静态场及其边值问题课件

第4章静电场分析主要内容：1.建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程及电介质的特性方程2.将静电场的求解归结为电位问题的求解，导出泊松方程和拉普拉斯方程3.静电场问题在工程中的应用：电容的计算，电场能量及静电力的计算。1本章章节安排如下：4.1静电场分析的基本变量4.2真空中静电场的基本方程4.3电位4.4泊松方程4.5电介质的极化极化强度4.6介质中的高斯定律边界条件4.7恒定电场分析4.8静电场基本方程的应用24.1静电场分析的基本变量

静电场是由静止电荷(或恒定的电荷)产生的，所以电荷分布是静电场的源变量。它是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。

电场强度是场变量，它表示电场对带电质点产生作用的能力。

物理学知识告诉我们，任何物质都是由分别带正电荷(原子核)负电荷(电子)的粒子组成的，这些带电粒子之间存在相互作用。当物质被引入电磁场时，它们将和电磁场产生相互作用而改变其状态。从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导三种现象。不同物质，其带电粒子之间相互作用力往往差异很大。导体中，带正电荷的原子核与带负电荷的电子间的相互作用力小，即使在微弱的外电场下，电子也会发生定向移动。在这里，传导是主要现象。电介质的主要特征是电子和原子核结合得相当紧密，电子被原子核3法拉第在19世纪40年代，利用他自己提出的电感应线概念，从实验中得到：无界均匀介质中，点电荷周围的电位移另一方面实验又证明，在各向同性的材料内，空间某处的和成正比为电介质的介电常数，单位为F/m。所以，分析静电场时，需要三个基本变量：一个源变量。两个场变量和，除此外，还需要表示电介质材料特性的参数，一般称为材料的特性方程或本构关系式。54.2真空中静电场的基本方程分析求解电磁问题时，可分两种方法：积分方程法和微分方程法。不管用什么方法，由矢量场分析的角度看，都必定涉及到矢量在闭合面上的通量特性和矢量在闭合回路上的环流量特性，所得方程式称为场的基本方程的积分形式。真空中静电场的基本方程为(1)(2)(1)式称为真空中的高斯定律。它表明基本变量在闭合面S的通量特性；(2)式称为静电系统的守恒定理，它表明基本变量在闭合回路上的环流量特性，说明静电场是一种守恒性的矢量场。6真空中静电场空间电介质特性方程为(3)立体角：若ds为半径为R的球面上的任一面元，则ds可构成一个以球心为顶点的锥体，取ds与R2的比值定义为ds对球心所张的立体角。用表示。单位Sr(球面度)若ds不是球面元，则它对o点所张的立体角为：以o点为球心，o点到ds的距离R为半径作一球面，取ds在球面上的投影与R2的比值，即为面元ds对o点所张的立体角。ROds7若无界真空中有一个点电荷，则是面元ds对点q所张的立体角，整个积分是闭合面对点q所张的立体角，因此9Q在闭合面内Q不在闭合面内如果无界真空中有N个点电荷q1,q2,…,qk,qk+1,…,qN,而此闭合面s内有q1,q2,…,qk,则闭合面s上的通量为10当电荷以体密度分布时，所以此即高斯定律的微分形式。11说明静电场是无旋场，一定为保守场。总结真空中静电场的基本方程当已知时，通过，联立求解上述两个矢量方程就能求得。因为根据亥姆霍兹定理，只有在给定矢量场的散度方程与旋度方程的条件下，才能唯一地确定此矢量场。但当电荷分布具有一定的对称性时，选择适当的坐标系，使13或只有一个坐标分量，且仅是该坐标变量的函数，则成立。因此只要求解(或)，就能得到场解。14**利用高斯定理计算电场强度

