物理课后习题解答

8.6假定N个粒子的速率分布函数为

a0<v<v0

/（V）

0v>v0

（1）作出速率分布曲线；（2）由「求常数。；（3）求粒子的平均速率。

解：⑴

(2)由归一化条件，有

£f（v）dv=J"adv=1

(3)粒子的平均速率为

v=Jvf（y）dv-『vadv=g

8.9在容积为30x10-3/的容器中，贮有20x10-3必的气体，其压强为

50.7xl（）3pa。试求该气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

m

解：由pv=—RT,有

M

I2RT

M

2x50.7x101x30x101=

20x10-3/

440(〃“s)

=478(加/s)

8.14温度为27°c时，1机。/氧气具有多少平动动能？多少转动动能？

解：气体的平动动能为

E,=fT=2x8.31X300=3.74X1()3(J)

22

气体的转动动能为

2?

E,.=-=-x8.31x300=2.49xlO3(J)

22

8.15在室温300K时，1机。/氢气的内能是多少？1g氮气的内能是多少？

解：氢气的内能为

55a

EH,=1/?T=1X8.31X300=6.23X103(./)

氮气的内能为

1x10

EN^—RT^,X-X8.31X300=223(J)

2

//28xl()T2

7.7一定质量气体从外界吸收热量1731.81,并保持在压强为1.013x1()5下，体积

从10L膨胀到15L,问气体对外做功多少？内能增加多少？

解：在等压条件下，气体对外做功

A="(匕一匕)=1.013x1()5x(15—10)x10-3=507(J)

气体的内能增加为

AE=2-/1=1713.8-507=1206.8(7)

3

7.8质量为0.02依的氧气(3,=1/?),温度由17°。升为27°C,若在升温过程中：

(1)体积保持不变；(2)压强保持不变；(3)与外界不交换热量。试分别计算各过程中气

体吸收的热量、内能的改变和对外所做的功。

解：已知氯气的摩尔质量M=4x10-3依加。/,则0.02口氧气的摩尔数

v=-丁=5mol,内能变化

4x10-3

3

\E=vCv(T2-T,)=5x-x8.31x(300-290)=6237

(1)体积不变时，4=0,且

Q=AE+A=AE=6231/

(2)压强不变时

Q=vCp(T2-7,)=5X1X8.31X(300-290)=10407

A=Q-^E=1040-623=4167

(3)与外界不交换热量，。=0,则

A=-AE=-623J

7.1210〃?。/单原子理想气体，在压缩过程中外界对它做功209J,其温度升高1K,

试求气体吸收的热量与内能的增量，此过程中气体的摩尔热容是多少？

解：内能增量

33

AE=(皿=v-RKT=10x-x8.31xl=124.7J

v22

由于A=-209J,则吸热为

Q=AE+A=124.7-209=-84.3J

过程中的摩尔热容为

7.16利用过程方程直接证明在绝热线和等温线的交点A处，绝热线斜率的绝对值比等

温线斜率的绝对值大。

解：绝热过程中，pVr=C

7.17如题图7.17中AB,DC是绝热线，COA是等温线。已知系统在COA中放热

100J,048的面积是3(U,OOC的面积是70J,试问在8。。过程中系统式吸热还是

放热？热量是多少？

解：整个循环中，AE=0,

=

A^ODCO-5OAfiO=70-30=40(7)

且有。=A+A£

Q=QBOD+QCOA=QBOD-100=40(7)=A

故BOD过程中吸热为

08。。=4一0侬=40-（-100）=140"）

题图7.17题图7.22

7.22如题图7.22所示，1，〃。/单原子理想气体所经历的循环过程，其中为等温线,

假定匕/匕=2,求循环的效率。

解在c-a的等体过程中，气体吸热为

33

Qea=Qv=Cv(Ta-Tc)=-R(Ta-Tc)=-(pa-pc”

在a-匕等温过程中，气体吸热为

Qah=Qr=RTu\n^-=paVl\n^

在匕-c等压过程中，气体放热为

QM=Q.==g砥，-4)=^。，(匕一乂)

