数字滤波器的原理和设计方法详解演示文稿

数字滤波器的原理和设计方法详解演示文稿当前1页，总共132页。（优选）数字滤波器的原理和设计方法当前2页，总共132页。滤波器在许多技术领域中都被广泛应用。

模拟滤波器主要处理连续时间信号；数字滤波器处理离散时间信号和数字信号。数字信号处理的优点：

精度和稳定性高；改变系统函数比较容易，比较灵活；不存在阻抗匹配问题；便于大规模集成；可以实现多维滤波。当前3页，总共132页。数字滤波器的分类

1.从功能上分：低通、带通、高通、带阻。

2.从实现方法上分：FIR、IIR

3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯），…

4.从处理信号来分：经典滤波器、现代滤波器等。当前4页，总共132页。数字滤波器的理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性当前5页，总共132页。1.经典滤波器一般的滤波器，特点是输入信号中有用频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用无用|Y(ejw)|wwc但是，如果信号的干扰和频带互相重叠，则不能完成对干扰的有效滤除。当前6页，总共132页。2.现代滤波器

这一类滤波器可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。当前7页，总共132页。自适应滤波器原理框图当前8页，总共132页。声学回声路径当前9页，总共132页。声学回声抵消器(AEC)原理图当前10页，总共132页。AEC系统的自适应回声抵消效果

当前11页，总共132页。当前12页，总共132页。研究DF实现结构意义1.滤波器的基本特性（如有限冲激响应FIR与无限冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。当前13页，总共132页。数字滤波器一般可用两种方法实现：根据描述数字滤波器的数学模型或信号流程图，用数字硬件构成专用的数字信号处理机。编写滤波器运算程序，在计算机上运行。当前14页，总共132页。4.1概述数字滤波器可以用差分方程表示由上述两个方程就可以得到若干数字滤波器的结构对应的系统函数为当前15页，总共132页。

实现数字滤波器时，必须把输入－输出关系转变为可实现的算法。需要３种基本运算单元：

加法器、单位延迟器和常数乘法器。方框图表示流程图表示这些单元有方框图法和流程图法两种表示法。当前16页，总共132页。

所以数字滤波器也有两种表示法。例如，一个二阶的IIR数字滤波器用差分方程表示为其方框图和信号流程图如下图所示当前17页，总共132页。

数字滤波器有无限冲激响应（IIR）和有限冲激响应（FIR）两种。

一般从以下几方面区分两类系统：

1、IIR系统的系统函数为系统有极点有FIR系统的系统函数为所有系统只有零点当前18页，总共132页。

2、IIR系统的差分方程为FIR系统的差分方程为

除了与当前和过去的激励有关，还与过去的输出有关；

只与当前和过去的激励有关，与过去的输出无关；当前19页，总共132页。

3、IIR系统的单位脉冲响应为无穷多项；FIR系统的单位脉冲响应只有有限项；

4、IIR系统因为与过去的输出有关，所以网络结构有反馈之路，也称为递归结构；FIR系统只与激励有关，因此没有反馈之路，也称为非递归结构。当前20页，总共132页。4.２无限冲激响应（IIR）数字滤波器的基本网络结构运算结构的不同会影响系统运算的精度、误差、速度和经济性等指标。对于同一个系统函数，可以有多种不同的结构。一般情况下，都要求使用尽可能少的常数乘法器和延迟器来实现系统，并要求运算误差尽可能小。这些要求有时是相互矛盾的。例如，为了获得具有较小运算误差的结构，使用的乘法器和延迟器的数目往往不是最少的。当前21页，总共132页。IIRDF基本结构IIRDF类型直接型级联型并联型直接I型直接II型当前22页，总共132页。1.直接I型由差分方程或系统函数直接画出IIRDF的方框图和流程图当前23页，总共132页。N阶IIR系统的直接I型方框图N阶IIR系统的直接I型流程图

第一个网络实现的是系统函数的各零点；第二个网络实现的是各极点。直接I型结构需要２N个延迟器和２N个乘法器。当前24页，总共132页。2.直接II型直接I型结构的系统函数可看作两个独立的系统函数的乘积，即对应的差分方程对应的差分方程当前25页，总共132页。假设IIRDF是线性非移变系统，那么交换和的次序不会影响系统的传输效果，即则直接I型结构图可画成下图所示形式：两条延迟链都是对中间变量进行延迟，因此可以进行合并。当前26页，总共132页。IIR系统的直接II型流程图与直接I型相比，直接II型的不同之处：首先实现系统的各极点，然后实现各零点；仅需要N个延迟单元。则：硬件实现时，直接II型少用寄存器；软件实现时，直接II型少占用存储单元。

