移幅值值的比来确定定。求解：如果是是在任一一时刻的振动动幅值，而为为周后的幅值，，则阻尼比：：3/7/202332为对数衰减率，和和分分别为无无阻尼和有阻尼时时的固有频率。一般阻尼比都小于于0.2，不考虑阻尼引起起的频率变化。自由振动方法的主主要优点：所需仪器设备少少，可用任何简便便的方法产生振动动。3/7/202333典型的频率响应曲曲线如图所示。b)共振放大法在结构上作用包括括共振频率在内的的一系列较密分布布频率的简谐荷载载，，然后分析振幅幅与荷载频率之间间的关系曲线，即即结构频率响应曲曲线。3/7/202334任意给定定频率的的动力放大大系数是该频率率的响应应幅值与与零频率率(静止状态态)响应幅值值的比值值。阻尼比与共振时的的动力放放大系数数是紧密相相关的。。当静响应应和共振振响应幅幅值分别别用和和表表示时，，阻尼比比为：在实际加加载时，，施加准准确的共共振频率率比较困困难，而确确定最大大响应幅幅值则则比较较方便。。3/7/202335阻尼比：：忽略了阻阻尼对频频率的影影响，对对于一般般的结构而言，，引起的的误差很很小。优缺点：所需仪仪器也很很简单，，但是，，大多数数加载体体系不能能在零频频率时工工作，因因此在产产生静位位移时可可能会出出现困难难。3/7/202336c)半功率率谱法法半功率率法：利用用阻尼尼比对对结构构动力力响应应曲线线有很很大影影响，，根据据曲线线的变变化特特性来来分析析结构构阻尼尼比。。方法：阻尼尼比由由响应应减小小到时时的的频率率来确确定，，在此此频率率下输输入为为共振振功率率的一一半。。3/7/202337式（2－52）确定定的响响应幅幅值为为式（（2－97）所计计算的的共振振振幅幅的3/7/202338将方程程两边边平方方，求求得频频率比比为：：得两个个半功功率频频率为为：：3/7/202339阻尼比比等于于这两两个半半功率率频率率差值值的一一半。在共振振响应应幅值值的处处作一一条切切割响响应曲曲线的的水平平线，，此线线与曲曲线相相交的的两个个频率率间的的差值值，即即为阻阻尼比比的两两倍。。优点在于可以避避免量测结结构静响应应，但需要要得到较高高精度的共共振响应曲曲线。3/7/202340等效粘滞阻阻尼比实际结构并并非粘滞阻阻尼体系假假设体系系为一个等等效粘滞阻阻尼（equivalentviscousdamping）体系。试验结果表表明，结构在振振动时，阻阻尼因素所所起影响的的大小主要要取决于耗耗能的数值值，与一个个周期内形形成能量损损耗的具体体过程无显显著关系。。建立等效粘粘滞阻尼比比的计算理理论。利用粘滞阻阻尼体系简简化的计算算结论3/7/202341假设等效粘粘滞阻尼体体系一个振振动周期内内所损耗的的能量正好好与实际结结构在一个个振动周期期内所损耗耗的能量相相等，且两两者具有相相等的位移移振幅值。。3/7/202342实线表示实际结结构的滞回回曲线（hystereticcurve），包围面面积为：：虚线所表示的椭椭圆为等效效的滞回曲曲线，包围围的面积为为；；两者者面积相等等，并有相相同的位移移振幅A。等效粘滞阻阻尼体系中中的阻尼常常数和阻尼尼比分别为等效效阻尼常数数和和等效效阻尼比。。3/7/202343于是在简谐荷载载作用下发发生共振时时，惯性力