整个循环中AE=O,Q=A£+A=A

A_I_Q放_।_Qbc

。吸Q吸Qca+Qah

jp((v2-v,)

3K

-Pc)K+P"n-

己知P,M=PcV2'所以

—5”=1J=13.4%

7=1

3(V2-V1)+2V2ln^-3%+4VJn2

7.26一卡诺热机工作于温度为1000K与300K的两个热源之间，如果(1)将高温热源的

温度提高100K；(2)将低温热源的温度降低100K,试问理论上热机的效率各增加多少？

解：卡诺热机工作在1000K与300K之间时，其效率为

300

=70%

1000

(1)若把高温热源的温度提高100K时，其效率为

彷=1一些=1一当=73%

1(1100

即效率提高了7—〃=3%

(2)若把低温热源的温度降低100K时，其效率为

T200

%=1-彳-=1—正面=80%即效率提高了%-V=1。％

6.3一物体沿x轴作谐振动，振幅为10.0c〃?周期为2.0s,在，=0时，坐标为5.0cm,

且向x轴负向运动，求在x=-6.0c〃z处，沿x轴负方向运动时，物体的速度和加速度以及

它从这个位置回到平衡位置所需要的最短时间。

27r

解；已知T=2s,所以力=——=n

T

设振动方程为x=10cos(R+9)c/n

则速度为v=一10;rsin(m+e)

加速度为a=-10/cos(m+(p)

T[

f=0时，x=5cm,v<0,则由旋转矢量法可知，其振动初相为(p=—,

3

所以x-10cos(^r+y)cm

设在时刻，，振子位于X=-6CM处，且向九轴负方向运动，对应于旋转矢量图,

则有cos(m+()=一得，所以sin(m+?)=]

所以v=-10^sin(^r+y)=-25Acm/s

a=-10乃2cos(m+§=59.92cm/s2

设弹簧振子回到平衡位置的时刻为f”,对应旋转矢量图可知

••713万

加d---=——

32

故从上述位置回到平衡位置所需时间为

t-t-{(^-~y)_[arccos(—|)-y]}/=0.8s

6.6喇叭膜片做谐振动，频率为440"z，其最大位移为0.75机机，试求：(1)角频率;

(2)最大速率；(3)最大加速度。

解：设膜片的振动方程为x=Acos(W+e)

(1)G)=T.71V=2%x440=880乃

3

(2)vm-MA-880^-x0.75x10=2.07m/s

(3)am=苏&=(880万)2x0.75x10-3=573x]03机

6.14一质量为10g的物体做简谐振动，其振幅为24c〃z,周期为4.0s。当f=0时，位

移为24c机。试求(1)f=0.5s时，物体所在的位置；(2)f=0.5s时，物体所受力的大小

和方向；(3)由起始位置运动到x=0.12〃z处所需的最少时间；(4)在x=0.12机处，物体

的速度、动能、势能和总能量。

解：已知A=0.24〃？，T=4s,m=0.0Kg

当f=0,x=0.24〃?=A,因而该谐振动的初相为0=0,所以，谐振动的振动

t7T

方程为x=0.24cos2%—=0.24cos—f

42

(1)当f=0.5s时，物体所在的位置为

7T

x.=0.24cos—=0.17m

4

(2)由运动方程可得

a=-0.24(-)2cos-t

22

所以，f=0.5s时，物体所受的合力大小为

F=/胴=0.01x0.24x(y)2xcos?=4.19xIO-(N)

其方向为x轴负方向，指向平衡位置。

rrjr

(3)由旋转矢量法可知，x=0.12〃?时，其相位为=2〃万土。，〃为整数

23

因此，由起始位置运动到x=0.12/7/处所需的最少时间为

2

/=§=0.667(5)

