材料力学教学课件幻灯片八

返回总目录第6章

梁的位移提要：在前面的章节中，已经讨论过受拉(压)杆件和受扭杆件的变形与位移的计算，本章将讨论受弯杆件的变形与位移的计算。由于荷载的作用，梁在各点处产生应力，同时也发生变形。这种变形的积累就形成了梁的挠曲线，在梁截面处产生挠度和转角。本章从建立挠曲线近似微分方程入手，研究了梁的位移的计算方法。为了保证梁的正常工作，梁除满足强度要求外，还须满足刚度要求。本章在研究了梁位移的基础上，将建立梁的刚度条件。除了刚度计算以外，研究梁弯曲时位移的另一个重要目的，就是解超静定梁。本章将对简单的超静定梁的解法进行讨论。与拉压超静定问题类似，解超静定梁问题，除了用平衡条件之外，还需要考虑变形协调条件。研究梁的位移变形是求解超静定梁的必要前提。工程中梁的挠度很小，所以梁变形后的轴线是一条光滑连续的曲线，对于轴线上的每一点，都可以略去其沿轴线方向的线位移分量，而认为它仅有挠度。此外，本章研究梁的变形均是在弹性范围内，材料服从胡克定律。概括地说，小变形和线弹性，这是本章研究梁的位移的两个约定条件。除了刚度计算以外，研究梁弯曲时位移的另一个重要目的，就是解超静定梁。本章将对简单的超静定梁的解法进行讨论。与拉压超静定问题类似，解超静定梁问题，除了用平衡条件之外，还需要考虑变形协调条件。研究梁的位移变形是求解超静定梁的必要前提。工程中梁的挠度很小，所以梁变形后的轴线是一条光滑连续的曲线，对于轴线上的每一点，都可以略去其沿轴线方向的线位移分量，而认为它仅有挠度。此外，本章研究梁的变形均是在弹性范围内，材料服从胡克定律。概括地说，小变形和线弹性，这是本章研究梁的位移的两个约定条件。梁在变形后，它的轴线将发生弯曲，形成一条挠曲线(deflectioncurve)。挠曲线的形状与梁内的弯矩有直接的关系。在本节里，我们将首先建立梁挠度与弯矩之间的关系，它将表现为挠度与截面弯矩的某种近似微分关系，从而为建立梁的挠曲线方程打下基础。如图6.1所示，取梁在变形前的轴线为x轴，与轴线垂直的轴为y轴，且xy平面为梁的主形心惯性平面之一。梁变形后，其轴线将在xy面内弯成一曲线即挠曲线，如图6.1所示。度量梁的位移所用的两个基本量是：轴线上的点(即横截面形心)在y方向上的线位移v，称为该点的挠度(deflection)；横截面绕其中性轴转动的角度,称为该截面的转角(slope)。由图6.1可见，某一截面转角同时也是挠曲线在该点的切线与x轴间的夹角。6.1梁的挠曲线微分方程图6.1推导梁挠曲线近似微分方程的坐标系6.1梁的挠曲线微分方程考虑到工程上的习惯，梁挠度以向下为正，所以在所取的坐标系中将y轴的正向取为向下方向，而转角以顺时针为正。可将梁变形后的挠曲线用如下函数表达式表示：

(a)式中，x为梁在变形前轴线上任意一点的横坐标，v为该点的挠度。式(a)则称为挠曲线方程或挠度函数。由于有微小变形的条件，挠曲线是一条扁平的曲线，所以梁任一横截面的转角都可以用该处挠曲线切线斜率来代表，即考虑到6.1梁的挠曲线微分方程

(b)即有

(c)式(c)称为转角方程，它表达了梁各横截面转角与挠度的关系。在第5章，我们曾建立了挠曲线曲率(curvature)与弯矩的关系，即式(5.1)所示6.1梁的挠曲线微分方程在高等数学中，我们有曲率公式如下：根据小变形假设，梁挠曲线非常平缓，与1相比是一个微量，其平方是高阶微量，所以可以略去，于是式(d)可改写为

(d)显然，由式(5.1)和式(e)我们可以建立表示挠度v与弯矩M关系的微分方程。但是，为了与选用的坐标系相适应，要先协调好弯矩与曲率的正负号问题。在我们所取的坐标系下，梁的挠曲线的曲率是以上凸为正的，而挠曲线上凸意味着梁的上部纤维受拉，对应负弯矩如图6.2(a)所示。相反，挠曲线的曲率以下凹为负，对应正弯矩如图6.2(b)所示。考虑到这种正负号的关系，我们把式(5.1)右边加上一个负号，即6.1梁的挠曲线微分方程

