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第二十四章相似三角 第二十五章锐角三角 第二十六章二次函 26.3(4)二次函数ya(xm)2+k的图 26.3(5)二次函数ya(xm)2+k的图 26.3(6)二次函数ya(xm)2+k的图 1、我们已经知道了形 、大 两个图形是全等形2(简写3 图形的放大或缩小称为图形的放缩运动把形状相同的两个图形称为相似形例 如图,△ABC与△DEF是相似图形,且点A与点D对应,点B与对应,点 与点 对应DA50B70DF,EF的长度,并求∠C,∠D,∠E,∠F的度数DA 6A1B1A1C1B1C1A1D1的长.1、两个直角三角形一定是相似图形 2、两个等边三角形一定是相似图形 3、有一个角是30度的等腰三角形一定是相似图形 4、对于任意两个边数大于3的相似图形,它们的各对应边相等、对应角也相 5、两个图形全等也可以说这两个图形式相似的 12下列命题中正确的是(A.2 B.3 C.4 D.5BB1CC1DD1EE1分别是对应顶点,其中下列命题中正确的是(A.1 B.2 C.3 D.4日常生活中相似的图形有(举两例相似的图形它们的形 大 (两空格选“相同“不同” 如果△ABC与△A1B1C1是相似的图形,点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1是对应的顶点,那么这两个三角形中,对应角是 10001:50000的地图上,地图上已知身高1.6米,他在阳光下的影长是2米,同一时刻古塔的影长诗ABCDA1B1C1D1A与点BC=32cm,CD=30cm,A1D1=25cm,B1C1=20cm,∠A=90°,∠B=120°,∠D=70°,∠A1=90°,A1B1,C1D1,AD的长度及∠B1,∠C1,∠D12、请求下面两条线段的比引例:如图:AB=50,BC=25AB'20AB '

B'C'10求BCBC a[说明]两个数相除又叫做两数的比,记作b 或a:b,其中a叫比的前项,b叫比AB50

20

ABbb

=db、c第四比例项.请想,由a:bc:d能否得到adbc?为什么?ad=bca:b=c:da:b=b:cb2由b2aca:b=b:c,ba、c(其中的一个比例式)aca、b、c、d四条线比例 a、b、c、d四条线比例a .由于成比例的数具有比例的基本性质,所以成比例的四条线段也具有比例的基本性质.⑴a=1mm,b=0.8cm,c=0.02cm,⑵a11cm,b=0.4cm,c=40cm7

d31cm2∴a、b、c、d四条线比例.552⑴ 2

,

,d=23⑵

, c=2 3⑶ b=6 3⑷ 42a=30mm,b=2cm,c=5cm,d=12mma、b线段d::ac,acac b .,∴.通法,希望认真体会,务必掌握.. . 即8a11b,a. .(2)(拓展)acbd

证明:ac,a acbd acbd 由(1)÷(2)acbda 3AD

ADEABACDE

(2)AB 1ad=bc1ad=bcbd≠0()A. 2a=c() a=d

a

a b

ab

c=c=a:b=c:d 比例线段的基本性质:如果a=c,那 x=

3x, 2a 7.已 b

a:b8.已知线段a、b、cabc,3a-2b+5c=68,求线段a、b、c 常重要的原因就是:五角星是一个非常完美的图案.古希腊数学家部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来

1ABlPABPB

AP求线段AP如果点PABAPPB(AP>PB)APAB

20.618,就会越给別人有一种美的0.580.60(腿长鞋,会让看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家发现的,古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中,其中最经典的作品就是雕像—请观察两幅,哪一更具有美感呢

因为对称会给人单调静止缺乏的感觉为了打破这种444(观察巴黎埃斐尔铁塔、东方明珠电视塔古埃及金字塔三幅,另外一种有趣的黄金分割现象.请在下面十个矩形中找出你看起 ④ 算出这四个矩形的宽与长的比值( 保留30.625, 形AEFDBC

矩形BCFE(原因留给DOCOO O作顶角为360的等腰三角形 作BACD,量出BCDCD最后,分别求出ABC与BCD的底边与腰的长度的比值(精确到5已知点C是线段AB的黄金分割点AC=5 AB与BC的长.5已知点C是线段AB延长线上一点,且AC:CB=7:3,则AB:AC等 (A. B. C. D.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),若AB=l,则AC的长 (515151513 53 5如果线段a、b、c满足a:b=b:c(或b:a=c:b),即 ,那么b叫做a和c的比已知线段a、b、ca=25,c=4,如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项那么称 ,点P成为线段AB的 ABC与△AB’C’AB

B'C

CAC'

