数学自主招生模拟考试试题2答案

自主招生考试数学模拟试题参考答案

1.

证明：记g(x)=/(x)1,(-x),则f(x)=g(x)+〃(x),且以")是偶函数,

力(x)是奇函数，对任意的王£",g(x4-2TI)=g(x),h(x+271)=h(x)

g(x)_g(x+4).7U

xw既+一

工⑴=3产2,

令启X)=，2cosx2

,7U

0x=E+一

2

h(x)+h(x+兀)ku

h(x)-h(x-^7L),

-------------x#k五,/、

力3-2sinx，力(x)=«2sin2x2,其中“为任意整数。

0x-kit0x=一

2

容易验证f(x),2=1,2,3,4是偶函数，且对任意的f.(x+7r)-/(X),7=1,2,3,4o

下证对任意的xGR,有f](£)+f2C¥)C0SX=g(R)。

当XWE+工时，显然成立；

2

当％=碗+三时，因为工(x)+力(x)cosx=/；(x)=WQ£”0,而

22

g(x+7r)=g(a+T)=g(br+T_2(Z+l)7r)=g(_Zx_])=g(Z7r+W)=g(x),

故对任意的x《R,f((x)+f2(x)cosx-g(x)o

下证对任意的xRR,有£3*)0皿/+£4(工后吊2元=〃(1)。

kjr

当X。丝时，显然成立；

2

当产力〃时，h5)=h(kn)=h(kn或kR)=h(-kn)=-h(k口),所以尔x)=A(在万)=0,

而此时/3(%)sin^r*jfi(A)sin2%;=0,故/?(x)=/(x)sinx"i(x)sin2x；

当x=航+工时，

2

37r37r7t71

h(x+=h{k7t+—)=h{k7t+—-2(Z:+1)%)=h(—kn--)=—h(k兀+-)=-h(x),

......h(x)-h(x+乃)，/、八

故人(x)sinx=--------------=h(x),又/(x)sin2xR,

从而有力(4)=£(x)sinx"i(x)sin2x。

于是，对任意的有_fi(x)sinx+£i(x)sin2x=/?(x)。综上所述，结论得证。

2.

不妨设过A点的切线交x轴于点C,过8点的切线交x轴于点

D,直线AC与直线8。相交于点E.如图.设

B（x：,y）,A（X2,y2）,

且有%=1-々2,y=］一芭2，&>0>々.

由于y'=-2x,

于是AC的方程为2%x=2-%-y；①

8£）的方程为2k=2-%一丫.②

联立AC,BD的方程，解得E（,l-x,x2）.

2（々一匹）

对于①，令y=0,得C（马力,0）；

2々

对于②，令y=0,得£>(空入，0).

2玉

于是仁必==小:-匕立.

2芭2X22X(2X2

SAFCD=^|CD|(1-X1X2).不妨设办=。>0,f=b>。,则

^AECD=—(--~-----)(1+ab)=—(2。+2/7H--1---卜crb+ab1)

467b4ab

=4(a+6)(2+ab+—)2—•2>[ab.(2++—)③

4ab4ab

不妨设V^=s>(),则有

「1/3c1、1/31111、

S.——(S+2s-I—)——(SH—S+..H—SH----F...-I---)

,82Fsrn2339s9s

6个9个

4J7»JDjz

又由当西=a=巫，％=R=-^，s=正时，③，④处的等号均可取到.

333

,，(^AECD)min=§栏"

3.