(4)在x=0.12机处，物体的速度为

V=-0.24(y)sin(yx|)=-0.326m/s

物体的动能为

4

后卜=gm>2=；x0.01x(0.326)2

=533X10-J

在x=0处，物体所具有的动能即为总机械能，所以

E=^m(Aa>)2=^xO.Olx(0.24)2x(^)2=7.1IxlO-4J

在x=0.12机处，物体的势能为

4

Ep=E-Ek=(7.11-5.33)x10-4=i.78xlO^J

6.16•物体悬挂于弹簧下端并做谐振动，当物体位移为振幅的一半时，这个振动系统的动

能占总能量的多大部分？势能占多大部分？又位移多大时，动能、势能各占总能量的一半？

解：当物体的位移为振幅的一半时，系统的势能为

E/E=^kA2/^kA2=-=25%

p'8/24

这时动能占总能量的部分为

13

E*/E=(E-J)/E=l-1a=75%

动能势能各占总能量一半时，有

鸟-E=-(-kA2)=-kA2=-kx2

22242

A

解得，这时位移大小为X=

V2

12.8已知某一维平面简谐波的周期T=2.5xl0-3s,振幅A=1.0x10-2机，波长

2=1.0m,沿x轴正向传播。试写出此一维平面简谐波的波函数(设f=0时，x=0处质

点在正的最大位移处)。

解：f=0时，在x=0处，质点恰好处于正的最大位移处，其振动的初相为0,振动方

程为yQ=Acos(2^,y+0)=Acos(2^y)

Y

在X轴上任取一点尸，如图，坐标为X,P点相位落后于原点，相位差为八夕二？)一，

A

其振动方程为

ttX

y=Acos(2»----A°)=Acos2^-(-------)

pTTA,

P点是任选的一点，所以波函数为

y=Acos2^-(---)=1.0xl0-2cos24(400,—x)(机)

TA

12.10波源的振动方程为y=6.0x10-2cos^f（机），它所激起的波以2.0m/s的速度

在一直线上传播，求：

（1）距波源6。/”处一点的振动方程；（2）该点与波源的相位差.

解：（1）6.0〃?处质点的相位落后于波源，相位差为

..Ax%63

A（P—CD-A/=CD----———X————71

U525

所以，该质点的振动方程为

y=6.0x102cosgf-A°）=6.0x10-2cos（y（~（机）

3

（2）相位差N（p=—71

12.12一横波沿绳子传播时的波函数为y=0.05cos（10加一4内），式中无，y以米计,

t以秒计。

（1）求次波的波长和波速；

（2）求x=0.2机处的质点，在f=ls时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？

2万

解：（1）把y=0.05cos（10^r-4OT）与波函数的标准形式y=Acos（27”----x+

A.

对比，对应项相等，即

_27r.

L7iv=10^,——=4万

2

得v=5Hz，/l=0.5〃z

贝!J〃=以=5x0.5=2.5m/s

（2）f=Ls时，x=0.2机处质点的相位为

（P=10加一4"=10TTX1-4^X0.2=9.2%

原点在f时刻相位为夕0a）=10加

若夕=夕0«）,有106=9.2万

贝f=0.92s,即原点在f=0.92s时的相位等于所求相位。

12.14一平面简谐波，沿x轴正向传播，波速为4m/s,已知位于坐标原点处的波源

的振动曲线如图12.14（a）所示。（1）写出此波的波函数；（2）试画出f=3s时刻的波形

图。

解：波速〃=4机/s,山图可知，周期T=4s,所以波长为

Z=uT=4x4=16(m)

由图可知，，=Os时刻，原点处波源处于正的最大位移处，所以波源初相°=0,其振

动方程为y=Acos(2〃w+0)=Acos2/ivt

所以波函数为y=7lcos(2^vt———x)=4cos2^-(---—)

2416

(2)把/=3s代入波函数，可得波形曲线方程为

3x

y=4cos2九"(二-——)

416

波形曲线如图12.14(b)所示。

图12.14(a)图12.14(b)

12.16已知一平面简谐波沿x轴正向传播，如图所示，周期为T=0.5s,振幅A=0.1机，

当f=0时，波源振动的位移恰好为正的最大值，若波源取做坐标原点，求：(1)沿波的传

2T2

播方向距离波源为生处质点的振动方程；(2)当，=匕时，x=3处质点的振动速度。

224

解：(1)f=波源达到正的最大位移，所以其初相为0,振动方程为

y0=0.1cos(2^y+0)=0.1cos(2万0^)=0.1COS(4M)(m)

