2013数学建模周末培训概论

某地区物价指数图§9.5物价指数问题怎样定义和计算物价指数单种商品的情况设基准年价格为P0，目前价格为P可如下定义物价指数：社会中的商品不可能只有一种。多种商品的问题更为复杂多种商品的情况

假设有两种商品，基准年价格分别为、，目前价格分别为P1，P2。可采用多种平均方法来定义：算术平均值之比：比值的算术平均值：比值的调和平均值：

比值的几何平均值：

假如存在着n种商品，可以相应地写出类似的公式。

上述方法没有区别不同商品的重要性事实上各种商品在人们生活中所占地位不尽相同，例如，钢琴降价20%和粮食涨价20%无法对消。模型的进一步改进引入权系数对各种商品的比值进行加权，并允许相对权系数随时间变化符号说明记，

，以P0、q0分别表示基准年n种商品的价格及相应的权系数，以P、q分别表示观察年n种商品的价格及相应的权系数。物价指数I(P0,q0,P,q)为的连续函数。物价指数函数前面的公式能否取作物价指数函数对衡量物价指数方法的一些具体要求：（1）单调性（2）权系数的不变性（3）齐次性（4）平均性（5）货币单位的独立性（6）商品单位的独立性（7）基准年的独立性（8）物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义用数学的语言将上述八条性质写成公理形式

任一物价指数函数I(P0,q0,P,q)应满足以下要求：(1)若，则(2)=1(3)(4)(5)(6)其中,且λi>0（i=1,…,n）(7)(8)公理（7）的一些说明若以1972年为基准年（物价指数取为1），则1989年美国物价指数为1.660，而1980年为1.843，若以1973年为基准年，则1979年和1980年美国物价指数分别为1.093和1.209。根据公理（7）的要求，应当有

,事实上，此式只近似成立。请大家自行验证前面给出的公式I1－I4是否都能同时满足公理系统的(1)－(8)要求一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求

此公式是由laspeyres于1871年提出，在将近一个世纪的时间里,被广泛用于计算物价指数可以用构造法证明上式公理（7)不成立

,即不一定成立。

此式是Paasche在1874年提出的，与①不同的是计算时采用了现在的权系数。容易直接看出公理（2）不成立。

其中ai>0，且此式是平均方式（4）的一种自然推广。ai的取法和q0、q有关，实质上是权系数的一种变形。该式也不能同时满足公理（1）—（8）。令某，则I→0，而若令某，则又有所有较自然地导出的平衡公式均不能满足公理系统，是否该公理系统有矛盾？定理11.7

不存在同时满足公里(2)、(3)、(6)、(7)、(8)的函数I(Eichhorn，1976)先证明以下两个引理：

引理11.1

记，D1、D2为任意两个对角元素为正的对角矩阵，则有：证明：

引理11.2

记，则有：证明定理11.7：先引入下列矩阵,记对角线上第j个元素为λ，其余元素为1的对角阵证明：

1再记作

则有：

令，则有根据P的定义，至少存在一个j，使得与公理（8）矛盾上述公理系统隐含矛盾上述公理间相对独立吗？定理11.7

满足公理（4）则必满足公理（2）。证明：取P=λP0，由公理（4）可知：（）因此：若取λ=1，即得出（2）成立。

一个严谨的公理系统应当满足公理间的无矛盾性和相对独立性

综上所述，我们可以看到，若采用引入公理系统建立逻辑模型的方法来讨论物价指数问题，则至今仍存在难于克服的困难。有人曾考虑去掉公理（8），当出现Pi=0的情况时就用降维的公式来计算，但这样