通常IIR的直接形式是指直接II型，也称最少延迟网络、典范形式、正准型。当前27页，总共132页。３.级联型如果将N阶IIR系统函数分解成二阶因式连乘积，则可得到级联结构，即这样，整个系统将由M个二阶系统级联构成，如下图所示当前28页，总共132页。

具体地，将系统函数的分子和分母多项式都按照零、极点进行因式分解，得到由于的系数都为实数，所以的零点和极点是实数或是共轭复数。当前29页，总共132页。将上式中每对共轭复数因子合并起来构成一个实系数因子，则写成如果把实数因子看作是二阶实数因子的特例，即看作二次项系数和等于零的二阶因子，那么可被看成全部由实系数二阶因子连乘来构成，即当前30页，总共132页。其中称为滤波器的二阶基本节。每个二阶节都用直接II型结构的级联形式

如果每个二阶基本节都采用直接II型结构来实现，那么整个滤波器的级联结构如下图所示。每一级都可以单独调整零极点的位置而不影响其它零极点。同时可以灵活调整二阶基本节的次序。这是级联结构的常用形式。当前31页，总共132页。如果将系统函数化成部分分式之和，则可得到IIRDF的并联结构，即上式表明，滤波器可由P个一阶网络、Q个二阶网络和一个常数支路并联构成。4.并联型当前32页，总共132页。其结构如图：IIR系统的并联结构当前33页，总共132页。网络转置定理：将原网络中所有支路的方向加以反转，并将输入和输出相互交换，则网络的系统函数不会改变。利用网络转置定理，可以将以上讨论的各种结构进行转置处理，从而得到各种新的网络结构。当前34页，总共132页。IIR系统的直接II型流程图当前35页，总共132页。可以再改为输入在左，输出在右的习惯形式，如下图。将图4.10画成输入在左、输出在右的习惯形式设计方法当前36页，总共132页。4.3有限冲激响应（FIR）数字滤波器的基本网络结构

FIR数字滤波器是一种非递归系统，其冲激响应是有限长序列，其系统函数的一般形式为其特点是系统函数无极点，它的网络结构没有反馈支路。当前37页，总共132页。1.直接型FIR数字滤波器的差分方程为下图为FIRDF的方框图和流程图。公式中表示的输入和输出信号之间的线性卷积关系，所以直接性结构也称为卷积型结构，或横向滤波器结构。当前38页，总共132页。2.级联型若将分解成二阶因子的乘积，则得到FIR系统的级联结构为：对应上式的流程图如下图中每一基本节控制一对零点。容易控制系统传输零点。级联型所用的系数乘法次数较多，运算时间较长。当前39页，总共132页。3.快速卷积型前面已经知道，两个长度为N的序列的线性卷积，可以用2N-1点的循环卷积来代替。公式表示FIR滤波器的输出是输入和冲激响应的线性卷积。因此，可以通过增添零取样值方法将序列和延长，然后计算它们的循环卷积，从而得到FIR系统的输出。循环卷积的计算可以使用FFT，于是得到快速卷积型结构。当前40页，总共132页。FIR系统的快速卷积结构图中输出为当前41页，总共132页。4.线性相位型结构

FIRDF最吸引人的特点之一就是将其设计成具有线性相位。右图表示的是线性相位FIR系统的典型冲激响应。

具有线性相位的因果FIRDF的冲激响应具有偶对称特性，即当前42页，总共132页。先分析具有这样的冲激响应的FIR系统的幅度和相位特点。将FIR系统的系统函数重写为当前43页，总共132页。（1）当N为偶数时，利用公式得下面分两种情况讨论：当前44页，总共132页。幅度响应令，得系统的频率响应经推导，得到频率响应当前45页，总共132页。结论：当时，；对呈奇对称。相位特性是严格线性的。于是系统的幅度响应和相位响应分别为当前46页，总共132页。（2）当N为奇数时，利用公式得经推导，得到频率响应当前47页，总共132页。结论：对各点是偶对称的。相位特性是严格线性的。于是系统的幅度响应和相位响应分别为:当前48页，总共132页。h(n)为偶对称的线性相位FIRDF的特性(a)(b)当前49页，总共132页。分别画出N为偶数和奇数，线性相位FIR滤波器的结构流程图：具有线性相位的偶数N的FIR系统的直接结构具有线性相位的奇数N的FIR系统的直接结构