在Z处的质点，其相位落后于波源，相位差八夕=2三、2=万，此质点振动方程为

2A2

y=O.lcos(4m—A0)=0.1cos(4^r一万)(m)

o

(2)与上述过程同理，x=3处质点的振动方程为

4

y=0.1cos(4加—-)(/72)

质点的速度v=—=-0.1x4乃sins(4加一三)=0.4^cos4^

dt2

当f0.25s时，速度为v=0.4%cos(4zrx0.25)=-0.4%(〃z/s)

2

12.20A、B为两个同振幅、同相位的相干波源，它们在同一介质中相距一，P为

2

4、B连线延长线上的任意点，如图所示。求：（1）自A、5两波源发出的波在P点引起的

两个振动的相位差；（2）尸点的合振动的振幅。

解：（1）把A、8两波源的相位用夕⑺表示。波源A在尸点引起振动，其相位落后于A

点，相位差A0=—PA,此振动的相位为

丸

21—

外（…⑴一丁P4

/t

同理，波源8在P点引起振动，其相位为

24—

<pp（t）=（p（t）--PB

A

两振动的相位差为

27r—24—

△<P=(P0)-<Pp(t)=(/)一二%)—(/)-—PB)

PAA,

2^2乃3c.

=-----AB=------x—/t=—JTI

222

（2）两振动反相，所以尸点合振动振幅等于0.

12.22如图所示，A、8两点为同一介质中的两相干平面波波源，其振幅皆为0.05加，频率

为100”z,但当A点为波峰时，8恰为波谷，设在介质中的波速为10加/s,试写出由A、B

发出的两列波传到尸点时的干涉结果。

解：设A、8两波源至P点的距离分别为八和G，如图所示。

22

八=15mr2=715+20=25m

两波的波长为2=-=—=0.1m

v100

则两波在尸点激起的两振动的相位差为

,2万/、,25-15,

卜（p=（Pi一叭--（r2一八）二一冗一2兀———=-201^

所以两波在P点干涉相消。

13.6汞弧灯发出的光通过一绿色滤光片后射到相距0.60，〃切的双缝上，在距双缝2.5〃Z

处的屏幕上出现干涉条纹。测得两相邻明纹中心的距离为2.27机加，试计算入射光的波长。

解：由双缝干涉的条纹间距公式可得

九二誓=2.27x10-=545xl。-7(⑼=547(加)

13.10用折射率〃=1.58的很薄的云母片覆盖在双缝实验中的一条缝上，这时屏上的第

七级亮条纹移动到原来的零级亮条纹的位置上。如果入射光的波长为550〃〃?，试问次云母

片的厚度为多少？

解：设云母片的厚度为d,无云母片时，零级亮条纹在屏上P点，则到达P点的光程

差为8=r2-rx=0

加上云母片后，到达尸点的两光束的光程差为

S=(r2-d+nd)-r,=(n-1)J=7/1

7%7x550x10-9

所以有=6.6(〃〃)

n-\1.58-1

13.11利用等厚干涉可以测量微小的角度。如图所示，折射率〃=1.4的劈尖状板，在

某单色光的垂直照射下，量出两相邻明条纹间距/=0.25cm,已知单色光在空气中的波长

4=700〃机，求劈尖顶角6。

解：由劈尖干涉相邻明条纹间距公式1=与可得

2nd

2_700X1Q-9

=1.0xl0-4(rarf)

2n/-2xl.4x2.5xl0-3

13.13如图所示，用紫色光观察牛顿环时，测得第左级暗环的半径〃=4mm,第攵+5

级暗环的半径八+56mm,所用平凸透镜的曲率半径R=10加，求紫光的波长和级数左。

B

解：牛顿环暗环半径为〃=J两(1)

〃+5=&k+5)fU(2)

由式(1)、(2)得

)_r:一r；6-42)x10-6=4x101⑷

5R5x10

5.=5x42

心一462—42

13.15一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上，所用光

源波长可连续变化，观察到500〃〃?和700〃〃?这两个波长的光在反射中消失。油的折射率

为1.30,玻璃的折射率为1.50,试求油膜的厚度。

解：由于在油膜的上下表面反射都有半波损失，暗纹条件为

2nd=(2女+1)乙

(1)