在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。

具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳多层同心球壳均匀带电球体aOρ015例1电荷按体密度分布于一个半径为a的球形区域内，其中为常数。试计算球内外的电通密度。解：电场明显具有球面对称性，沿半径方向且大小只是r的函数。球的电荷总量为当，以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面），应用高斯定律的积分形式，得17当时，应用高斯定律得18例2计算均匀电荷面密度为的无限大平面的电场。解：由于均匀面电荷发出的电通密度垂直于无限大平面，取一个柱形闭合面，左右底面积与电荷平面平行且等距；侧面垂直于电荷平面，则根据高斯定律用矢量表示时，为Z>0Z<019在a<r<b区域有在r>b的区域有(2)欲使r>b处，应有21例4.有一半径为a的球形电荷分布，球内外的介电常数，已知球体内的求（1）球内电荷分布（2）球体外的电场强度解:(1)利用高斯定律22(2)232.电位差两端点乘，则有将上式两边从点A到点B沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明

A、B两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从A点移至B点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U表示。

电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。A、B两点间的电位差25静电位不唯一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点。

同一个问题只能有一个参考点。3.电位参考点

为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即26

例4.3.1

求电偶极子的电位.

解

在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q29将和代入上式，解得E线方程为

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图

矢量线微分方程：

等位线方程：30解

采用圆柱坐标系，令线电荷与z

轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与无关。在带电线上位于处的线元，它到点的距离，则

例4.3.2

求长度为2L、电荷线密度为的均匀带电线的电位。31xyzL-L32在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为当时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择r=a