323求△ABCABPAB的黄金分割点,AP>PBAPS1,以PB、ABS2S1S2的大小关系。经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略4、若abcd(a,b,c,d均不为零)则把这个乘积式化成比例式可以写成哪 DEDE问题1如图若DE∥BC,AD1能否得到AE1? DEDEDEDE DEDEBC

ADAE因为DEBC

SEDBSEDC

AE=1

ADAE. .探究:若将DE

ABC,直线lAB、ACD、E,且lBC AD 想:利用比例的性质,还可以得到哪些成比例 ADAE,ADAE,DBEC EC AC ABCABCDE EABADAE 用符号书写:DE∥BC

ADEBCABAD DEBC1DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=6∴ABAC

ADBD AB=15,AC=10,BD=6,得15

,∴CE=4AD5DB3AE4,求ECAC12EC4DB5ADAD:BD3:2AC10AEDEDE ACACBD

=AB·B如图,DEF在△ABC的各边上,DF∥BC,DE∥AC,下列各式中能成立的有(

BEBD B.2 C3个 D.4 ()

AD

AE

SEAD

ABC中,MNABACMN∥BC,若AM=15,MB=20,AN=9NC=D、E分别是△ABCAB、ACDE∥BC,AE=12,AD=6,AB=10,DE分别是△ABCABAC5BE是∠ABC的平分线,DE∥BC,AD=24,DE=16,AC=35DE DE思考△ABCDE∥BCADAE DE DECDEDE不在△ABCBCADAE DEBC

AE

DEAEAEDABC如上图,当DE在AB,AC的延长线上或BACA的延长线上时结论同样成立(证明 1BDCEA,DEBCA A,2已知:如图BECF是ABC的中线,交于点GEGF1 AAFGE 3RtABC中,C900AB12BDAE是中线交于G求CG的长4RtABCC900,AB5BC4G是重心,GH于H,求GH的长.

3DEDE ,求E E 已知,△ABC中,∠C=900,G是三角形的重心,AB=8,求:①GC的长;GMN∥ABAC于M,BC于求MN的长M MA第3

B4BG的长两个三角形的三对对应边成比例,特别注意与平行线分线比例定理 7

4

如图,在△ABCD、EAB、ACDE∥BC

.BDCEADE∥BC

DE

AC 在△ABC中,DE∥BC,AD=6,BD=9,BC=106.O是△ABC的重心,ADBCAO=6ABCD中,AD∥BC,M、NAD、BC的中点,AN、BM∥BCCMFAD=8,BC=12EF 如图,MABCDBDAMBCF,DC的延长线H,求证:AM²=MF·MH(1)如图,AD

1,DE∥BC当ADAE时 DE∥BC

ADAE,求证:DEBC 证明:联结EBDC作BG垂直直线DE于点G作CH垂直直线DE于点H

AD,SEADDB

ADAE

SEDB∴BG∵BG∥∴四边形GBCH∴DE∥ADAEAD

AE,DBEC DE∥BC 的对应线比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. D,EAB,AC的延长线上时,或在反向延长线上时,以上结论同样成立.(想你会证明吗?) 的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线比例,DEAD能否推出DEBC,为什么?(不能

D,F在ABCABEACAF

求证:EF∥DC FEDFEDCB如图(1),在△ABC中,点D与点E分别在AB、AC上,AD=3cm,DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm,则DE//BC. 如图(3),若ABDE,则

89

126

AB

六、小结与教师这节课学习了三角形一边的平行线的判定定理及推论,它如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,下列四个条件中,不一定能得到DE∥AB的 ()CDCE

CDCE

DECE

CBCA 如图,AD与BC相交于点O,下列条件中一定能得到AB∥CD的条件 (ABOA

ABOA

OAOB

BCOB 如图,点D、E分别在△ABCAB、AC

,那么 AD DB 已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,且AB:AD=2:3,AE=1.2m.若 ,则 如图,AD与BC相交于点O,已知OC=5,OD=4,OB=3,则当 时 如图,△ABC中,D、EAB、AC上两点,AD=3AB,EC=6,AC=15,求证:5如图,在△ABC中,AD∥EF,BD2=BF·BC掌握平行线分线比例定理和它的推论的证明和应用注意不要和前面的定理.平行线分线比例定理及其合适的定理解决问题. DE EF DF 对应线比例)CF

ABBCOO A字型 X字型 倒A字型 1AD∥BE∥CF,AB=3,AC=8,DF=10,DE,EF的长.2a,b,cxMBbAMBbAabcO FC的长.2如图,l1∥l2∥l3,两直线分别交l1、l2、l3于A、B、C和D、E、F各点。下列各式中,不一定 ()ABDE