线性相位N阶FIR滤波器只需要N/2次（N为偶数）或（N+1）／2次（N为奇数）乘法。当前50页，总共132页。用上面的方法同样可以证明，当FIR系统的单位取样响应为奇对称，即时，系统同样具有线性相位特性。偶对称奇对称为偶数为奇数小结：共有4种组合，则有4类线性相位FIR滤波器。当前51页，总共132页。由于线性相位FIR滤波器的冲激响应必须满足对称条件，因此它的零点位置受到严格的限制。上式表明，和除相差（N-1)个样本间隔外，没有不同。

根据对称条件，有

因此，是的零点，也是的零点。当前52页，总共132页。这就是说，线性相位FIR滤波器的零点必互为倒数出现，在为实数情况下，的零点必然互为共轭出现。因此，线性相位FIR滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对。1、零点不在实轴上，也不在单位圆上；2、零点在单位圆上；3、零点在实轴上，4、零点既在单位圆上，又在实轴上。线性相位FIR滤波器的零点分布图当前53页，总共132页。5.频率取样型

频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真。此时原序列的z变换与频域采样值满足下面关系式：一个有限时宽的序列，其Z变换可以用单位圆上的N个等间隔取样表示。当前54页，总共132页。上式为实现FIR系统提供了另一种结构，是由两个网络级联构成的。其中当前55页，总共132页。第一个网络是由N节延迟线组成的梳状滤波器。的零点和呈梳状特性的频率响应：当前56页，总共132页。其中，每个一阶网络在单位圆上各有一个极点，这些极点为：这些极点正好与梳状滤波器的零点相抵消，从而使在这些频率上的响应等于。

（4.24）第二个网络是一组并联的一阶网络，当前57页，总共132页。下图所示的是FIR滤波器的频率取样型结构。这种结构是由一个简单的FIR系统和一个IIR系统级联组成。优点：并联谐振网络的系数是FIR滤波器在处的响应，因而可以直接控制滤波器的响应。缺点：1、所有系数都是复数，复数乘法运算比较麻烦。2、所有谐振网络的极点都在单位圆上，容易出现误差，系统不容易稳定。当前58页，总共132页。克服以上缺点的方法有：1、使谐振网络的极点从单位圆上向内收缩到半径为r的圆上，这里r略小于1。2、用实系数的二阶网络实现复系数的一阶网络，从而使系数的复数乘法运算变成实数乘法运算。设计方法当前59页，总共132页。

4.4IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的一般设计步骤：1、根据任务，确定滤波器性能指标（幅度特性、截止频率等）；2、用一个稳定的因果系统逼近这些指标，具体的说是由这些指标计算系统函数；3、用有限精度运算实现数字滤波器（选择运算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长等）。4、用适当的软硬件实现。当前60页，总共132页。数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数用下式表示：式中，称为幅频特性，称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况；相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。当前61页，总共132页。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形是不一样的。一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求。但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如，语音合成、波形传输、图像信号处理等。当前62页，总共132页。性能指标

在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）wc|H(ejw)|要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。必须设计一个因果可实现的滤波器去实现。当前63页，总共132页。一个滤波器的技术指标，除了通带和阻带外，过渡带是必不可少的。左图中的曲线表示满足预定技术指标的频率响应，通带内的幅度必须以误差逼近于1，即阻带内幅度以误差逼近于零，即和分别为通带截止频率和阻带截止频率。当前64页，总共132页。为了按照这种误差要求逼近理想低通滤波器，必须有一个宽度不为零的过渡带。过渡带内幅度响应从通带平滑地下降到阻带。得到技术指标之后，下一步就是寻找一个频率响应符合允许指标的离散时间线性系统。对于IIR系统，可以用有理函数逼近希望的频率响应；对于FIR系统，可以用多项式逼近希望的频率响应。当前65页，总共132页。