的点为电位参考点，则有33例4.3.3证明导体表面的电荷密度与导体外的电位函数有如下关系其中是电位对表面外法线方向的导数。证明：由物理学知识可知：带电导体内静电场为零，导体是一个等位体，电荷分布在导体的表面。在导体表面作一柱形闭合面，两底面分别位于表面两侧，高。由于相当小，可以认为上各点的值相同。在计算此闭合面上的电通量时，考虑到导体表面内侧上没有电通量，表面外的电场与表面垂直，即或,因此根据高斯定律有34即若导体内充满介电常数为的电介质，则导体表面的面电荷与表面处的电通密度或电场强度之间的关系为354.4泊松方程拉普拉斯方程在无界空间内，已知场源电荷分布时，可根据场源积分法，算出电位和电场强度。但静电问题不仅仅涉及已知电荷分布且没有边界的情况，在很多情况下，我们遇到的问题都涉及到有限空间区域。在有限区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的边界上都具有一定的边界条件。在这些给定边界条件下求解有限区域内场的问题，称为边值问题。所以，求解静电场边值问题时，需要确定两个条件1)电位所满足的方程2)边界条件。36电位泊松方程在无源区域，拉普拉斯方程拉普拉斯算符4.4.1泊松方程拉普拉斯方程374.4.2边值问题类型不管是求泊松方程还是拉普拉斯方程，都需要一定的边界条件，如电荷分布，电位及电位法向导数等，这些都叫边界条件。静电场的边值问题就是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。这种求解称为偏微分方程。在场域V的边界面S上给定的边界条件有以下三种类型，相应地把边值问题分为三类：①第一类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的值，即给定这类问题称为第一类边值问题或狄里赫利问题；38②第二类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的法向导数值，即给定这类问题称为第二类问题或纽曼问题；③第三类边界条件是已知一部分边界面S1上位函数的值，而在另一部分边界面上S2已知位函数的法向导数值，即给定这里S1+S2=S。这类问题称为第三类边值问题或混合边值问题。如果场域延伸到无限远处，还必须给出无限远处的边界条件。对于源分布在有限区域的情况，在无限远处的位函数应为有限值，39即给出称为自然边界条件。此外，若在整个场域内同时存在几种不同的均匀介质，则位函数还应满足不同介质分界面上的边界条件。404.4.3唯一性定理唯一性定理是边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有唯一解。采用反证法证明。设在边界面S包围的场域V内有两个函数和都满足泊松方程，即令，则在场域V内41由于将上式在整个场域V上积分并利用散度定理，有对第一类边值问题，在整个边界面S上对第二类边值问题，在整个边界面S上42对第三类边值问题，在边界面的S1部分上在边界面的S2部分上无论哪一类边值问题，都将使这表明在整个场域V内43对第一类边值问题，由于在边界面S上所以C=0。故在整个场域V内有对第二类边值问题，若与取同一个参考点，则在参考点处在所以C=0。故在整个场域V内有。对第三类边值问题，由于，所以C=0，故在整个场域V内也有。44唯一性定理具有非常重要的意义，首先，它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S上的任一点只需给定或的值，而不能同时给定两者的值。其次，唯一性定理也为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。根据唯一性定理，在求解边值问题时，无论采用什么方法，只要求出的位函数既满足相应的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足给定的边界条件，则函数就是所求出的唯一正确解。45例4.4.1两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为的均匀电荷分布。求两导体平板之间的电位和电场。obaxy解：在两块无限大接地导体板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程46方程的解为利用边界条件，得47于是有由此解得到最后得48494.5电介质的极化极化强度4.5.1电介质的极化任何物质的分子都是由原子组成的，而原子都是由带正电的原子核和带负电的电子组成，整个分子中电荷的代数和为零。在远离分子的地方，分子中全部负电荷的影响可以用一个负的点电荷等效，这个等效负电荷的位置称为这个负电荷的中心。同样，分子中全部正电荷也可以用一个正的点电荷等效，这个等效正点电荷的位置称为这个分子正电荷的中心。当没有外电场时，如果电介质分子中正负电荷的中心是重合的，这类电介质称为无极分子电介质；如果电介质分子中正负电荷的中心不重合，这类电介质称为有极分子电介质；有极分子电介质50在没有外电场时，无极分子电介质的分子中没有电矩。加上外电场，在电场力的作用下，每个分子中的正负电荷中心被拉开一定距离，形成一个电偶极子，分子电矩的方向沿外电场的方向。外电场越强，每个分子中的正负电荷的中心被拉开的距离越大，一定体积中分子电矩的矢量和也越大。无极分子的这种极化机理称为位移极化。在没有外电场时，虽然有极分子电介质中每一个分子都具有固有电偶极矩，但由于分子的不规则热运动，分子电矩的排列是杂乱无章的，在任一体积中，所有分子电矩的矢量和为零。加上外电场，分子电偶极矩的取向趋于电场方向，于是一定体积中分子电矩的矢量和就不再为零，有极分子的这种极化机理称为取向极化。中正负电荷的中心错开一定的距离，形成一个电偶极矩，称为分子的固有电矩。51无极分子有极分子无外加电场无极分子有极分子有外加电场E无论是无极分子电介质，还是有极分子电介质，在外电场中被极化，均匀电介质内部的电荷相互抵消，一个端面上出现正电荷，另一个端面上出现负电荷，这就是极化电荷。极化电荷与导体中的自由电荷不同，不能自由运动，也称为束缚电荷。52电介质极化的结果是电介质内部出现许许多多顺着外电场方向排列的电偶极子，这些电偶极子产生的电场将改变原来的电场分布。可以这样说，电介质对电场的影响可归结为极化电荷产生的附加电场的影响。因此，电介质内的电场强度可视为自由电荷产生的外电场与极化电荷产生的附加电场的叠加，即。为了分析计算极化电荷产生的附加电场，需了解电介质的极化特性。不同的电介质的极化程度是不一样的，为此引入极化强度来描述电介质的极化程度。将单位体积中的电偶极矩的矢量和称为极化强度，表示为53

——体积△V中第i个分子的平均电偶极矩

(C/m2)54的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即

——电介质的电极化率

极化强度是一个宏观矢量函数。若电介质的某区域内各点的相同，则该区域是均匀极化的，否则就是非均匀极化的。55在均匀极化的状态下，闭合面S内的电偶极子的净极化电荷为零，不会出现极化电荷的体密度分布。对于不均匀极化状态，电介质内部的净极化电荷不为零。但在电介质的表面，不论是均匀极化还是非均匀极化，介质表面(两介质分界面)上一定有束缚电荷的面积分布。4.5.2极化电荷与极化强度的关系(1)极化电荷体密度E