ABDE

BCEF

ADBE 那么GH:CD等 ( 1题图,l1∥l2∥l3 已知线段a、b、c,且x=3ac,将线段x如图,在△ABC中,D、FABD、FDE∥FG∥BC,E、G,DE:FG:BC已知线段a、b、cxx=ECN,求证:MN∥BCk,叫做相似比(或相似系1,这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形. BABCABC

1,则ABC与ABC的相似比k

AB111

11

ABC与ABC的相似比k,A1B12.(顺序性11 想:如果ABC∽A1B1C1,A1B1C1∽A2B2C2那么ABC与A2B2C2相练:选择题 A、有一个角为400的两个等腰三角形;B、有一个角为500D、有一个角为1000的两个等腰三角形.AB B ClDEEDlADEDE 想“AAS”,采用类比的方法,引出一个关于三角形相似判定的新题求证:△2(15-58,BE,DCA,∠E=∠C.求证:DAAC=BAAE. B.如图,AD和BC相交于O点,点E、F分别是OC、OD上的点,联结EF,已知EF∥CD,

AE 在△ABC与△DEF中,∠A=70°,∠B=45°,∠D=70°,∠E=45°如图,在△ABC中,AB=12,AC=8DABAD=6ACE∠DEA=∠C,则△ADE与原三角形相似,作法 ,且 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CEAB上的中线,DE⊥ABEBCD,AC=3,BC=4CD的长。2的证题方法与思路,相似比?1.ADEDE 12:如上图,在ABC和ABC中,如果AAAB1

AC

11

(SASDE//BC,可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.2,又得到:AA,AB

ABC∽AB1A A

111 11ABCDACBDO,OA=1,0B=1.5,0C=3,OD=2OAD与OBC是相似三角形.DDAO 2D是ABCABAC2ADABACD∽ABCADCDBAC2ADABAD 的判定定理2推出结论.这是比较的技巧问题,也是证题的关键步

.边长分别为2和4,那么这两个直角三角形如图,在ABC中,若AEDBADDE ADAE (C)DE

AD (D)AC 在ABC和DEFA360AB12AC15D360DE16时,ABCDEF. (A)AC (B)AC AB2CD (D)AB2BDAB2 (A.1 B.2 C.3 D.4如图,在正三角形中,AD=1DC,AE=1AB,下列判定正确的 ( 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,那么 D、E是△ABCAB、AC

,且∠如图,在△ABC中,D是AB上一点,如果AC²=AD·AB, PAB上移动(AP<PB,CA⊥ABA点,DB⊥ABB 如图,在△ABC中,∠C=90°,N、MAB、ACAN·AB=AM·AC,求证:CB=6,CM=203 33如图在ABC和ABCAB

AC

BC,那么ABC和ABC11

11 C ABBC

ABC∽AB

11DEF∽ABCFEFE

A1B1C1A2B2C2 顶点画三角形,则与△ABC相似的三角形图形为( 三角形中,与ABC不相似的是 HF HF 形相似;(4)2:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似 (两个矩 ()在△ABC与△DEF

EF=

ABBCAC,∠BAD=21° 已知在△ABC与△DEF中,AB与DE、AC与DF、BC与EF、分别是对应边,其中AB=5,AC=10,BC=6,DE=20,当DE= 如图,在△ABC中,D是形外一点,使∠ADC=∠ACB,ADBCP点,AC=4,AD=6,AP=如图,在正方形网格上有两个三角形,试证明△ABC与△BAD1,0),B(0,3,C(3,0),D(1,4)是否有相似的三角形?如果有,哪几对三角形相似,并加以证明;如果没有,请说明理由。yDyDBACx了解判定定理的证题方法与思路,应用判定定理. DE DEAB 14:如图,在RtABCRtABC中,如果C1

90,

BC11

CC900,AB

RtABC∽RtABC A B

111 14ABCDBACADC900ADaBCbAC ,求证:DCBCAB5BAC90ADBCD,DE//AC.则图中共有EAE 3:如图,在ABCADBCDCD(1)BDAC900(2)BDAC(3)

AB2BDBC,其中一定能判定ABC是直角三角形的共 A、3个B、2 AB4:在ABCA900ACCECDBCEDBA5:已知,在ABCC900CDAB,EBC的中点,DEAC的延长FADCFCDDF.BDE DE ( B.2 C.3 D.4Rt△ABC中,∠C=90°,,CD⊥AB于DCA:AD=5:4AC:AB( 如图,在△ABC与△PMN中,∠A=∠P=90°

ABCD中,AP⊥BDPBC=4,CD=3在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D点,DE⊥AC于E点,在这个图形中共有相似三角 如图,在△ABC与△ADE中,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,当 时,DN=6,求:MN

