探索三角形相似的条件　【核心素养提升+备课精讲精研】北师大版数学九年级上册

4.4.2

探索三角形相似的条件第四章图形的相似旧知回顾1.两角分别相等的两个三角形相似．2.下列说法中正确的个数是

(

)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．

A.4

B.3

C.2

D.1C

B自学互研探索三角形相似的判定定理2思考1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不一定相似2.可以添加什么条件来判定上述两个三角形相似？利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，

量出BC及B′C′的长，两个三角形相似活动1问题1它们的比值等于

k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？

BACB'A'C'我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，

使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，

交A′C′于点E.

∵DE∥B′C′，

∴△A′DE∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴证一证∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴归纳总结三角形相似的判定定理2：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．对于△ABC和△A′B′C′，如果AB

:A′B′＝AC

:A′C′，∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画一画.不一定会相似，如下图，△ABC和△A′B′′C′不相似．ABCA′B′B″C′活动2如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.结论如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.ACBED提示：解题时要找准对应边.自主探究三角形相似判定定理2的应用解：∵AE=1.5，AC=2，

∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴ACBED典例讲解例1根据下列条件，判断△ABC

和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，再进一步证明

，则问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.例2证明：∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.如图，在

△ABC

中，CD是边AB上的高，且，求证∠ACB=90°．ABCD∵

例3

解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.点拨练一练1.下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是(

)A.B.∠B＝∠ADEC.D.∠C＝∠AEDC2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABD＝∠ACE.

∵AB2＝DB·CE，∴△ADB∽△EAC.课堂小结两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用检测反馈1.下列条件能判断△ABC和△A′B′C′相似的是（

）C2.已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.

求证：△AEF∽△ACB.证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BFA＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，

∴△AEC∽△AFB，

又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB.3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴4.如图，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝

AE

·

AC，

求证：△ABC∽△AED.