(e)

(f)由式(f)和式(e)可建立如下微分方程式：

(6.1)式(6.1)就是梁的挠曲线微分方程(differentialequationofthedeflectioncurve)。这是一个近似的微分关系，所以也称挠曲线近似微分方程。所谓近似，是因为忽略了剪力引起的剪切变形和在曲率表达式中略去了项。6.1梁的挠曲线微分方程图6.2曲率正负号的规定(a)梁受负弯矩作用；(b)梁受正弯矩作用6.1梁的挠曲线微分方程对上节建建立的梁梁挠曲线线近似微微分方程程求解，，就可得得到梁的的转角方方程和挠挠曲线方方程。将式(6.1)改写为对于等直直杆，E、Iz是常数，，这个微微分方程程可以直直接通过过积分求求解：(6.3)6.2用积分法法求梁的的位移(6.3b)(6.3a)式中两个积分分常数c1和d1可以利用梁的的边界条件(boundarycondition)确定，代入式式(6.3(a))和式(6.3(b))就分别得到梁的转转角方程和挠曲线线方程。在第4章讨论弯矩方程时时我们曾注意到，，在梁上不同的梁梁段，弯矩表达式式可能是各不相同同的，于是对式(6.2)需要分段积分，分分别解出各段的挠挠曲线表达式。在在这种情况下，为为了确定各个积分分常数，除了需要要利用梁的边界条条件外，还需要利利用各梁段分界处处的连续条件(continuitycondition)。6.2用积分法求梁的位位移表6-1常见支承情况下的的边界条件支承形式边界条件固定端固定铰固定铰6.2用积分法求梁的位位移表6-2常见情况下的连续续条件荷载或支承形式连续条件6.2用积分法求梁的位位移【例6.1】截面悬臂梁受均布布荷载作用，E、Iz是常数，求自由端端的挠度与转角。。分析：悬臂梁受满满布均布荷载作用用，在全梁范围内内弯矩表达式是相相同的，因此，本本题只要按式(6.2)建立挠曲线微分方方程，按式(6.3)和式(6.3)积分，并利用支座座端挠度和转角为为0的边界条件解出积积分常数，即可得得到挠曲线方程及及转角方程，进而而求得指定截面处处的挠度与转角。。6.2用积分法求梁的位位移图6.3例6.1图解：首先列弯矩方方程再进行第二次积分分得(2)则梁的挠曲线微分分方程为(1)6.2用积分法求梁的位位移将上述2个边界条件代入式式(1)和式(2)，可解出积分常数数为考虑边界条件，对对于悬臂梁来说，，悬臂端的转角和和挠度为0，即6.2用积分法求梁的位位移将上述积分常数代代入式(1)可得转角方程：(3)将积分常数代入式式(2)可得挠曲线方程：：6.2用积分法求梁的位位移(4)最后，以分别代入入式(3)和式(4)，即得梁自由端的的转角和挠度：根据挠度和转角的的正负号规定，上上述结果表明转角角为顺时针，挠度度方向为向下。【例6.2】图示为一简支梁，，试求在满跨均布布荷载作用下的挠挠曲线方程和转角角方程。分析：本题与例6.1类似，在全梁范围围内弯矩方程相同同，但边界条件不不同。考虑到简支支梁的支承条件，，本题应以梁端两两支座处的挠度为为0作为边界条件。6.2用积分法求梁的位位移图6.4例6.2图解：首先列出梁的的弯矩方程：然后写出挠曲线近近似微分方程：6.2用积分法求梁的位位移对上式进行第一次次积分得(2)(1)该梁的边界条件为为先将第1个边界条件代入式式(2)，解出积分常数c2：6.2用积分法求梁的位位移再将第2个边界条件代入式式(2)，可解出积分常数数c1：将求出的积分常数数代入式(1)和式(2)，即分别得到梁的的转角方程和挠曲曲线方程：6.2用积分法求梁的位位移【例6.3】求图6.5所示悬臂梁的挠曲曲线方程。分析：悬臂梁在x=a处受集中力作用，，在集中力两侧的的梁段上弯矩方程程将是各不相同的的。因此，本题按按式(6.2)应分段建立挠曲线线微分方程，积分分后会存在4个积分常数，边界界条件却仅有2个(参考例6.1)，不足以确定4个积分常数。所以以还必须利用集中中力F作用截面的两侧挠挠度和转角连续的的条件，方可解出出积分常数，得到到挠曲线方程及转转角方程。