多维随机变量的特征值

多维随机变量的特征值第一页，共二十六页，2022年，8月28日数学期望若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望第二页，共二十六页，2022年，8月28日例1设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:例2随机变量X和Y相互独立，联合密度函数为求Z=X+Y的数学期望第三页，共二十六页，2022年，8月28日解：联合密度函数为练习：181页6、8第四页，共二十六页，2022年，8月28日1.E(c)=c,c为常数;2、E(cX)=cE(X),c为常数;数学期望的性质3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);5、随机变量X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)推广E(A+B+…+Z)=E(A)+E(B)+…+E(Z);和的期望等于期望的和第五页，共二十六页，2022年，8月28日若E(X),E(X2)存在，则E[X-E(X)]2记为D(X),或Var(X).称 为随机变量的标准差可见

重要性质

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

方差第六页，共二十六页，2022年，8月28日方差的性质(1)D(c)=0即P{X=C}=1D(X)=0;(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；(3)若X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);第七页，共二十六页，2022年，8月28日例3若X~b(n,p)二项分布,求期望和方差解:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则0-1分布相互独立第八页，共二十六页，2022年，8月28日例4设随机变量XU(0,6)，

YN(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互独立，求随机变量

U=X-2Y+3Z的数学期望、方差解E(X)=(0+6)/2=3D(X)=(6-0)2/12E(Y)=1,D(Y)=3;E(Z)=1/3,D(Z)=1/9第九页，共二十六页，2022年，8月28日第十页，共二十六页，2022年，8月28日证明:X，Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)第十一页，共二十六页，2022年，8月28日证明:设(X,Y)~f(x,y)X、Y相互独立第十二页，共二十六页，2022年，8月28日证明:设(X,Y)~f(x,y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)第十三页，共二十六页，2022年，8月28日协方差，相关系数

一）协方差定义与性质1.定义若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.为X与Y的协方差,易见COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).

当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。？“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？书：170页第十四页，共二十六页，2022年，8月28日二.协方差性质

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).第十五页，共二十六页，2022年，8月28日例题设二维变量（X,Y）的联合密度函数为

试求：Cov（X,Y）练习设随机变量Xb（12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差由公式COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).我们需要求解E(XY)、E(X)、E(Y)COV(aX+bY,cX+dY)=?第十六页，共二十六页，2022年，8月28日二）.相关系数

1.定义若X，Y的方差和协方差均存在,且D(X)>0,D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数.

注：若记称为X和Y的标准化，易知EX*=0，EY*=0.且第十七页，共二十六页，2022年，8月28日2.相关系数的性质

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关XY=0;例设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数D1x=y解第十八页，共二十六页，2022年，8月28日第十九页，共二十六页，2022年，8月28日可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。第二十页，共二十六页，2022年，8月28日四.协方差矩阵1.定义设X1，…,Xn为n个r.v.,记cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量X1，…,Xn的协方差矩阵C。即作业：183页17、19第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日关系图Var(X)=E(X2)-E2(X)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2COV(X,Y).期望E(X)方差E[X-E(X)]2协方差COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.相关系数第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日以上EX的结果说明了什么？解1)2)第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);证明：Cov(X+Y,Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y,Z)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).第二十五页，共二十六页，2022年，8月28日D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).证明