AB

, 5A1B1C1A2B2C2ADBCA1D1B1C1,垂足DD分别在边BC、BCAB

AD

ACABCABC 1

11A1 1MABPN、PT上,ABA1B1,BCBMAB

(能否一题多解FFG∥ABAEGAG2=AF·FC..交于H,则图中相似的三角形共有( A.AC

AC

DAFABM.EC2EFEMEAMBEAMBF如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FDBCG、H,则图中共有相似三角形( B.5 C.6 D.7F,使得△DEF和△ABC相似,则点F的位置 (A.1 B.2 C.4 D.6D、E分别在△ABCAB、AC上,使∠ADE=∠ACD=∠ABC,则图中相似三角如图,在△ABC中,DAC边上一点,使∠DBC=∠ABC=10,AC=5CD为如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥ABDABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、FAB、AC的中点,EFBD相交M,DB=9BM3122、11的发现与证明41、2、3以及缩小(或缩小k似ABCA1B1C1ADA1D1分别是ABC、A1B1C1的角平分线 BC A A A

或 B1 11 1 11 ABC和A1 AD和BE是ABC的高,AD和BE是ABC的高且CC

AD

AB1 1

11

A A

AD

B1

1 1⑴已知ABC∽A'B'C'的相似比为2:3,则它们对应中线的比 ;⑶已知ABCAB'CADAD分别是ABC和AB'CA'

3,2

9AB'⑷ABCDEF且BC

,EF

DE边上的中线为10ABⅢ.P34/1、 D相似三角形的对应角之比等于相似比是BC、EF边上的中点,下列结论中错误的是 () B.ABk

BMk

AMk ,BC 已知△ABC∽△DEF1:2,AB4DE已知△ABC∽△DEF,AB=6,DE=8,∠B9,则∠E3,6,724,求另一个三322、2、3的探索过程,体会类比思想,2、3.2、3的发现与证明.(1(2(2) (2) B ABBC 1 1 1 kAB1 1 112

k2.(自己证11SAB11B11ABC∽ABC11

k11

SABABC∽ABC,

CABC11

1已知:△ABC∽△A′B′C′,48cm60cm,且AB=12,B′C′=25,求BC、A′B′.DEABCDE且

16.求SABC的 已知△ABC∽△A’B’C’3,△A’B’C’的周长为224cm18c㎡,

ABA'B

,△ABC

c㎡3.如图,△ 中,DE//BC,且AD:BD=4:3, ,SAED △ABC∽△A’B’C’3:4,且两个三角形的面

BAD(3题图AD之差为28cm2,则△ABC的面积 ooAD

,S梯形

(5题图) kCk

AC

ACBCCADEEF

ABBCCADEEF

2,7在△ABC中,DEBC的中位线,则△ADE与△ABC451:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比在ABC中,CD是AB上的高,ACB90 (2)CD2AD 思考:BC与BD、AB之间有什么数量关系?D E例5已知点D和E在△ABC的边AB和ACD EDE//BC,

3 A某时刻量得一棵树AB在地面上的BE=30米,同时测得在BE方向上竖起的一 CDDF3

(1题图DEO已知DE//BC,CD与BE相交于 ODEO并且S△DOE:S△COB=4:9则AE:AC=( (A)4:9(B)16:81

(2题图(C)2: (D)l: 两个相似三角形的面积之比为1:2,则这两个相似三角形的周长之比为 2 222

,且角形的面积为83,则两个相似三角形的面积之比为25:9,周长之差为12,则角形的周长152340,如图,ADRt△ABCBC上的高,AB=3,AC=4,求:△ABD和△CAD如图,△DOE1,△BOC9,DE∥BC,DBCEAD于E,DE1

S四边形例题1在ABC中,ABAC10BC16,点P和D分别在BC和AC上,BP12APDB求CD的长.ADD 例题2如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mmBC上,其余AB、AC上,这个正方形零件的边长是(1)AE 80x

BC即

120求出x的值3△ABCDEFD、E、FAB、CA、BCDE//BCBC=4cm,BCAH=6cm.DE的

3)cm如图,△ABC中,AD⊥BC于 FGHI为矩形 求矩形FGHI的周长,(1题图求S△ADE:SDFGE:S

(2题图 BFAE

CEDE

BDDF

BFDF 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,下列等式中错误的 CDEFRt△ABC的内接正方形,∠C=90°,D、E、FBC、AB、ACAF=4,DB=9,方形的边长在△ABC中,D、EAB、AC边上,DE∥BC,△ADE1,△DCE的面积为2,则△DBC的面积为AE:EB=1:3EF的长。ABC2点DE、FG△ABC已知BC=12cm,求FG(提示:FG)2