6.2用积分法求梁的位位移图6.5例6.3图6.2用积分法求梁的位位移解：首先，分段写写梁的弯矩方程，，即6.2用积分法求梁的位位移(0≤x≤a)(a≤x≤l)挠曲线方程也要分分段写出：(0≤x≤a)(a≤x≤l)(1)(2)对式(2)进行第一次积分和和第二次积分，得得对式(1)进行第一次积分和和第二次积分，得得(3)(4)(5)(6)6.2用积分法求梁的位位移首先，将将两个边边界条件件代入式式(3)和式(4)，可解得得再利用2个连续条条件，得得到2个方程：：6.2用积分法法求梁的的位移可解出将各个积积分常数数分别代代入式(4)和式(6)，即得到到梁在2个区间的的挠曲线线方程：：6.2用积分法法求梁的的位移(0≤x≤a)(a≤x≤l)在小变形形以及材材料线弹性(linearelasticity)的条件下下，梁的的挠度和和转角与与作用在在梁上的的荷载呈呈线性关关系。当当梁受到到几项荷荷载同时时作用时时，可以以先分别别计算各各项荷载载单独作作用时梁梁的挠度度和转角角，然后后求它们们的代数数和，就就得到了了这几项项荷载共共同作用用时的位位移。这就是叠加原理理(superpositionprinciple)在求解梁梁的位移移中的应应用。6.3按叠加原理求求梁的位移【例6.4】图6.6(a)所示简支梁受受均布荷载和和集中力偶作作用，试用叠叠加原理求梁梁跨中C处挠度和支座座处截面的转转角。分析：此梁荷荷载可以分解解为均布线荷荷载和集中力力偶两项简单单荷载，由附附录可分别查查出这两种简简单荷载各自自单独作用时时梁的位移值值，再用叠加加原理求所需需要的位移。。(c)图6.6例6.4图(a)(b)6.3按叠加原理求求梁的位移解：由附录可可得，在图6.6(b)和图6.6(c)所示荷载作用用下的位移分分别为6.3按叠加原理求求梁的位移在按照强度条条件选择梁的的截面以后，，往往还需要要确定梁的刚刚度条件，对对梁进行刚度度校核。也就就是说，梁的的变形也应该该在规定的限限度内。土木木建筑中梁的的刚度条件通通常规定为最最大挠度与与跨度的的比值应应限制在容许许挠跨比范范围内，，即6.4梁的刚度条件件梁的容许挠跨跨比一般在1/250～1/1000范围内。(6.4)【例6.5】简支梁如图6.7所示，m，，，GPa，MPa，采用20a号工字钢，试试根据梁的刚刚度条件确定定容许荷载[q]，并校核强度度。分析：简支梁在均布布荷载作用下下，跨中挠度度为最大。随随着荷载的增增加，挠度逐逐渐增加，当当跨中最大挠挠度值时时，梁所承受受的均布荷载载即为容许荷荷载[q]。然后计算在在容许荷载[q]作用下，梁内内产生的最大大正应力，，并与与容许应力比比较。。6.4梁的刚度条件件图6.7例6.5图6.4梁的刚度条件件解：首先查附附表可得20a号工字钢的cm4，cm3，由刚度条件件，跨中最大大挠度满足强度条件件。6.4梁的刚度条件件kN/mMPa＜MPa前面几章所讨讨论的轴向拉拉压杆、受扭扭转的圆杆以以及受弯曲的的梁，其约束束反力或构件件内力都能够够通过静力平平衡方程求解解，这类问题题称为静定问题(staticallydeterminateproblem)。但在工程实际际中，往往有有很多构件的的反力或内力力只用静力平平衡方程并不不能全部确定定。例如在图图6.8(a)中，一个大跨跨度的悬臂梁梁，为了减小小其最大挠度度和最大弯矩矩，可以在自自由端增加一一个支座。如如图6.8(b)所示，这样共共有、、、、、等等四个反反力，而对于于平面任意力力系，可以建建立的独立的的静力平衡方方程只有三个个，所以梁的的四个支座反反力不可能仅仅由静力平衡衡方程确定。。我们把这类不不可能仅由静静力平衡方程程直接求解的的问题称为超静定问题(staticallyindeterminateproblem)。6.5超静定梁的初初步概念与求求解在超静定结构构中，有些约约束对于维持持结构的平衡衡状态来说是是多余的，习习惯上称为多余约束(redundantconstrain)。与多余约束束相应的支座座反力称为多余未知力(redundantunknownforce)。