S

在电介质中的任一闭合面S上取一个面积元，其法向单位矢量为。以为底、为斜高构成一个体积元。显然，只有电偶极子中心在内的分子的正电荷才穿出面积元。56因此，从S穿出的正电荷为。留在S内的极化电荷为(2)

极化电荷面密度

紧贴电介质表面取如图所示的闭合面，从该闭合面穿出的极化电荷就是电介质表面上的极化电荷。故得电介质表面的极化电荷面密度为设电介质单位体积中的分子数为N，则穿出面积元的正电荷为574.5.3电介质的分类(1)线性和非线性介质极化强度是电场强度的函数，，的各分量可由电场强度的各分量的幂级数表示，在直角坐标系中有如果电介质的极化强度的各分量只与电场强度的各分量的一次项有关，与高次项无关，且的各分量与的各分量成线性关系，这种介质称为线性介质，否则即为非线性介质。在直角坐标系中，线性介质的各分量与的各分量之间的关系可以用矩阵式（式1）58表示为（2）各向同性与各向异性介质如果电介质内部某点的物理特性在所有方向上都相同，与外加电场的方向无关，这种介质称为各向同性介质，否则称为各向异性介质。对于各向同性介质，上式中比例系数与电场方向无关，即，极化强度和电场强度的关系可表示为（式2）(式3)其中比例系数称为电介质的极化率。对于线性介质，是与无关的常数。59即极化强度矢量与电场强度矢量方向相同。对于线性、各向同性电介质，式3中的是与无关的常数。（3）均匀介质和非均匀介质如果电介质内的介电常数处处相同，与空间位置无关，即则称这种介质为均匀介质，否则为非均匀介质。本书重点讨论线性、各向同性的均匀电介质中电场的特性，满足如下的关系604.6介质中的高斯定律边界条件

介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，将真空中的高斯定理延伸到介质中，可写为自由电荷和极化电荷共同激发的结果4.6.1介质中的高斯定律61将极化电荷体密度表达式代入，有引入电位移矢量（单位：C/m2)则有

其积分形式为

任意闭合曲面电位移矢量D的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和

小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为

（微分形式），

（积分形式）

62在这种情况下其中称为介质的介电常数，称为介质的相对介电常数（无量纲）。4.6.2电介质的本构关系极化强度与电场强度之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，

和

有简单的线性关系634.6.3介质中的电位方程电位泊松方程在介质空间内，拉普拉斯方程拉普拉斯算符644.6.4边界条件不同介质的分界面上总有束缚电荷的面积分布，这些电荷要影响场的分布，使电场在越过分界面时引起阶跃变化，使得分界面两侧的值不同，因此把分界面两侧场变量之间的关系称为介质交界面上的边界条件。介质交界面上的边界条件只能由基本方程的积分形式导出。把分界面上的场变量分解为平行于分界面的分量（切向分量）和垂直于分界面上的分量（法向分量），分界面的法向正方向为介质2指向介质1。65媒质1媒质2PS(1)的边界条件在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。令Δh→0，则由即分界面上的自由电荷面密度当分界面上无自由电荷时，则有66由和若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：常数，67媒质1媒质2在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh

→0，则由取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为s,则有(2)的边界条件68即在不同介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时媒质2媒质169介质2介质1

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为

或

场矢量的折射关系

导体表面的边界条件70例4.6.1平行板电容器由两块面积为S，相隔距离为d的平行导体板组成，极板间填充介电常数为ε的电介质，求电容量.（见图3.9.2）解：极板间电压为U，忽略边缘效应，则拉普拉斯方程为利用边界条件得+++------+++xozUd71由导体和介质间的边界条件可得，上、下极板间的面电荷密度分别为和，其中所以，极板间所带电量故电容量72例4.6.2同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，其间充满相对介电常数为的介质，当外导体接地，内导体电压为U0时，求（1）介质中的电场强度和电通密度；（2）介质中的极化电荷分布；（3）同轴线单位长度的电容。ab解:(1)设内导体单位长度的线电荷密度为ρl，由高斯定理得73由内外导体间的电位差(2)74r=b处的r=a处的75(3)76电容器广泛应用于电子设备的电路中：4.8.1导体系统的电容及部分电容在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用。通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。4.8静电场基本方程的应用77电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即1.电容孤立导体的电容两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。78(1)假定两导体上分别带电荷+q和－q；