2,得FG463 已知:向量ab(1)ab(2)a

思考:已知aaa3a,那么aaa 1已知向量a,如何求(1)aaa

(a)(a)(a)一般的,设na为向量,我们用na表示n个anana表示n个a相加..又当m a

表示与a 5 2已知非零向量a

aAD

OE,

a,

b请用向量a或b

中与向量OE

FDE4D、EABC的边AB与ACDE∥BC,3AD=4DBDE用向量BC表示向量DE 1、ka表示实数k与向量a ka表示为k×a或者k·a ka表示ak ka表示ka 1

2

如图矩形ABCD中EMFN是ABDC的三等分点设AB a, 试用向量abAEADAEDA六、小

A.k个a连加,结果是k B.当k>0时,ka和a同方C.当k>0时,|ka|=k|a D.ka和a平行,且方向相下列向量和a方向不同的 ( B.2

C.(3-) D.(-3)a+a a,它和a方 33 a和a方 ”, a的长度等于|a| 33ABCD中,AB∥CD,BC∥ADECDAB表示CEDE是△ABC的中位线,D、EAB、ACEDBC为a3a和12DF方向相同且长度相等的向量。22已知:非零向量a3a2a1a

1

23 7 11

,求作

a2

a

a,(4) a21:观察、比较(1)与(3),(2)与(4)m

(m

mana2、如图,已经知非零向量a、b 等式3(ab3a3b设实数k

3:若实数k0,那么等式k(ab)kakb归纳:一般地,对于任意实数k和非零向量a、bk(ab)kakb4:2(3a=?

归纳:任意的非零实数mn和非零向量a,总有m(na)设mnm(na)(mn)a(mn)amama m(abmanb.3计算3 3

a(a b) (3)(ab3c)2(a3bc)

1

1 3 2

3(a

b2c)8(a

b)6 2abx满足关系式3(ab)5(bxabx

1

(1)、5(a2

;(2)、(a2b) 2

;(3)、(a2bc2a3c (2(3a)

2(ab)2a

(23)a2a

3a2b5(ab) (A.0aB.2a-2aC.0(ab) D.a0=0a=3.2(4.2a-3a3a-)a=12a2a2b)(a2a2b)(ab)5.计算: 26.2(ab)ax0,x7(3a2bc2(2ab8a,3a12单位向量的意义,知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系.1(1)AE

ma

a,

bBFAE答:(1)若m是正数,则a与bba;若m是负数,则a与bba;(2)BFAE.BF=m段长度问题,这是一种新思路.1 2梯形ABCD中,AD∥BC,EFaBC=3,设AD,能将向量BC,EF用a表示出来吗 a 2:已知a是一个非零向量,如果ba,那么b能用a如果向量b与非零向量a平行,那么存在唯一的实数m使b

mab ,关于m的符号,由b和a同向还是反向来确ee

对于任意非零向量a,与它同方向的单位向量记作a0 1aaa0,a0a10e和0 3如果ab2cab3c,那么ab 1、设向量ab且2(ab)ab,试判断向量ab 1 2、已知a5cb3

c,试判断向量abEF EF化简:EAAD ,EBBCEAADDFEBBC 六、小 a和ma是平行向 B.若a=mb,则a和b是平行向C.若a=mb,则|a|=|m|b D.若a=mb,则a和b所在直线平 如果a和b平行,那么a如果a和b平行,那么a如果|a|=|m|b|,那么a和b如果a和b平行,那么a一定是b的某实数倍e是单位向量,则与e3的向量ae是单位向量,则与e1的向量a2已知3AB=2BC,则AB和BC方 ,且AB 已知ab3c,abc,则a= ,b= ,a和b的位置关系是已知2a3b7cabcab如图,D、E、F是△ABCDBEC1已知两个不平行的向量aa 讨论已知两个不平行的向量aa求作:(ab2

a2b).(如何作图bb性运算.如3a2ba2b、3(a5b)等,都是向量的线性运算.如果abx、yxayb叫做ab线性组合.如abOE3a2bOE可由aCC3M是△CABAB的组合表示向量CM 书本P49六与小如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,则下列有关向量和的等式中,正确的 ()A.BA+BC= B.BA+BC= C.BA+AD= D.BA+AD=如上图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,则下列有关向量差的等式中,正确 ()A.BA-BC= B.BA-BC= C.BA-BD= D.BA-BD=化简:3(ab+2(a1b2(2

