动量和角动量

动量和角动量第一页，共六十七页，2022年，8月28日第4章动量和角动量§4.1动量定理动量守恒定律§4.2质心质心运动定理§4.3碰撞问题§4.5质点的角动量角动量守恒定律§4.4火箭飞行基本原理§4.6质点系的角动量第二页，共六十七页，2022年，8月28日一、动量与冲量单位：kg·m·s-1冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。冲量：作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：变力的冲量：单位：N·s牛顿第二定律：动量：§4.1动量定理动量守恒定律第三页，共六十七页，2022年，8月28日二、质点动量定理由牛顿运动定律：如果力的作用时间从，质点动量从则：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。动量定理的微分式：第四页，共六十七页，2022年，8月28日(2)

动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。或以分量形式进行计算。(1)反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。说明第五页，共六十七页，2022年，8月28日(3)

冲击、

碰撞问题中估算平均冲力(4)适用于惯性系，在非惯性系中，只有添加惯性力的冲量后才成立F(t)Ft第六页，共六十七页，2022年，8月28日解：(1)根据动量定理：30047t(s)F(N)[例4-1]m=10千克木箱，在水平拉力作用下由静止开始运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为=0.2，求：(1)t=4秒时刻木箱速度；(2)t=7秒时刻木箱速度；(3)t=6秒时刻木箱速度。m第七页，共六十七页，2022年，8月28日30047t(s)F(N)第八页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-2]质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为v

，它与行李间的摩擦系数为μ，试计算：(1)行李将在传送带上滑动多长时间?(2)行李在这段时间内运动多远?(3)有多少能量被摩擦所耗费?(1)以地面为参照系(2)由质点动能定理解:(或：)mxOv第九页，共六十七页，2022年，8月28日mxOv(3)被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功以传送带为参考系：第十页，共六十七页，2022年，8月28日三、质点系的动量定理设有N个质点构成一个系统，末速度。第i个质点：外力，内力，初速度，质量由质点动量定理：其中：m2m1i第十一页，共六十七页，2022年，8月28日质点系的动量定理：微分式：质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。第十二页，共六十七页，2022年，8月28日四、动量守恒定律系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。当时，常矢量。(2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）(1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化,通过内力进行传递和交换。说明第十三页，共六十七页，2022年，8月28日(3)

分量式(4)定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。第十四页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-3]

已知高H，傾角为的斜面光滑。小车质量M，从顶端滑至中点时刚好有一钢球m从

h高度掉入。求小车到达底部时的速度V

?解：m、M系统，冲击过程HhmM(M+m)gN由于m与M间的冲击作用力远大于重力在斜面上的分量，重力在冲击过程中可以忽略，斜面方向动量守恒!第十五页，共六十七页，2022年，8月28日冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：解得：第十六页，共六十七页，2022年，8月28日θ[例4-4]

炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面有摩擦，摩擦系数为μ

,炮弹相对炮身的速度为u，求炮身相对地面的反冲速度v。解：选取炮车和炮弹组成系统运用质点系的动量定理：x方向：内、外力分析。水平的动量守恒吗？y方向：xy第十七页，共六十七页，2022年，8月28日θ第十八页，共六十七页，2022年，8月28日讨论：1.若炮车与地面没有摩擦2.若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹3.自锁现象，即v=0时END第十九页，共六十七页，2022年，8月28日§4.2质心质心运动定理一、质心

质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。第二十页，共六十七页，2022年，8月28日质心的位矢：分量式：质量连续分布的物体：xyzOc第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日分量式：质量线分布：质量面分布：质量体分布：第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-5]

求半圆环的质心。质心不一定位于物体内部。解：RxyOdlc第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日二、质心运动定理为质点系的动量零动量系质心坐标系：由质心位矢公式：第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日由质点系动量定理：质心运动定理：质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。微分形式：第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日1.适用于惯性系。质心系是惯性系，质心系是非惯性系。2.3.动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。4.质点系相对惯性系的运动可分解成：

随质心的运动+相对质心的运动。资用能说明质点系在实验室系的总动能：第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-6]

三棱体C、滑块A、B，各面均光滑。已知mC=4mA=16mB,=300，=600。求A下降h=10cm时三棱体C在水平方向的位移。解：水平方向无外力,质心水平位置不变。ABCαβh设三棱体位移为：第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-7]

质量为M的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与地平线成的速度v0向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度u向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？人不向后抛出物体，所跳过的距离：[解法一]取地面坐标系，用动量守恒定律求解。人在最高点向后抛出物体的过程中，应用动量守恒定律：mMαRR+ΔRxyO第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日抛出物体后人的速度：比不抛出物体时速度增加了：抛出物体后多跳过的距离：第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日[解法二]质心坐标系中应用动量守恒定律。在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体时多跳过的距离:mMαRR+ΔRxyO第三十页，共六十七页，2022年，8月28日[解法三]应用质心运动定律求解。人以相对于自己速度u抛出物体m，下落后，人M与物体m之间的距离：联立方程后，可得落地时人离质心距离为：ENDmMαRR+ΔRxyO第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日一、碰撞过程1.压缩阶段2.恢复阶段§4.3碰撞问题微观粒子：碰撞散射弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。