利用模拟滤波器的设计理论来设计IIR数字滤波器就是首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将模拟滤波器转换成数字滤波器。

转换设计方法又可分为冲激响应不变法双线性变换法由于模拟网络综合理论已经发展得很成熟，设计非常方便，所以应用广泛。有若干典型的模拟滤波器供我们选择：巴特沃斯滤波器—具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器—在通带或阻带有波动，可选择；贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的。当前66页，总共132页。4.4.1冲激响应不变法冲激响应不变法遵循的准则是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样，即实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数与数字系统函数之间的关系。其中，T为取样周期。当前67页，总共132页。若满足要求的模拟滤波器的系统函数已知，它通常是有理函数形式，并且分母的阶次高于分子的阶次，仅含单极点，则可以表示成部分分式形式：拉氏反变换z变换于是完成了数字滤波器设计。当前68页，总共132页。

具体的说，从s平面到z平面的映射不是简单的代数映射，而是s平面上每一条宽为的横带重复地映射成整个z平面。当前69页，总共132页。S平面Z平面模拟系统因果稳定，其系统函数的所有极点位于s平面的左半平面，这些极点全部映射到z平面单位圆内，因此，数字滤波器也因果稳定。

当前70页，总共132页。冲激响应不变法的频谱混叠失真示意图混叠问题：由数字滤波器频率响应和模拟滤波器频率响应间的关系知：周期延拓当前71页，总共132页。那么数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波器的频率响应。如果模拟滤波器的频率响应带宽被限制在折叠频率内，即由于一般实际模拟滤波器都不是带限的，所以混叠是必然的。即产生了失真。不适合设计高通和带阻滤波器。这是冲激响应不变法的最大优点！这是冲激响应不变法的最大缺点！当前72页，总共132页。例4.1已知一模拟滤波器的传递函数为使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。解：将展开成部分分式得于是极点，。直接使用式设T＝0.1667s，则得当前73页，总共132页。因此，数字滤波器的频率响应为(b)所示的是相应的数字滤波器的幅度响应。图中可以看出，DF的幅度响应在高频段有较大的失真，而在低频段很接近模拟滤波器的幅度响应。左图中(a)是模拟滤波器的频率响应当前74页，总共132页。4.4.2双线性变换法得到由s平面到z平面的映射，定义为T常取1为了克服冲激响应不变法的混叠，采用非线形频率压缩方法，将整个频率轴压缩到之间，再用转换到Z平面上，就能得到s平面到z平面。当前75页，总共132页。双线性变换法与冲激响应不变法不同的是：它是一种从s平面到z平面的单值可逆映射。

因此当前76页，总共132页。将和代入式得由此看出，数字域频率与模拟域频率之间呈现非线性关系，如下图。当从0变到时，从0变到。这意味着模拟滤波器的全部频率特性，被压缩成数字滤波器在频率范围内的特性。或这种非线性在高频段较为严重，而在低频段接近于线性，因此数字滤波器的频率特性能够逼近模拟滤波器的频率特性。当前77页，总共132页。

设数字滤波器的通带和阻带的截止频率分别为和，对应的模拟滤波器的截止频率为和。双线性变换频率非线性畸变的补偿方法：预畸变利用给定的数字滤波器的截止频率和及上式计算出和当前78页，总共132页。再根据此设计出模拟滤波器。最后把模拟滤波器转换成数字滤波器。这时双线性变换得到的数字滤波器具有所希望的截止频率特性。当前79页，总共132页。由公式可以得到将代入上式得从上式可以看出，当时，；当时，；当时，；这说明s平面的轴映射成z平面的单位圆周，左半平面映射成单位圆内部，右半平面映射成单位圆外部。当前80页，总共132页。这种映射是简单的代数映射，因此变换后的数字滤波器的幅度响应没有混叠失真。因此，如果模拟滤波器是稳定的，即的所有极点都在s平面的左半平面内，那么经双线性变换映射后的极点都在z平面的单位圆内，因此数字滤波器也是稳定的。当前81页，总共132页。双线性变换导致频率间的非线性关系是它的主要缺点，限制了它的应用范围。频率响应不平坦（起伏较大）的系统不宜采用该方法。希望具有严格线性相位的数字滤波器，也不能用双线性变换设计方法。说明：当前82页，总共132页。4.4.3数字巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。为角频率，在处幅度响应的平方为0.5，N为滤波器的阶数。当时幅度响应为1。模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为当前83页，总共132页。上图可以看出，随着N的增大，幅度响应曲线在截止频率附近变得越来越陡峭，即在通带内有更大部分的幅度接近于1，在阻带内以更快的速度下降至零。当前84页，总共132页。个极点等间隔分布在半径为的圆周上。是关于虚轴对称的，虚轴上没有极点。当为奇数时，实轴上有两个极点。当为偶数时，实轴上无极点。各极点间的角度距为。模拟巴特沃斯滤波器极点的分布特点：由此可得极点当前85页，总共132页。因此，可将极点重新分配上式中是s平面左半平面的极点，是右半平面的极点。因为巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚轴，所以可将左平面的极点分配给，以便得到一个稳定的系统。把右半平面的极点分给，可以作不再考虑。经过推导，可以得到巴特沃斯滤波器的设计方法。当前86页，总共132页。根据实际需要规定滤波器在数字截止频率和处的衰减；由数字截止频率和处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数N和频率；设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：当前87页，总共132页。求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成传递函数。左半平面极点：