ab)-(4

a-3b21ABCD中,AC、BDO2

BA+2

BCABCD中,AC、BDO2

BA-2

BCa2ba已知平面内两个不平行的向量,求作(ab)+2(ba想ZOZ能用ab的线性组合表示OZbaa根据向量加法的意义,ab所得的和向量是向量a与bab是两个不平行的向量,cmanb(m、n是实数就是向量ma与nb的合成.用ab的线性组合表示向量c向量c分解,这时,向量ma与nbc分别在ab.manb是向量c关于ab例题4ABCDEFABAE=EF=FB,直线PQ与ABEG、FH、BC于点O、M、Q.设OMa,OGb试用abOC、OD、OA、OB、OQ.DGDGHPO

ab方向上的分向量是2a

a,的分解式是2ab给定两个不平行的向量ab.,对于平面内任意一个向量c,都可以确定它关于ab的分解式吗?NNCBM OOAa,OBb,OCcOA、OB设点COA和OBCOA、OB线,由于向量abOB、OAN、M.作向量OM、ON.因为OMa,所以存在唯一的实数x,使OMxa因为ON//b,所以存在唯一的实数y,使ON 是平行四边形,因此OCOMONxa cxaC在直线OAOBca或cbcxaxa 或cyb0a所以c关于a、b p、(1)B (2 图例题6 点,射线AM与BC相交于点E.设ABa,ADb,分别求向量AM、ANAE关于abEEDMCN ABCDADb分别求向量MN、BN关于a、b N ABCDACBD相交于点OOA OBb,分别求向量OC、ODAB、BC关于a、b a和b,那么对于平面内任意一个向量ca和ba和bca和ba和bca和b的a和ba或b的向量cab已知c=2a-3babcab C.2aa,3b D.2a,-3b在△ABCBAaCBb,a、b的线性组合表示CAABCDBAaBCb,用a、bDBABCDBAaBC=ba、bACABCDBAaBCba、bAD是a分别在OA、OBABCD中,AC、BDOABaADbBO和bD D 如图:Rt△ABC与∠C=∠DC’A=90°,∠A=α,BC

C'

如何,∠Aa、b、c.的对边与邻边的比叫做∠A

AA的邻边在Rt△ABCC=90AA的余切.记作cotA.

AA的1.Rt⊿ABC,∠C=900,AC=3,BC=2,tanAtanB解:在Rt⊿ABC中 ∴tanA=BC

AC3 2.在Rt⊿ABCC=900,BC=4,AB=5cotAcotB解:在Rt⊿ABC ABAB2BC

3 52∴cotA=AC52 cotB=BC4 则有tanA·cotA=1

cot1cotA如图,在直角△ABC,∠C=90o,若 则 23

4A.13

D.六、与小何,∠A(邻边与对边)的比是一个固定值.ABCDAC=10cm,BD=6cm,

A (535335

5

已知锐角,且tan=cot37°,则等 ( 如图,在Rt△OPQ中,∠P=90°,∠Q的邻边 ,∠Q的对边 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,AC=5,BC=12,那么12 A(用正切或余切5示在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=20cm,那么 在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,那么 Rt△ABC,∠C=90°,BC=4,AB=5,cotB20cm,30cm, B'C'B'B 的大小如何,∠Aa、b、c.3Rt△ABCC=90°,我们把锐角AA正弦.记作sinA.

AaA的斜边的余弦.cosA.

AbA的斜边例题1(1)如图,在 sinB,cosB的值.AB2BC解:AB2BC63 ,6366

3636

33

=21221236cosB=BC36

212212(2)在Rt△ABC∠C=90°,BC=6,sinA=3cosAtanB5 . .2.P(3,4).求OPxPxQ,Y4P3Y4P321Q0 3232OQ2OQ2∴tan=PQ4

sin=PQ

X45cos=OQ3 从定义可以看出sinA与cosAsinB与cosA呢?满足这种关系的A与B又是什么关系呢?利用定义及勾股定理你还能发现sinA与cosA的关系吗?再试试看tanA与sinA和cosA存在特殊关系吗?若AB90,那么sinA=cosB或sinB=cosAsin2Acos2A1tanAsinAcos 中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则有() 的值为( 3、如图:P是∠的边OA点的坐标为(3,4),则sin 六、与小Rt△ABC5

A各个三角函数 (5

函数值都不 C.都扩大5 在△ABC中,已知∠C=90°,sinB=3,则cosA的值 (5A.4

B.3

C.5

D.5Rt△ABC,∠C=90°,a=1,c=4,在△ABC,∠C=90°,BC=5,AB=13,在△ABC,∠C=90°,AB=15,sinA=1,3(3,4, ,cosRt△ABC,∠C=90°,tanA=4,BC=8,3ABC24cm²,AB6cm,∠ARt△ABC,∠C=90°,cosA=3,AC=6cm,BC5能推导并熟记能推导并熟记3045°6030°45°、 22 22解(1)原式=()2 )2 111 (2)=1212