非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日(1)弹性碰撞v2v1v20v10动量守恒：动能守恒：第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日1.当m1=m2时，则:讨论在一维弹性碰撞中,质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，则:质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。3.若v20=0，且m2<<m1，则:质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日(2)完全非弹性碰撞动量守恒：机械能损失：vv20v10第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日动量守恒：(3)非弹性碰撞：碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比。比值由两球的质料决定。——恢复系数v2v1v20v10第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日碰后两球的速度：机械能损失：完全非弹性碰撞：e=0v2=v1非弹性碰撞：0<e<1弹性碰撞：e=1

（v2-v1）=（v10-v20）第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-8]

已知板M，l；小球m,v0,h。弹簧k，桌面光滑，掉下时与板为弹性碰撞。求(1)弹簧最大压缩量，(2)若只发生一次碰撞，则v0应满足什么条件？解：（1）碰撞时（y方向碰撞）,小球速度为：弹性碰撞：hlmv0kxy第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日解得：碰后，板、弹簧、地球系统：得：第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日(2)小球从桌面下落至板上经历的时间：球要与板发生碰撞，首先须满足条件1：一次碰撞后，小球弹起再落回原碰撞处经历的时间：hlmv0k第四十页，共六十七页，2022年，8月28日得：设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量<<h，即假定小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球只与板发生一次碰撞须满足的条件2：第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-9]

光滑桌面上，质量为m1的小球以速度u碰在质量为m2的静止小球上，u与两球的连心线成θ

角(称为斜碰)。设两球表面光滑，它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线，已知恢复系数为e，求碰撞后两球的速度。x、y方向动量分别守恒：解：oyx设碰后两球速度分别为v1、v2

，方向如图。恢复系数：oyx第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日讨论：两个质量相等的小球发生弹性斜碰：

m1=m2,e=1时，联立三个方程后求解，得：第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日解：(1)A球所受合外力的冲量[例4-10]光滑球盘上有两只光滑弹性小球A和B，质量均为m，半径为R，B球静止在盘壁边，A球以m/s的速度斜射至(-R，R)处与盘壁和B球同时碰撞,碰撞后，若A球的速度为，求:(1)A球所受合外力的冲量。(2)A，B组成的系统所受的合外力的冲量。(3)球与壁之间的恢复系数。(2)A，B系统所受合外力的冲量(3)球与壁之间的恢复系数xyAB第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日[例4-11]

如图所示，一个质量为m的小球以入射角与一粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为，恢复系数为e，求碰撞后小球的速度大小与方向。考虑小球，碰撞过程，忽略重力由动量定理：x：y：解：恢复系数：v0,θx0yEND第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日一、火箭推力喷气的动量变化：喷气受力：4.4火箭飞行基本原理设t时刻，火箭质量为m1，速度为v(向上)，在

dt内，喷出气体dm2，喷气相对火箭的速度(称喷气速度)为u(向下)。由动量定理：箭体受到喷气的推力：t+dtv+dvuzotv第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日二、箭体运动方程对箭体和喷气组成的系统(设受外力F)：t+dtv+dvuzotv第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日箭体运动方程可适用于所有有质量流动物体的动力学问题。时，加速上升。第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日三、火箭的速度公式只计重力：设t=0时，v=v0，m1=m10

，任一时刻

t时为v和

m1。第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日目前技术只有：u=2500

m/s，m10

/m1min=10。

提高火箭速度的途径：当v0=0，u=2000

m/s时，要达到第一宇宙速度v=v1=7.9

km/s，须有：讨论不计重力：第五十页，共六十七页，2022年，8月28日如果N1=N2=N3=5，u=2000m/s，则有：v=10.6

km/s，考虑重力和阻力后仍可达到第一宇宙速度。最终速度：采用多级火箭技术：第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日END“神州五号”运载火箭长征2号F(CZ-2F)第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日一、角动量（动量矩）大小：O4.5质点的角动量角动量守恒定律引入质点相对于参考点o的角动量：由于动量不能描述转动问题。Ommrr第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日分量式：即质点相对于三个坐标轴的角动量。第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日合力对参考点O的力矩：二、质点角动量定理

由=0dO第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日质点的角动量定理：质点对某固定参考点的角动量的变化率等于质点所受合力对同一参考点的力矩。角动量定理是描述质点转动的动力学方程(微分形式)(积分形式)称合力矩在时间内的角冲量或冲量矩。第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日三、质点角动量守恒定律各分量具有独立性：若则(恒矢量)时，时，时，第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日开普勒第二定律——面积定律在中心力场中，相对于力心的角动量守恒m(常量)第五十八页，共六十七页，2022年，8月28日解：Ro[例4-12]

发射宇宙飞船去考察一质量为m1、半径为R的行星，当飞船静止于距行星中心4R处时，以速度发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的仪器,要使仪器恰好掠着行星的表面着陆，θ角应是多少?着陆滑