未知力个数数减去独立的的静力平衡方方程个数所得得的结果即为为超静定次数(degreeofstaticallyindeterminateproblem)。因此，超静静定的次数就就等于多余约约束或多余未未知力的个数数。6.5超静定梁的初初步概念与求求解图6.8静定梁与超静静定梁(a)静定梁；(b)超静定梁为了求出超静定结结构的全部未知力力，除了静力平衡衡方程外，还要寻寻找补充方程。补补充方程的数目应应等于超静定次数数，也就是说等于于多余约束或多余余未知力的个数。。由于存在多余约约束，因此，杆件件的变形必然存在在一定的限制条件件，这种条件称为为变形协调条件，，由此可以求得变形几何相容方程程(geometricallycompatibilityequationofdeformation)。对于服从胡克定律律的材料，当应力力不超过比例极限限时，变形与力成成正比，于是可以以得到满足胡克定定律的物理方程，，将物理方程代入入变形几何相容方方程，即可得补充充方程。将补充方方程与静力平衡方方程联立求解，即即可求出全部未知知力。这就是综合合运用变形的物理理、几何、静力学学三方面条件求解解超静定问题的方方法，其关键在于于根据变形协调条条件来建立变形几几何相容方程。6.5超静定梁梁的初步步概念与与求解在求解超超静定结结构时，，可以假假想把某某一处的的多余约约束解除除，并在在该处施施加与所所解除的的约束相相对应的的多余未未知力，，由此得得到一个个作用有有荷载和和多余未未知力的的静定结结构，称称之为““基本结结构”。。基本结结构在多多余未知知力作用用处的位位移应满满足原超超静定结结构的约约束条件件，即变变形协调调条件。。将物理理方程代代入变形形几何相相容方程程，即可可求出多多余未知知力。求求出多余余未知力力后，构构件的内内力、应应力以及及变形均均可按照照基本结结构进行行计算。。【例6.6】试作图图6.9(a)所示超超静定定梁的的弯矩矩图。。分析：：此梁梁为一一次超超静定定梁，，需要要建立立一个个补充充方程程。解解除多多余约约束后后用反反力来来代替替，这这时所所得到到的““基本本结构构”必必须是是一个个静定定的几几何不不变体体系，，与原原结构构的变变形状状态与与受力力状态态是完完全等等价的的。由由所解解除的的多余余约束束的变变形几几何相相容方方程和和物理理关系系求出出补充充方程程，即即可求求出多多余未未知力力的大大小。。6.5超静定梁的的初步概念念与求解解：取支座座B为多余约束束，假想地地解除这个个约束，代代之假设未未知力FB，则得到如如图6.9(b)所示静定的的基本结构构。作用在在基本结构构的荷载有有两种，一一种是原有有的均布荷荷载q，另一种是是未知力FB，将这两种种荷载分别别单独作用用于基本结结构，即图图6.9(c)和图6.9(d)。根据叠加加原理，则则B端竖向线位位移为6.5超静定梁的的初步概念念与求解式中，和和分分别表表示原有荷荷载q和未知力FB各自单独作作用于基本本结构时在在B端引起的竖竖向线位移移。由于基本结结构与原结结构的变形形相同，根根据原结构构支座B的边界条件件有(a)即6.5超静定梁的初步概概念与求解(b)(c)式(c)即为建立的补充方方程。由附录可得：将和和代代入式(c)，可得由于FB为正号，表明原来来假设的指向是正正确的。求出多余未知力FB以后，即可按基本本结构图6.9(b)，由静力平衡方程程求出梁的其余支支座反力为6.5超静定梁的初步概概念与求解如图6.9(f)所示，最大弯矩出出现在剪力为零的的截面，而跨中弯弯矩为图6.9超静定梁的求解(c)原有均布荷载单独独

作用时的位移移(d)未知力单独

作用用时的位移(e)FS图(f)M图(b)基本结构(a)原结构6.5超静定梁的初步概概念与求解建立这一方程应用用了梁的线弹性和和微小变形的假设设，所以这一方程程只适用于线弹性性和小变形情况。。对这一方程进行行积分，并利用梁梁的边界条件(当梁的弯矩方程分分段表示时还要利利用梁挠度与转角角的连续条件)确定积分常数，就就可以得到梁的挠挠曲线方程和转角角方程。在小变形和材料线线弹性的约定条件件下，在求解梁的的位移时可以利用用叠加原理。6.6小