(cos60tan30)28(sin453tan28(sin45

3cos30tan452sin230sin45cos230tan60cot60cot已知∠A是锐角,且 3,那么∠A等 (2 3若tan(+10°) ,则锐角的度数 (3 在Rt△ABC中,∠C=90°,若 2,则2在△ABC,∠C=90°,sinA=1,23232

已知cos(90°-)=1,则2

33⑶1

-3cos²30°+tan45?-sin sin^

已知为锐角,且式 1

无意义,sin(+15°)+cos(-22ac

,cosA=sinB=c

tanA=cotB=,cotA=tanB=bab1在Rt△ABC∠C=900,∠B=380,a=8,求这个直角三角形的其在本题中已知边是已知角的邻边,所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.c

cos

=

a2在Rt△ABCC=900,c=7.34,a=5.28,解这个直角三角形.解:在Rt△ABC7.3427.342c2c2a2

∵sinA=a5.28 [Rt△ABC例题3如图,东西两台A、B相距2000米,同时发现敌舰C,∠CAB=90°-∠CAD=50AC

C(1)a=4,b=8,c.(c45(2)b=10,∠B=60°,求a3

3,c 3(3)c=20,∠A=60°,求a 3,b若∠A是锐角,且cosA=sinA,则∠A的度数 ( ABC中,∠C=90°,∠A=30°,1,(

3723723

33

223434436cm8cm,Rt△ABC,∠C=90°,sinA=4,AB=10,5在△ABC中,∠C=90°,若b=6,∠B=30°,则 在△ABC中,∠C=90°,若c=7,∠A=30°,则 在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,a=4.2,则b≈ 2已知△ABC,∠C=90°,根据下列条件,求出△ABC266

2在△ABC,∠C=90°,a=2

,b=

,求∠A、∠Bc

2.2.

26261ABCAB=AC,∠A=45°,BC=6,求它的腰长解:在△ABC∠B=

1(1800-2=1(1800-2过点AAD⊥BC∵∴BD=1BC=1 在Rt△ABD33

cos

cos

AB=AC=5,BC=6,求它的顶角和BBD⊥AC,垂足为在Rt△ABDsinA=BD∴S△ABC=1AC·BD=1 例题 如图,在⊿ABC中,3C3

32

,求 1、33已知在直角梯形ABCD中上底CD=4,下底AB=10,非直角腰BC=4 3环境。已知这种草皮每平方米a元,则这种草皮至少要 ()0a B.225a C.150a D.300a6如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C=120°,AB=8,则CD的长 (6 3

C.C.22 在△ABC,∠ACB=90°,cosA=3,AB=8cm,则△ABC3距4米,则原旗杆高为 在△ABC中,∠C=90°,当a=5时,S△ABC=12.5,则 6cm16cm,13cm, 照到阳光假设某地冬天正午时刻光线与地面的最小夹角为35°朝向的楼后一幢楼居民的采光?(11cm,2cm,5

在测量时,在视线与水平线所成的角

线在仰角和俯角这两个概念中,必须 0.1).分析结合图形已知旗杆与地面是垂直的,从DDE∥AB,交BC在Rt△DCE,tan∠CDE=CECE=DE·tan∠CDE=10·tan52°≈12.80(米).BC=BE+CE≈1.5+12.80≈14.3(米).答:旗杆BC14.32CD1AAE∥CD,交BCAE=CD=40BAE=32在Rt△ABE,tan∠BAE=BE在Rt△ACE,tan∠CAE=CEα角仪高为1.5米,那么旗杆的高为 .AC一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°,则塔 AC CACA部D,俯角分别为30°和45°,求建筑物CD 如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两 楼,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α A=60°.已知甲楼的高AB=24米,则乙楼的高CD A如图,AB和CD36

(5题图BC30AB的仰角为的高 (A.30tan米

30sin D.30sin60AB60°角1.5CD上,三角板的斜边与旗杆的定顶点在同一直线D、B5AB的高度约为多少米?(1米,33,如图,物华离家60米从自家的窗中眺望,测得顶部仰角,45°,而底部的俯角是37°,求该的高度(结果精确到45CD的高(1米)题艘船在C处且测得小岛B在船的方向.小岛

北 B解:根据题意,可 在Rt△ABC,cos∠CAB=AC

= 例题2如图,为了测量河宽,在河的 在△ABC中,测得∠C=62B=49°,BC=33.5米,求河宽(精确到 米解:过点A作AD⊥BC,垂足为点D,河 就是AD的长.在Rt△ABD,cotB=BD因为所以AD·cot49°+则

cot490cot

建一个监测点,道路的AB段为监测区.在△ABC中,已知∠A=45°,∠B=30°,车辆通过AB0.1向的N由于过度采伐森林和破坏植被我国许多地区频频沙尘暴的30°BF 通过计算说明A 计算A一个人从A点出发,向北偏东60°方向走了一段距离到达B点,再从B点出发,向南偏东15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数为 () 8:50A60°方向距(0.1海里/时3CP的距离(答案可带根号)3