2nd=[2(A+1)+(2)

由式(1)和(2)解得

2,2_500x700

2=6.73x102(nnz)

-

2/7(2,-22)2x1.30x(700-500)

13.16白光垂直照射在空气中的厚度为0.40/z/n的玻璃片上，玻璃片的折射率为1.50。

试问在可见光范围内(几=400~700〃机),哪些波长的光在反射中加强？哪些波长的光在

透射中加强？

解：反射加强的条件为

2nd+-^kA(%=1,2,3,…)

2

即九=巴匹

2k-I

仅当女=3时，4为可见光波长，因此求得

c4x1.50x0.40„.、

4=------------=0.48o(z〃m)

2x3-1

透射光加强的条件即反射减弱的条件，即

2〃1+—=(2女+1)—供=1,2,3,…)

22

..And

由此得力-----

2k

皿…,4x1.50x0.40

当k=2时，Z--------------:=0.60(〃in)

2x2

业,,4x1.50x0.40

当左=o3n时l，A-------------=0.40(〃n)

2x3

13.18波长/I=500”，〃的平行光，垂直地入射到一宽度为a=1.0加机的单逢上，若在

缝的后面有一焦距为/=100c机的凸透镜，使光线聚焦于屏上，试问从衍射图样的中心到

下列各点的距离如何？（1）第一级极小，（2）第一级亮条纹的极大处，（3）第三级极小。

解：（1）由单缝衍射暗纹公式asin臼=/l,得

A500x10-9

sin(p\5x10-4

a1x10-3

从中心到第一级极小处的距离

42

(再)暗=/tan/«fsin(p}-100x5x105x{cm)

2

⑵由亮纹公式asinR=（2女+1《得

2

asin(px=(2x1+14

3/13x500x10-9

sin/7.5x10-4

2a2x1x10-3

从中心到第一级极大处的距阂为

(芭)明=/tan工/sin=100x7.5x10"=7.5x10-2gm)

323x500x10-9

1.5'10一3

(3)同理sin的

alx1。-

所以从中心到第三级极小处的距离为

“3)喑=/tan/*/sin03=lOOx1.5x10-3=0.15(cm)

13.20有一单缝，宽0.1〃加，在缝后放一焦距为50cm的凸透镜，用波长2=546〃机的

平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦平面处的屏上的中央亮条纹的宽度。如果把此装置

浸入水中，中央亮条纹宽度如何变化？

解：中央明纹的宽度由相邻中央明纹两侧的暗纹（k=±l）位置决定，根据公式

asin(p}=几有

2546x10”

sin®=5.46x10-3

aO.lxlO'3

中央明纹的宽度为

-3

x0a2/sin囚=2x50x5.46xl0=0.546(cm)

9

在水中，光的波长冗=—,所以装置浸入水中(〃=1.33)时，有

n

4

•17546x10-9

sin=—=—=------------7=4.11x10

aa1.33xO.lxlO-3

3

则(X。)水~2/sin(pi=2x50x4.11x10=0.41{{cm)

13.21在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为4的单色光第三极亮条纹与』=630/im的

单色光的第二级亮条纹恰好重合，试计算4的数值。

解：根据题意有

Qsin03=(2x3+1)—asin/=(2x2+1)一

且sin(p2=sin(p3

联立解得A=-X=5x630=450〃机

77

13.25为了测定一光栅的光栅常数，用波长为4=632.8〃〃?的氮覆激光器的激光垂直

照射光栅，做光栅的衍射光谱实验，已知第一级亮条纹出现在30。的方向上，问这光栅的光

栅常数是多大？这光栅的1厘米内有多少条缝？第二级亮条纹是否可能出现？为什么？

解：光栅常数为

丸632.8xlO-7

7a+b=-----=---1-.-2-6--6-x-1-0-4(5)

sin/sin300

每厘米内的缝数为

N=-^―=----1——-=7.9x1()3(条)

a+b1.266x10”

当女=2