计算电容的方法一：(4)求比值，即得出所求电容。(3)由 ，求出两导体间的电位差；(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；(4)由得到

;(2)计算两电极间的电位分布

；(3)由得到E;

(5)由 ，求出导体的电荷q；(6)求比值，即得出所求电容。79

解：设内导体的电荷为q

，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体间的电压球形电容器的电容当时，

例4.8.1同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容80

例4.8.2如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。

解

设两导线单位长度带电量分别为和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为81

例4.8.3同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差

解

设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为同轴线82＊2.部分电容

在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。

在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为式中：——自电位系数——互电位系数（1）电位系数83

αij在数值上等于第i个导体上的总电量为一个单位、而其余导体上的总电量都为零时，第j个导体上的电位，即

αij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即αij=αji。

αij>

0；

电位系数的特点：84若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为

式中：——自电容系数或自感应系数

——互电容系数或互感应系数

（2）电容系数85

βij在数值上等于第

j个导体上的电位为一个单位、而其余导体接地时，第i个导体上的电量，即

βij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即βij=βji。

βii>

0、；

电容系数的特点：86将各导体的电量表示为

式中：（3）部分电容——导体i与导体j之间的部分电容——导体i与地之间的部分电容

87

Cii在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第i个导体上的电量；

Cij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即Cij=Cji。

Cij>

0；

Cij在数值上等于第j个导体的电位为一个单位、其余导体都接地时，第i个导体上的电量；

部分电容的特点：88在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值称为这两个导体间的等效电容。（4）等效电容如图所示，有三个部分电容导线1和2间的等效电容为导线1和大地间的等效电容为导线2和大地间的等效电容为12大地大地上空的平行双导线89

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。4.8.2静电场的能量

901.静电场的能量

设系统从零开始充电，最终带电量为q、电位为。充电过程中某一时刻的电荷量为αq、电位为α。(0≤α≤1)当α增加为(α+dα)时，外电源做功为:α

(qdα)。对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为根据能量守恒定律，此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量We

，即

对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为91故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有——第i个导体所带的电荷——第i个导体的电位式中：922.电场能量密度

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有93

例4.8.4

半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。

解：方法一，利用计算根据高斯定理求得电场强度故94

方法二：利用计算先求出电位分布故95

已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。

具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。4.8.5静电力961.各带电导体的电位不变此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量系统所改变的静电能量即此时，所有带电体都不和外电源相连接，则

dWS＝0，因此2.各带电导体的电荷不变式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。不变q不变97解：电容器内的电场能量为由可求得介质片受到的静电力为部分填充介质的平行板电容器dbU0lx例4.8.5有一平行金属板电容器，极板面积为l×b，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。由于ε>ε0，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势98

平行板电容器的电容为99此题也可用式来计算q不变设极板上保持总电荷q不变，则由此可得由于同样得到1004.7导电媒质中的恒定电场分析

本节内容4.7.1恒定电场的基本方程和边界条件4.7.2恒定电场与静电场的比拟4.7.3漏电导101导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场的重要区别：（1）恒定电场可以存在于导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。4.7.1恒定电场的基本方程和边界条件1021.基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度线性各向同性导电媒质的本构关系

恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷1032.恒定电场的边界条件场矢量的边界条件即即导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系媒质2媒质1104电位的边界条件恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面；

说明：105媒质2媒质1媒质2媒质1

如、且2≠90°，则1＝0，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；

若媒质1为理想介质，即

＝0，则

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即导体中的电流和电场与分界面平行。1064.7.2恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。静电场恒定电场107恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场108

例4.7.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、和2、，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。

解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。上极板表面的自由电荷密度为下极板表面的自由电荷密度为109介质交界面上的自由电荷密度为110

例4.7.2

填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2

、电导率为

和。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。外导体内导体介质2介质1111

（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由可得电流密度介质中的电场

解电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度的表达式，然后求出和，再由确定出电流I。112故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于于是得到113（2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为介质2外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为114

工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即4.7.3漏电导115(1)假定两电极间的电流为I；

计算两电极间的电流密度矢量J；

由得到E

;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布

；(3)由得到E;(4)由

得到J;(5)由 ，求出两导体间电流；(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：116例4.7.3求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为、介电常数为ε。解：直接用恒定电场的计算方法电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I

。117方程通解为

例4.7.4在一块厚度为h

的导电板上，由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为

0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。解：设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿

方向流动，而且电流密度是随

变化的。但容易判定电位只是变量的函数，因此电位函数满足一维拉普拉斯方程代入边界条件可以得到环形导电媒质块r1hr20σ118电流密度两电极之间的电流故沿方向的两电极之间的电阻为所以119第五章恒定磁场分析主要内容：(1)建立真空及磁介质内恒定磁场的基本方程以及磁介质的特性方程(2)引入矢量位，将恒定磁场的求解归结为矢量位的求解(3)确立磁场的边界条件(4)在特定条件下引入标量位求解磁场的边值问题(5)恒定磁场在工程中的应用120本章章节安排如下

5.1恒定磁场分析的基本变量5.2真空中恒定磁场的基本方程5.3

恒定磁场的矢量磁位

5.4物质的磁化，磁化强度

5.5磁介质中磁场的基本方程

5.6磁介质分界面上的边界条件5.7恒定磁场在工程中的应用

1215.1恒定磁场分析的基本变量首先，恒定磁场的源变量是恒定电流密度矢量。它是一种矢性源变量，故它所产生的磁场必定是有旋度的矢量场。其次，恒定磁场还有两个基本的场变量。第一个场变量是磁通密度。磁通量和磁通密度（）由法拉第首先提出，并利用它们建立了电磁感应定律。法拉第提出的磁通密度就是安培定义的磁感应强度，即；第二个场变量是磁场强度，用表示,单位为A/m。它表示磁场对电流或永久磁铁具有作用的能力。和的大小可由下式推出：从安培力定律求得，无界真空中电流元产生的磁场对另一个电流的安培力为122若两电流元位于无界均匀磁介质材料空间内，则调节两个电流元的方位使它们位于同一平面内又互相平行，则由此定义磁场强度为123写成一般矢量表示式那么任一闭合的直流回路产生的磁场强度为根据已学过的磁感应强度的公式可以知道，无界真空中两个基本的场变量间的关系为1245.2真空中恒定磁场的基本方程真空中恒定磁场的基本方程有两个安培环路方程磁通连续性方程1磁通连续性方程的证明在直流回路C的磁场中任意取一闭合面S，则S上的磁通量为125126所以2安培环路方程的证明磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和终点的闭合曲线。磁通是连续的，磁感应强度对任意闭合面的积分恒为0。但对任意闭合曲线的线积分并不处处为0，磁感应线是套链在闭合载流回路上的闭合线。若取磁感应强度沿磁感应线的环路积分，则因与的夹角，故在每条线上，从而安培环路定理就是反应磁感应线这一特点的。127安培环路定理表述如下：在真空中，恒定磁场的磁感应强度沿任何闭合曲线的线积分值等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积，即为简单起见，我们用无限长载流直导线的场加以验证。在真空中位于z轴上的无限长直导线，载流为I时，离导线r远处的磁感应强度为若取路径C为圆心在轴线上、半径为r的圆，亦即矢量线圈，则128若取积分路径C为任意曲线，如5-1（a）所示，在圆柱坐标系中，有若路径C没有包围电流，如图5-1（b）所示，则129可见安培环路定理已得到证实。在此基础上运用叠加定理，即可解决多个载流回路的情形，如图5-1（c）所示，则即包围的总电流值为各电流的代数和。130由斯托克斯定理及电流定义式得131安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的漩涡源。微分形式:积分形式:因此，真空中磁场的基本方程为本构关系：当电流分布具有某些特殊对称性时，可以只用一个基本方程求磁场强度，而无需散度方程。132例5-1半径为a的无限长直导体通有电流I，计算导体内外的基本场变量。解：根据基本方程得此回路积分等于C包围的电流，在的圆柱内，包围的电流为因此有133当r>a时，积分回路包围的电流为I，134

矢量磁位的定义

磁矢位的任意性与电位一样，磁矢位也不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。矢量磁位或称磁矢位

5.3恒定磁场的矢量磁位135

磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表达式在直角坐标系中，因为在直角坐标系中136所以上式可分解为三个分量的泊松方程137（可以证明满足）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为

利用磁矢位计算磁通量：细线电流：面电流：138

例5.3.1求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a

，回路中的电流为I

。

解如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与无关，计算xOz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRθIPO139对于远区，有r>>a，所以由于在=0面上，所以上式可写成于是得到140式中S=πa

2是小圆环的面积。载流小圆环可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或141

解：先求长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元到点的距离。则

例5.3.2求无限长线电流I

的磁矢位，设电流沿+z方向流动。xyzL-L142与计算无限长线电荷的电位一样，令可得到无限长线电流的磁矢位143例5-5双导线传输线可以视为方向相反的平行直线电流，设线间距为2a，求它的和。解：根据例5-4的结论得1441455.4物质的磁化磁化强度1.磁介质的磁化无外加磁场外加磁场B

介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，每个分子电流相当于一个磁偶极矩无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化。1462.磁化强度矢量B磁化强度是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即单位为A/m。1473.磁化电流BC磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。（1）磁化电流体密度

考察穿过任意围线C所围曲面S的电流。只有那些环绕周界围线C的分子电流才对磁化电流IM有贡献。在围线C上取任一线元dl，其方向与分子磁矩的方向成θ角，以dl为轴线、S为底作一柱体，凡中心在此柱体内的分子环流都穿过dl。穿过曲面S的磁化电流为148由，即得到磁化电流体密度在紧贴磁介质表面取一长度元dl，与此交链的磁化电流为（2）磁化电流面密度则即的切向分量1495.5磁介质中磁场的基本方程

分别是传导电流密度和磁化电流密度。

将极化电荷体密度表达式代入，有外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种电流相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度B应是所有电流源激励的结果：定义磁场强度为：150则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为小结：恒定磁场是有源无散场，磁介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式）151其中，称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。其中称为介质的磁导率，称为介质的相对磁导率（无量纲）。顺磁质抗磁质铁磁质磁介质的分类

磁化强度

和磁场强度

之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，与之间存在简单的线性关系：1525.6磁介质分界面上的边界条件无界的介质空间中场的基本变量和是连续可导的，当遇到分界面时，由于分界面上一般都存在着磁化面电流，因此和在经过分界面时要发生突变。1.场变量的法向分量的边界条件在分界面上取一小的柱形闭合面，两底面分别位于介质两侧，高△h为无穷小量。由磁通连续性可得媒质1媒质2PS即分界面上的法向分量是连续的。153媒质1媒质2（2）场变量的切向边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh

→0，则由154如果交界面上没有自由的表面电流，则3.磁介质分界面上的折射关系如果磁介质交界面上没有自由的面电流，并且位于交界面两侧的介质各向同性，则两介质中矢量与法线n的夹角和之间的关系为若介质1是空气，介质2是铁磁物质，则由于，，在空气中磁感应线几乎和铁表面相垂直。即1554磁矢位的边界条件1565.7恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。

标量磁位的引入标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程将代入——等效磁荷体密度157与静电位相比较，有

标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中

标量磁位的表达式和或和式中：——等效磁荷面密度158静电位 磁标位

磁标位与静电位的比较静电位

0

P磁标位

m

0

m159当r>>l时，可将磁柱体等效成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有

解：M0为常数，m=0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为R1R2rPzx-l/2l/2M例5.7.1半径为a、长为l的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为。求远区的磁感应强度。1605.8恒定磁场在工程中的应用5.8.1自电感与互电感的计算5.8.2磁场能量的计算5.8.3磁场力的计算1611.磁通与磁链

