力学竞赛动力学1课件

动力学普遍定理及达朗伯原理

1.1—质点系及刚体动量的计算1基本物理量的计算质点系质心的位置矢量及坐标1OO1ABOvABOvv？1求：图示系统的总动量。？2求：图示系统的动量及质心的速度。miri′Oyxzriy′x′z′CvirC由质心坐标公式，有图中杆长为l，质量为m，均质圆盘半径为R，质量为m，圆心在A点。已知杆OA以角速度绕O轴转动，试求如下几种情况下圆盘对定点O的动量矩：（1）圆盘固结于OA杆上。（2）圆盘绕轴A相对于杆以角速度–

转动。（3）圆盘绕轴A相对于杆以角速度转动。（4）圆盘以绝对角速度绕A轴转动。（5）圆盘以绝对角速度–绕A轴转动。OA1.3质点系动能和力的功的计算质点系的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能c.平面运动刚体的动能v图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。车轮可视为均质圆盘，半径为R

，两车轮间的距离为R。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。O1O2质量为m、半径为3R的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为m，半径为R，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。求以下三种情况下系统的动能。（1）大圆环固定。（2）大圆环绕中心定轴转动。（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。O1O2（1）大圆环固定。O1O2（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。O1O2计算系统的动能：由运动学可知：建立随质心O1平动的坐标系O1x1y1x1y1O1O2EvO1vO2rvErO1O2计算系统的动能：O1O2EvO1vO2rvErOBCFFsFNMOBCFS滚动摩阻的功：拉力F的功：

功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。例题OCBPOACBPF例题已知：轮O质量为m，P，f。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。FTFNmg解：取轮O为研究对象主动力的功：由动能定理得：OCBPOACBPFFTFNmg由动能定理得：解得：

其中：如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点O简化，得在该平面的一力和一力偶。FIR

＝－maCMIO

＝－Jz

或向质心C简化FIR

＝－maCMIC

＝－JC

3、刚体作平面运动

如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。FIR

＝－maCMIC

＝－JC

★

质刚体绕定轴转动时，轴承附加动反力等于零的条件为：刚体的转轴是中心惯性主轴。即：（1）转轴通过质心；（2）惯性积等于零。动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法2质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质确定：系统是单自由度还是多自由度；是一处约束还是多处约束；是理想约束还是非理想约束。

对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，求动约束力。

对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理以及达朗伯原理。

对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。BO2AO130oDWWWMsDO解：1、确定物块的加速度将所有运动量都表示成广义坐标sD的形式为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到当M>Wr/2，aD>0，物块向上运动DBO2WWFTFByFBxM

解：2、确定圆轮A和B之间绳索的拉力AO1DWMBO230oWW

解除圆轮B轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理根据运动学关系DBO2WWFTFByFBxM

解：3、确定圆轮B轴承处的动约束力对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用质心运动定理AO30°C例题均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀质细杆OA长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。求：杆运动到图示位置时的角速度。解：首先，讨论系统的自由度、约束以及广义坐标的选择。自由度：2约束：多约束广义坐标：xO，xAO30°C解：取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为vO。杆转动的角速度为。AO30°CvCA对系统整体应用动能定理由刚体的平面运动分析得AO30°CAO30°CvCA由系统在水平方向的动量守恒得将vO代入动能定理方程可解得OA0P0APC例题已知：M，R，m。初始系统静止。求：小虫在圆环上相对地爬行一周，圆环自转角度。解：取系统为研究对象，系统质心为C点。因系统不受外力作用，所以C点不动。另外，系统对C点的动量矩守恒，且为0。小虫对C点的动量矩：圆环对C点的动量矩：OA0P0APC小虫对C点的动量矩：圆环对C点的动量矩：由系统动量矩守恒OA0P0APC由系统动量矩守恒利用初始条件：=0，=0，积分后得质量为m和2m，长度分别为l和2l

的匀质细杆OA和AB在A点光滑铰接，OA杆的A端为光滑固定铰链，AB杆的B端放在光滑水平面上。初瞬时，OA杆水平，AB杆铅直。由于初位移的微小扰动，AB杆的B端无初速地向右滑动，试求当OA杆运动到铅垂位置时，A点处的约束反力。ABO解:(1)

取系统为研究对象，由动能定理得：FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAy′FAx′(2)

