(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

一、典型题的技巧解法公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等或等比数列问题。daqadqn+1nn+1n例1、已知{a}满足a=a+2，而且a=1。求a。nn+1n1nn+n+1nnn1例2、已知{a}满足a=nn1nn+12n1n(2)递推式为a=(2)递推式为a=a+f(n)n+1n例3、已知{a}中a=例3、已知{a}中a=，a=a+，求a.n12n+1n4n2_1n111令n=1，2，…，(n-1)，代入得(n-1)个等式累加，即(a-a)+(a-a)+…|l数列的应用〈l其他2132+(a2132+(a-a)nn-111b11a=n=3()n2()nna=a+(1)=★说明只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的，就可以由★说明只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的，就可以由n+1nn(3)递推式为a=pa+q(p，q为常数)n+1nn1nn1n式为a=pa+qan+2n+1n思路：设a=pa+式为a=pa+qan+2n+1n思路：设a=pa+qa,可以变形为：aa=(aa)，n+2n+1nn+2n+1n+1nn+1nnn-1n+1nnn-1因此数列{a-a}是公比为3的等比数列，其首项为a-a=(3×1+2)-1=4n+1n21aan∵a=3a+2∴3a+2-a=4·3n-1即a=2·3n-1-1n+1nn+1nnnnn+1n213243nn-1把n-1个等式累加得：an2·3n-1-1想于是{a-αa}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。n+1n(4)递推式为a=pa+qn(p，q为常数)n+1n求求。n2bb=(bb)n+1n3nn12n323nnn1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数2、错项相减法：适用于差比数列(如果{a}等差，{b}等比，那么{ab}nnnnn项相减，转化为等比数列求nanan+1J|n11daa可裂nn+1nn+1a)nda)ndnn+12nan+1nnn4(3)形如a=(3)形如a=ak的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。 nn Sn2pn2、若等差数列{a}的首项a<0，公差d>0，则前n项和S有最小值nn (ⅰ)若已知通项an，则Sn最小一〈la+1>0；Spnqnnq然数时S最n2pn⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵,(即a1+a2++an=f(n))求an，用作差法：an=S1一S,(n>2)。已知aa12nnfnSaSa；有时也可直接求a。nnnnnn求用累加法：⑷若a一a=求用累加法：nn+1nnannaaannaa1aaa，用累乘法：a=n.n一1.⑸已知，用累乘法：a=n.n一1.1⑹已知递推关系求a，用构造法(构造等差、等比数列)。n推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a；形n如a=ka+kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求。na (2)形如a(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是5④=[④=[ 等差数列前n和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：nn3、求差(商)法n212222nn2112nnn(14(n=1)∴a=〈 nnn+13n+1 1nSSn1nn4、叠乘法n1aaa21nn5、等差型递推公式anann3nan166、等比型递推公式(1)nlanJ111 nn-110nn>2时，a-a=f(2))…………|…………|n1n0[练习]nnn-1n n2 n1n+1nn7、倒数法nna2a2a11-11-=a2nnnn-1nn-1aa22n7①①n2∴a= (2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。解S=n2(1+2+3+…+n)-(13+23+33+…+n3)22．数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 (3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。nnnn112nnnnn1∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1n(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．n(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．8把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。nn②①-②，得(1-x)S=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn