理论力学课件二五

第十七章拉格朗日方程1

动力学本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。2§17–1动力学普遍方程§17–2拉格朗日第二类方程§17–3拉格朗日第二类方程的积分第十七章拉格朗日方程3

动力学设质点系有n个质点，第i个质点

若质点系受有理想约束，将作为主动力处理，则：解析式：§17-1动力学普遍方程动力学普遍方程。4

动力学

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。

在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。5

动力学由动力学普遍方程：系统为二自由度，取互不相关的为独立虚位移，且，所以解得：6动力学§17-2拉格朗日第二类方程设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。7

动力学代入质点系动力学普遍方程，得：8

动力学称 为广义力

广义惯性力9

动力学广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此为简化计算,需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。10第二式可比较较(a)式先对ql求偏导数再再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结结论得出。动力学拉格朗日第二二类动力学方方程，简称拉拉格朗日方程程。11动力学如果作用于质质点系的力是是有势力，则则广义力可可用质点系的的势能来表达达。而拉氏方程为：引入拉格朗日日函数：L=T-U则：保守系统的拉拉格朗日方程程。12动力学应用拉氏方程程解题的步骤骤：1.判定质点系的的自由度k，选取适宜的广广义坐标。必必须注意：不不能遗漏独立立的坐标，也也不能有多余余的（不独立立）坐标。2.计算质点系的的动能T，表示为广义速速度和广义坐坐标的函数。。3.计算广义力，，计计算公式为：：或若主动力为有有势力，须将将势能U表示为广义坐坐标的函数。。4.建立拉氏方程程并加以整理理，得出k个二阶常微分分方程。5.求出上述一组组微分方程的的积分。13动力学[例1]水平面内运动动的行星齿轮轮机构。均质质杆OA：重P，可绕O点转动；均质质小齿轮：重重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮轮滚动。系统统初始静止，，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力力偶M作用后，求系系杆OA的运动方程。。所受约束皆为为完整、理想想、定常的，，可取OA杆转角为广义坐标。。解：图示机构只只有一个自由由度14动力学15动力学学代入拉拉氏方方程：：积分，，得：：故：代入初始条件，t=0时，得16动力学学[例2]与刚度度为k的弹簧簧相连连的滑滑块A，质量为为m1,可在光光滑水水平面面上滑滑动。。滑块块A上又连连一单单摆，，摆长长l，摆锤质质量为为m2，试列出出该系系统的的运动动微分分方程程。解：将弹弹簧力力计入入主动动力，，则系系统成成为具具有完完整、、理想想约束束的二二自由由度系系统。。保守守系统统。取取x,为广义义坐标标，x轴原点位位于弹弹簧自自然长长度位位置，，逆时针针转向向为正正。17动力学学系统动能：18动力学学系统势势能：（以以弹簧簧原长长为弹弹性势势能零零点，，滑块块A所在平平面为为重力力势能能零点点）拉格朗朗日函函数：：19动力学学代入：并适当化简得：20动力学学系统的的运动动微分分方程程。上式为为系统统在平平衡位位置(x=0,=0)附近微微幅运运动的的微分分方程程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时<<1o,cos1,sin

，略去二阶以上无穷小量，则21动力学学§17-3拉格朗朗日第第二类类方程程的积积分对于保保守系系统，，可以以得到到拉格格朗日日方程程的某某些统统一形形式的的首次次积分分，从从而使使得保保守系系统动动力学学问题题的求求解过过程进进一步步简化化。保守系系统拉拉格朗朗日方方程的的首次次积分分包括括：能能量积积分、、循环环积分分。一、能能量积积分设系统统所受受的主主动力力是有有势力力，且且拉格格朗日日函数数L=T-U中不显显含t，则22动力学学广义能能量积积分。。保守系系统的的拉格格朗日日函数数不显显含时时间t时，保保守系系统的的广义能能量守守恒。可以以证明明，当当系统统约束束为定定常时时，上上式为为=023系统的的广义义能量量积分分式就就是系系统的的机械械能守守恒方方程式式。动力学学二、循循环积积分如果拉拉格朗朗日函函数L中不显显含某某一广广义坐坐标qr,则该坐坐标称称为保保守系系统的的循环坐坐标或或可遗遗坐标标。当为系统的循环坐标时，必有于是拉拉氏方方程成成为24动力学学积分得：循环积积分因L=T-U，而U中不显含，故上式可写成Pr称为广广义动动量，，因此此循环环积分分也可可称为为系统统的广广义动动量积积分。。保守系系统对对应于于循环环坐标标的广广义动动量守守恒。。一个系系统的的能量量积分分只可可能有有一个个；而而循环环积分分可能能不止止一个个，有有几个个循环环坐标标，便便有几几个相相应的的循环环积分分。能量积积分和和循环环积分分都是是由保保守系系统拉拉格朗朗日方方程积积分一一次得得到的的，它它们都都是比比拉格格朗日日方程程低一一阶的的微分分方程程。25动力学学[例3]楔形体体重P，斜面倾倾角，置于于光滑滑水平平面上上。均均质圆圆柱体体重Q，半径为为r，在楔形体体的斜斜面上上只滚滚不滑滑。初初始系系统静静止，，且圆圆柱体体位于于斜面面最高高点。。试求求：(1)系统的的运动动微分分方程程；(2)楔形体体的加加速度度；(3)系统的的能量量积分分与循循环积积分。。解：研究楔楔形体体与圆圆柱体体组成成的系系统。。系统统受理理想、、完整整、定定常约约束，，具有有两个个自由由度。。取广广义坐坐标为为x,s；各坐标标原点点均在在初始始位置置。26动力学学系统的的动能能：系统的的势能能：取水平平面为为重力力势能能零点点。拉格朗朗日函函数：：27动力学学代入保保守系系统拉拉氏方方程，，并适适当化化简，，得到到系统统的运运动微微分方方程。。（d）解得楔楔形体体的加加速度度为拉格朗朗日函函数L中不显显含t，故系统存存在能能量积积分。。28动力学学当t=0时，，x=

s=0,代入上式中，得

29动力学学由于拉