传递函数：N为偶数N为奇数使用冲激响应不变法或双线性变换法将转换成数字滤波器的系统函数。当前88页，总共132页。4.4.4数字切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的幅度平方函数为式中，称为纹波参数，它与通带内幅度响应的纹波有关；为有效通带截止频率，N是滤波器的阶数。

切比雪夫滤波器在通带内的幅度响应是等波纹的，而在阻带内是单调下降的；或者在通带内是单调下降的，而在阻带内是等波纹的。切比雪夫滤波器是由、和N共3个参数确定。当前89页，总共132页。可以看出，切比雪夫滤波器的幅度响应在之间起伏变换，而在阻带内是单调下降的；当N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1。当N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为。当前90页，总共132页。参量、和N的确定：（1）、确定由允许的通带波纹确定。如果在处允许的通带衰减为，可以这样确定不同的所对应的值如下：因此当前91页，总共132页。（2）、的确定是切比雪夫有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，常常是给定的。（3）、滤波器阶数N的确定切比雪夫滤波器的阶数N是由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率处的允许衰减为，即由此得到计算滤波器阶数N的公式

当前92页，总共132页。数字切比雪夫滤波器的设计步骤（1）根据滤波器的指标确定参数、和N。（2）计算常量、和，并求出极点。（3）由s平面左半平面的极点构成传递函数。（4）利用冲激响应不变法或双线性变换法将转换成。当前93页，总共132页。4.4.5IIR数字滤波器的频率变换

方法1的缺点是，由于产生混叠失真，因此不能用冲激不变法来变换成高通、带通或带阻滤波器。高通、带通、和带阻滤波器的常用的两种设计方法：当前94页，总共132页。频带变换原理设是数字原型低通滤波器的系统函数，是所求的滤波器系统函数。从平面到平面的映射定义为其中为变换函数。如果是稳定的因果低通滤波器的有理系统函数，经变换后的也应是稳定因果的数字滤波器的有理函数。因此，所求的系统函数为当前95页，总共132页。为此，该变换应满足：

①必须是的有理函数；②平面的单位圆内部映射到平面单位圆内部；

③变换后的数字滤波器频带应满足要求。当前96页，总共132页。从低通滤波器得到高通、带通或带阻滤波器的其它形式:当前97页，总共132页。当前98页，总共132页。4.6FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器的设计方法利用了模拟滤波器的研究成果，设计方法简单有效，能得到较好的幅度特性，特别是双线性变换方法没有频谱混叠，很受欢迎。但是，由于IIR数字滤波器的相位特性是非线性的，因而相位特性不好控制。当前99页，总共132页。FIR数字滤波器的独特优点是容易得到的严格的线性相位，此外，FIR数字滤波器的极点都位于原点，所以FIR滤波器总是稳定的。FIR数字滤波器还可以用FFT来计算。FIR数字滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率取样法等。当前100页，总共132页。可见它是一无限长、非因果的系统。可以证明不是绝对可和的，因而理想地滤波器是不稳定的。4.6.1窗函数法理想滤波器的频率响应对应的冲激响应当前101页，总共132页。可以将无限长冲激响应序列截断，得到一个有限长序列，并用它逼近理想低通滤波器。设一理想低通滤波器的截止频率为，时延为，即对应的冲激响应为