0--

分析：对于针来说，中心点到平行线的距离x是随机的。2.和

平行线的夹角夕也是随机的。°一兀。如果相交则需要。

以角度为横坐标，距离为纵坐标。如图：S

P=-

矩形面积S为样本空间，正弦曲线围成的面积即为满足条件的样本。所以概率S。由定积分的知

s=—sinOdO=\

识’J°2

5.21

p=-=----

所以sd兀

、(«+sinx)(4+sinx)1.3(。一1)八

f(x)=--------------二1+sinx+--------+Q+2

1-f-sinxl+sinx

当时,0<业二1)42,此时

/(x)=l+sinx+―—+«+2>243g-1)+〃+2

l+sinx

且当sinx=13(a-1)-1时等号成立。所以最〃值为253(吠1)+a+2

当a>(再二1J>2此时函麴*(x)=f+迎/是递减函数

故函数最小值刘⑴二第詈

_______7

综上所述〃x)的最小值为2j3(a-1)+a+2^l<a<-

5.解：令n=l,则q=0,若n>l时，巴出_=马——设/,=2_,则

n+1n-\n+l〃n-i

-%---------t>-„---------2----,

n+1n〃("+1)

2+1b„(\1)

--------------=-z-------------

几+1nn+1J

两边求和，得

故q熟=199&e-111999+2

由2000%999，得100(994合一1:1999+2

于是知为偶数，可设。2=2〃？，则100()0-1>1999+2

.••100卜(m-l)+2,即100牺-3,

再令加一3=1000，，则

an=(H-1)[(100Q+2)n+2]=〃(八—1)•1000+2n(n-1)+2(“-1).

因为200(k，,所以

200松(八-1)+2(〃-1)

故100*2_],则n为奇数，可设〃=2&+1,则25QZ:(4+1).250=2x53

—

b)t=—1)“+2a“=(711)—+2

故限=199&《■-1)1999+2

由2000；”[999，得100(9901年-1)1999+2

于是的为偶数，可设。2=2小，则1004机—1)1999+2

A100(1-(m-l)+2,即100。〃?—3,

再令加一3=1000?,则an=(«-1)[(1000+2)n+2]

="(八一1)•1000+2n(n-1)+2(〃-1).

因为200g”，所以

200松(〃-1)+2(1)

故100*2一],则门为奇数，可设九=2左+1,则25QM左+1).250=2x53

而(2,左+1)=1,所以

53k或5,M+l,取左=124

n>249.

6.

r度+——才

x=2bc

cy+bz=a,1+，一毋

az^cx=b,得,---由--于--x-、y>z为正数,

2ac

{bx+ay=c.

、z=-2ab

a+b>c,

故《4+cW

=><b^c>a,即以a、b、c为边可以构成锐角三角形.

,2+才=旅、c+a=b.

记边a、b、。的对角分别为N/、/B、乙C.

贝ijcos/l=x,cosB=y,cosC=z,（力、B、。为锐角）

cosI2Jcos~Bcos2c

fix,y,z)=AcosJ,cosB,cost)=1+cosJ+l+cos8+1+cosC*

令〃=cot4p=cot8iv=cotC,则u,%w£R,且〃KPJFH%=1.

于是，（公力（z/+i力=4+〃片〃，什%=〃2+1.同理，J+l=（什u）（广面，步+1=（/u）（M■力.

2

COS2A=Sin2Jcot2>4=y^^^=所以,COSJl+d

u

1+cosJI+_7l+i/(y/1+iJ+u)yjl+if

：l+〃2

,2.)、2U/11\

2一万骨〃

"一可yj(厅r)

2

1-IEcos'B、2'/]]、cosCrt与店一5"(++-J-).

同理而才L万KF，

1+cosC2H+u

i3.33,33.3

于是/'2"2+(；+病—,(fl七1I+匕/)

zu^v\^w

=/+V^W—^U—UV^V^V-VW^W—wu^-u)

=；（等号当且仅当〃=p=*HPa=b=cfx=p=z=；时成立.）

故知"(X,y,Z)]min=5.

7.

解析：（1）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发

生的概率和相应情况下子一代的基因型式为A4,Aa,。。的概率如下表：

父本、母本的基因型相应情况子一代基因子一代基因子一代基因

式出现的概率为A4的概率为A”的概率为aa的概率

父A4母A4U2100

父A4母4/2uv0

22

父A4母44UW010

父A。母A42uv0

22

_l__l_

父4z母4优

424

l_

父Aa母aa2vw0

22

父qa母AAuw010

j_

父aa母Aa2wv0