取OA

杆为研究对象(3)

取AB杆为研究对象FAyMICABC2OAAB21(4)

对AB杆进行运动分析取A点为基点，研究B点取A点为基点，研究C点FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAy′FAx′(2)

取OA杆为研究对象(3)

取AB杆为研究对象FAyMICFAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAy′FAx′FAy解得：MIC

解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。突然解除约束问题的特点系统的自由度一般会增加；W=mgOABC例题已知：OA=OB=AB=l。求：剪断OB绳瞬时，OA绳的张力。5

关于突然解除约束问题BW=mgACFA解：取AB杆为研究对象应用平面运动微分方程60°aAaCAaA应用平面运动加速度分析，取A为基点。ACBBW=mgACFA60°ACaAaCAaA解得：请问能否直接对A点列写动量矩方程？W=mgOABCW=mgABC

请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数为k

的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计算方法是否还不变？6关于动量矩定理的应用miri′Oyxzriy′x′z′AvirAC上式表明质点系对动点的动量矩LA

和相对动量矩

在一般情况下不相等，因此在计算质点系的动量矩时，必须区分质点系的运动是相对惯性系的绝对运动，还是相对平移坐标系的相对运动。只是对于点A静止（vA=0)，或与质心重合（)，以及vA与相平行的特殊情形下，两者是相等的。质点系对动点的动量矩定理质点系对动点的动量矩对时间的导数以及动点速度与质点系动量的矢积这和，等于质点系的外力对动点的矩。

上式表明，以一些特殊点为矩心时，动量矩定理仍具有简洁的形式。如：（1）当A为固定点时；（2）当A为系统质心时；（3）当A为速度瞬心，且到质心C的距离保持不变时。BACmgPFNAFNBPCF质点系对动点的相对动量矩对时间的导数，等于质点系的外力以及全部质量集中于质心处的质点的牵连惯性力对该动点的合力矩。在下述情形下，其附加项不出现：（1）动矩心为加速度瞬心；（2）动矩心的加速度矢通过质心；（3）动矩心的加速度矢与质心的相对矢径平行。质点系对动点的相对动量矩定理相关的趣味力学问题几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？？

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艺术体操运动员使圈高速转动，并在地面上向前抛出，不久圆圈可自动返回到运动员跟前。试分析圈的运动。v00Cv00C解：取圆圈为研究对象FNmgF第一阶段

这说明由于摩擦力的作用，圆圈的质心速度越来越小，其转动的角速度也越来越小。由平面运动微分方程得解得：C第二阶段v﹡﹡E从接触点E的速度等于零被满足的那个时刻开始，从此以后圆圈相对地面没有滑动，所以不在有摩擦力。又因为在水平方向没有其它外力作用，所以圆圈将以等角速度无滑动地滚动下去。Cv﹡﹡E

表明圆圈相对地面没有滑动，所以不在有摩擦力。又因为在水平方向没有其它外力作用，所以圆圈将以等角速度无滑动地滚动下去。E﹡CCv﹡﹡v﹡圆圈将连滚带滑地往回滚。圆圈将无滑动地往回滚。v00CllOAmm

研究：1、应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；跷板2、应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；3、确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。如图所示为玩具跷板简图。在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为

的刚性臂。臂端分别安装的质量均为m的小球。两臂等长均为。钉长OA＝d

，分别与两臂所夹角的范围。将木钉的尖端O放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。跷板OAmmllC2mg

解：一般情形下，跷板绕点O作定点运动。本例主要研究二维运动，因此，这是一个自由度的理想约束系统。取为广义坐标。以支点O作为零势能位置1.跷板的静平衡位置OAmmllC2mgOAmmllC2mg2.跷板的二维微振动方程为了计算系统的动能，令l1为每个小球到支点O的距离，系统的总动能为系统的总势能为由系统的机械能守恒，得将上式对时间求导，并注意到：得跷板的二维微振动方程OAmmllC2mg3.跷板的固有频率不倒瓮

图示为一个简单的“不倒瓮”模型，由空壳ABDE和配重C组成。不计空壳质量，其底部轮廓线ADB是半径为R的圆弧，且充分粗糙。配重C在空壳内的轴上，质量为M。若要求“不倒瓮”直立时平衡且稳定，则