——这是利用窗函数设计FIR数字滤波器的基本原理。当前102页，总共132页。显然，是以为中心的无限长非因果序列，如下图(a)所示。寻找一有限长因果序列来逼近理想冲激响应，即

和

应满足FIR基本条件，即它是偶对称或奇对称的，以满足线性相位的要求，还应当是因果的。当前103页，总共132页。可把看作是与一矩形序列相乘的结果，窗函数不一定是矩形窗函数，也可以是其它窗函数，因此一般可表示为其中即当前104页，总共132页。根据卷积的性质，的频谱函数可表示为采用不同的窗函数，对应的有不同的形状。矩形窗的频谱为即FIR窗函数的频谱函数是理想低通滤波器的频谱函数与窗函数的卷积。其中当前105页，总共132页。从到之间的称为窗函数频谱的主瓣，主瓣两侧呈衰减振荡的部分称为旁瓣。主瓣旁瓣旁瓣矩形窗的频谱如图所示当前106页，总共132页。代入公式(4.79)，FIRDF的频率响应为理想低通滤波器的频率响应可表示为其幅度响应为因此，FIRDF的幅度响应为当前107页，总共132页。上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应加窗得到的FIR滤波器，它的幅度响应等于理想低通滤波器的幅度响应与窗函数频谱的幅度响应的周期卷积。当前108页，总共132页。时，等于上图中(a)和(b)两个函数乘积的积分，即在到这一段的面积。时，正好与的一半重叠，卷积值正好是零频响应的一半。在通带截止频率以内，的整个主瓣都在的通带内。因此卷积结果有最大值，频率响应出现正肩峰。当前109页，总共132页。的主瓣全部在的通带外，在通带内旁瓣负的面积大于正的面积，因此卷积值达到最大负值，在这里出现负肩峰。当进一步增大时，卷积值也将随着的旁瓣在通带内的面积的变化而变化，这样就造成以零值为中心的上下起伏波动。整个卷积结果如图(f)所示。当前110页，总共132页。从以上分析看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到两方面的影响。一、滤波器的频率响应在不连续点处出现过渡带，它主要是由窗函数频谱的主瓣引起的，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度。矩形窗对应的过渡带的宽度。一般来说，过渡带的宽度与N成反比。当前111页，总共132页。二、滤波器在通带和阻带内产生波纹，这种现象称为吉布斯现象，主要是由窗函数的频谱的旁瓣造成的。当前112页，总共132页。不同的窗函数的频谱的主瓣和旁瓣的形状是不同的。这两个要求是互相矛盾的，不可能同时满足。具体的说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，不可避免地会使旁瓣变高。一般情况下，对窗函数的要求是：

旁瓣高度尽可能小，即尽可能让能量集中于主瓣，以减少通带和阻带中的波纹；

主瓣宽度尽量窄，以获得极可能陡的过渡带。为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。当前113页，总共132页。几种常用的窗函数：当前114页，总共132页。1.矩形窗2.巴特利特窗（三角形窗）当前115页，总共132页。3.汉宁窗（升余弦窗）或当时，上式可近似为当前116页，总共132页。可见汉宁窗的频谱是由3部分相加组成，这样使旁瓣大大抵消，从而使能量有效地集中在主瓣内，代价是使主瓣的宽度加大了一倍。当前117页，总共132页。4.汉明(Hamming)窗5.布莱克曼(Blackman)窗当前118页，总共132页。(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)汉宁窗(d)汉明窗(e)布莱克曼窗这5种窗函数的主瓣宽度依次加宽，旁瓣衰减依次增大。当前119页，总共132页。(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)汉宁窗(d)汉明窗(e)布莱克曼窗矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带衰减最差，约－21dB。而用布莱克曼窗函数设计的阻带衰减最好，但过渡带最宽,约－74dB。用不同窗函数设计的FIRDF

当前120页，总共132页。6.凯泽(Kaiser)窗其中，是第一类修正零阶贝塞尔函数。凯泽窗是一族窗函数。是可调参数，调节值可以改变主瓣的宽度和旁瓣的幅度，的典型值在范围内。当前121页，总共132页。这6种窗的主要特性参数如下表：当前122页，总共132