5.8.1自电感与互电感的计算

单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和

CI细回路粗导线构成的回路，磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的、磁力线不穿过导体的外磁通量o；另一部分是磁力线穿过导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。iCIo粗回路162设回路C中的电流为I

，所产生的磁场与回路C交链的磁链为，则磁链与回路C中的电流I

有正比关系，其比值称为回路C的自感系数，简称自感。——外自感2.自感——内自感；粗导体回路的自感：L=Li+Lo自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。

自感的特点：163

解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=dr的磁通为

例5.8.1求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。得与dΦi交链的电流为则与dΦi相应的磁链为164因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。则故单位长度的外自感为单位长度的总自感为165

例5.8.2计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D>>a。导线及周围媒质的磁导率为μ0。穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为

解

设两导线流过的电流为I。由于D>>a，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P

的磁感应强度为PII166于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为167

对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链21也与I1成正比，其比例系数称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。3.互感同理，回路C2对回路C1的互感为C1C2I1I2Ro168互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即M12=M21

当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。互感的特点：1694.纽曼公式如图所示的两个回路C1和回路C2，回路C1中的电流I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位回路C1中的电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为C1C2I1I2Ro纽曼公式同理故得170由图中可知长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为

解

设长直导线中的电流为I，根据安培环路定理，得到

例5.8.3如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。171因此故长直导线与三角形导体回路的互感为172

例5.8.4如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和C2，半径分别为a1和a2，中心相距为d

。求它们之间的互感。于是有

解利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈式中θ=2－1为与之间的夹角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且173若d>>a1，则于是一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d>>a1或d>>a2时，可进行近似计算。1745.8.2恒定磁场的能量的计算1.

磁场能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定磁场具有能量。磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐射损耗。175

法拉第电磁感应定律指出，回路中的感应电动势等于与回路交链的磁链的时间变化率，即回路j中的感应电动势为而外加电压应为dt时间内与回路j相连接的电源所做的功为如果系统包括N个回路，增加的磁能就为回路j的磁链为176对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为则假设各回路中的电流同时从零开始以相同的百分比α上升，即当N=2时，M11=L1、M22=L2、M21=M12=M，故177对于体分布电流，则有1782.磁场能量密度

从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。

磁场能量密度：

磁场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有179若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故

推证：S180

例5.8.5

同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c，如图所示。导体中通有电流I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。

解：由安培环路定理，得181三个区域单位长度内的磁场能量分别为182单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感1835.8.3磁场力的计算假定第i个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi。此时，磁场力做功dA＝Fidgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。虚位移原理1841.各回路电流维持不变

若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量

即于是有故得到不变系统增加的磁能

1852.各回路的磁通不变故得到式中的“－”号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的。若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即

dWS＝0，因此不变186例5.8.6如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有N匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为S

，平均长度分别为l1和l2。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为x。设线圈中的电流为I，铁轭和衔铁的磁导率为。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。解在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通Ψ不变，则B和H不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为电磁铁空气隙中的磁场强度变187若采用式计算，由储存在系统中的磁场能量由于和，考虑到，可得到同样得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培环路定理，有188第6章静态场边值问题的解

本节内容

6.1边值问题的类型6.2唯一性定理

边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程1896.1边值问题的类型

已知场域边界面S上的位函数值，即

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面S上的位函数的法向导数值，即已知场域一部分边界面S1上的位函数值，而另一部分边界面S2上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）190自然边界条件（无界空间）周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如191例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：192在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有唯一值。6.2唯一性定理

唯一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据

唯一性定理的表述193

唯一性定理的证明反证法：假设解不唯一，则有两个位函数和在场域V内满足同样的方程，即且在边界面S上有令，则在场域V内且在边界面S上满足同样的边界条件。或或194由格林第一恒等式可得到对于第一类边界条件：对于第二类边界条件：若和取同一点Q为参考点，则对