现代数字信号处理课后习题解答

现代数字信号处理课后习题解答1、求证：R(t,t.)错误!未定义书签。习题mmxixj证明：R(t,t)xijE(x.,xj)xxit,t)dxdxE[&m),(xjimx(xm),(mixjixj(xxxmxmijixjjR(t,t)mmmxijxixjR(t,t)mmxijxixj(t,t.)mx.mx.x.jp(x,x,jijiji)])p(x,x,t,t)dxdxijijijm)p(x,x,t,t)dxdx.xjmmx.iji)p(xijxj2、令x（n）和y（n）不是相关的随机信号，试证:若w(n)x(n)y(n)，证明：（1）(n)]y(n)]（2）2E[((n)E{[x(n)E[x(n)E[x(n)2x2x2y2ym)2]y(n)(mxE[x(n)E[x(n)]E[y(n)]mmxym)(y(n)xm)2]E[y(n)x2[mm)》}ym)]2ymmxm)2]ymy2E[x(n)m)y(n)xm)]y3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，2y即证明：mm]xy①当0时，R(0)D,C(0)xxx②当时，R()m2,C()xxx0。证明：（1）R()E[x(t)x(t)](0)x2(t)p(x,)dxx(t)x(t)p(x,x,)dxdx1212E[x2]Dx()R()m2xx(0)R(0)m2xxDxm2x2x现代数字信号处理课后习题解答(2)R()limR()limE[xxR()limR()limE[xx]

xxijE(xjE气)4、设随机信号x(t)AcostBsint,0 0C()limR()m2]xxxlimR()m2xxm2m20xx为正常数，A、B为相互独立的随机变量，且E(A)E(B)0,0D(A)D(B)2.试讨论x(t)的平稳性。解：(1)均值为mE[x(t)]xE[AcosE[Acos0mE[x(t)]xE[AcosE[Acos0tBsint]0E[Bsin0t]0t]0(2)自相关函数为(t,t )E[x(t),x(tE[AcostBs0in0t)Acos(t,t )E[x(t),x(tE[AcostBs0in0t)Acos (t )Bsin0(t0E[A2costcos(t)ABcostsin(t)00ABsintcos(t)B2sintsin(t)]00E[A2costcos(t)]E[ABcostsin(t00E[ABsiitcos(t)]E[B2sintsin(t)]000))]0)])]A、B相互独立EABEAEB故：R(t,t)x故：R(t,t)x2cos与起始时间无关(3)Dx可见(3)Dx可见x该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限,故其为一个广义平稳的随机信号。设随机信号x(t)AtBt2,A、B是两个相互独立的随机变量，且E(A)4,E(B)7,D(A)0.1,D(B)2。求x(t)的均值、方差、相关函数和协方差函数。解：(1)m(t)E[x(t)]E[AtBt2]xE[At]E[Bt2]4t712(2)现代数字信号处理课后习题解答2Dxm2x xO.H22Dxm2x xO.H256t32t4(4t7t2)2E[A2t2B2t42ABt3]15.t47t4E[A2t2]E[B2t4]2E[ABt315.t47t40.t256t32t4(3)R(t,t)E[x(t),x(t)]xE[AtBt2)A(t)B(t)2)]E[A2t(t)B2t2(t)2ABt(t)2ABt2(t)]0.t(t)2t2(t)228t(t)22812(t)TOC\o"1-5"\h\zC(t,t)R(t,t)m(t)m(t)xxxxm(t)E[x(t)]xE[A(t)B(t)2]4(t)7(t)2C(t,t)0.1t(t)2t2(t)228t(t)228t2(t)(4t7t2)[4t)7(t)2]廿由人膈w仁小x6、若两个随机信号x(t),15.9t(t)47t2(t)2y(t)分别为x(t)A(t)cost,y(t)B(t)silt,其中A(t),B(t)是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明z(t)x(t)y(t)是广义平稳的。证明：E[z(t)]=E[A(t)cost+B(t)sint]=E[A(t)]cost+E[B(t)]sint=0R(t,t)*E[z(t)z(t+]z=E([A(t)cost+B(t)sint)][A(t+t)+B(t+)sin(t+]}=E[costcos(t)A(t)A(t+)+sintsin()tB+t)B(t+)]=costcos(t)R()+sintsin)R+()AB=costR(t)AD(z)=R(0)=R(0)=D(A)<zA均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的7、设随机信号x(t)Acos(t)，式中A、为统计独立的随机变量，在[0,2]上均匀分布。试0讨论x(t)的遍历性.解：(1)首先讨论x(t)的平稳性p(x)p()p()一p(x)p()p()一x,x1dx——dR(t,txR(t,txE[x(t)]x(t)p(x)dxm(t)xE[x(t)]x(t)p(x)dxAcos(t0)p()——dxAcos(t0)p()d2Acos(t」d2Acos(t」d0022AE[A]0—-sin(t)220000m(t)xE[x(t),x(t)]TOC\o"1-5"\h\zAcos(t)Acos((t))p()dx与t无关EA22与t无关022ooEA2一2cos4oDAcos2oDxR(0)DxR(0)x故x(t)是平稳随机信号(2)遍历性-…1mTlim一1x(t)dtxT2TT1lim一Acos(t)dt0m(t)t2Tt0xRT()lim-1Tx(t)x(t)dtxT2TT1lim——T[Acos(t)Acos((t))]dtT2TT001lim——TA2-[cos(2t2)cos]dtT2TT2000A2一cos20R()x故x(t)不具有广义遍历性8、随机序列x(n)cos(n0),在［8、随机序列x(n)cos(n0解：由已知得现代数字信号处理课后习题解答p()——，0 220,其它p()——，0 220,其它mnEx(n)cos(n)p()dx02上cos(n)d020—2[cosncossin0200nsin]d0错误！R(m,n)xE[x(m),x(n)]Id00x2错误！R(m,n)xE[x(m),x(n)]Id00x2-1l[cos(mn)cos(m021 24 0Lcos21—cos2R(0)x2cos(m002(mn)d0n)0)cos(n)p()错误!Dxn)]dcos(m均值为与t均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳9、若正态随机信号9、若正态随机信号x(t)的相关函数为:①R()bet1;x试分别写出随机变量x(t)试分别写出随机变量x(t),x(t1),x(t2)的协方差矩阵。解：由已知得解：由已知得()R()mx()R()mxR()xC()R()R()x x x()0R()x当R()be2"时，C()Rx()0R()x现代数字信号处理课后习题解答C(0)C①C⑵R(0)R①R⑵XXXXXXCC⑴C(0)C①bR①R(0)R⑴1XXXXXXCX⑵CX①CX(0)RX⑵RX①RX(0)1e11e21e2sin②当R()b!^时，Cxsin②当R()b!^时，Cx())0Rx()RX(0)R⑴R(2) 100XXRX①R(0)R(1)b010XXRX⑵R⑴R(0) 001XXRxC210、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数?-2i6323；②e(1)2;)；④——124,-；J6⑤—⑥丁1解：由已知得，S()S(X.x.S()s(xxS()0x实函数的功率谱函数为实偶函数，))应满足:(a),S2()S()S()(d)xxx(c)则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足(d);②不满足(a);③SX(0)(0)0不满足(c);④不满足(b);⑥不满足(a)。11、设x