1)3K30BK15K3AB的距离(

2、掌握坡度的意义,注意坡度iL1:mi=1∶1.5.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i与坡角αi=hL1大楼前残疾人通道是斜坡,1求i?根据题意,可知AB=3.2,BC=0.4在Rt△ABCABAB2BC∴i=BC

3.223.22

∴tanA=BC

图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度,使用着2坡ABi=1:1.6.B2CB2C B、CBE⊥AD、CF⊥AD,E、F.根据题在Rt△ABE∵BE

1

1有一段防洪大堤,其横断面为梯ABCD,ABCD,斜坡AD的坡度大堤顶宽DC6力,现将大堤加高,加高部分的横断DCFE,EF∥DC,点E、FAD、BC(如图).当EF3.8 于6米,背水坡AB的坡度i=1:2,则斜坡AB的长 米(精确到0.1米.架,小山的斜坡的坡度i=1:,斜坡BD的长是50米,在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°,在山坡的坡项 D处测得铁架顶端A的仰角为60°. 测得某坡面垂直高度为2米,水平宽度为4米,则该坡面的坡度 ( 2

AB倾斜角是

3,那么 3沿倾斜角为100米,则他上升的高度是上相邻两树间的坡面距离是米(保留根号)三、想100410605.8(0.1米0.1米)1如图所示的工件叫做燕尾槽,它的横断面是一个等腰梯形,∠B1,)?解:BE=1(BC—2在Rt△ABE

2∵tanA=AE=70 ∴∠B≈490242成的角为400.求小球在最置和最低位置时的高度差(精确到0.1厘EEHOGH.小球在最置和最低位置时的高度差就是GH∠EOH=12在Rt△EOH

OH例题3如图,想测量塔CD的高度.塔在围墙内,只能在围墙2902550B角为61042,(点A、B、C在一直线上),能测得塔的高度吗(的0.1CD=x,在Rt△ADC∵cotA=AC∴AC=CD·cotA=在Rt△BDCcot∠DBCBC cot29025cot

40.51、BC(1mm).DD27CD=5m,∠CAD=60AD、AC面20米(即BC为20米,则塔身AB的高为 ()3A.60 B. C.40 D.203如图,燕尾槽的横断面试等腰梯形,其中AD=18cm,燕尾槽的深度是8cm,燕B4

BC(0.1米 高度(0.1米)BC45CD是多少米?(0.1米)x,yyx20 x是 ,a是 ,b是 ,c是 注:函数y=ax²+bx+c,当a、b、c满足什么条件时,(1)它是二次函数? (1)y (4)y2x23x(5)y=x (6)yx32x2

(7)yx2x

(8)y(x3)2归纳:①函数表达式右边的各项 ③所缺项的系数看 2:(1)ym2)xmm4xm 例3.已知y(m2m)x2mxm1,⑴若y是x的一次函数,求m的值 ⑵若y是x的二次函数,求m的取值范围(1)1(3)y=(m+1)xm2m-3x+1是二次函数,则m的值 1

B.y=3

2 则当t=4秒时,该物体所经过的路程为( 6y=x²+px+q,x=14,x=25,求这个二次函数的六、与小a、b、c是常数,y=ax²+bx+c是二次函数的条件 ( C.a≠0或 2下列函数中,不是二次函数的 (2 B.y=9-(3- C.x

二次函数的一般式 ,它的定义域关于x、y的关系式by=ax²+bx+c,当a=0且b≠0时,关系式变成 当 y=(k-1)x²+kx+5k的取值范围是14xyxy=24时,xy=(m-1)x²+x+m²-1,x=00mx=-时,y

难点:二次函数y=ax21,2b=0,c=0。②③x…0123………描点,并连 二次函数y=x2是一条曲线,把这条曲线叫 二次函数y=x2中,二次函数a= x2的图象开口

自变量x的取值范围 .y值相等,所描出的各对应点关于对称,从而图象关于 对称.抛物线y=x2与它的对称轴的交点(,)叫做抛物线y=x2的 )例 1 2

xy=x,y=2xx…01234…y1=2……x…012………1 2

对称轴是 ;顶点是抛物线的最 ()2:2

x2,y=-2x2系数 0,顶点都是 ,对称轴 或“低). 1 21y=-x2

xy=-2xx…0123………x…01234…y=1—2……x…01234………图象(草图轴当 时,y 当 时,y 抛物线y=x2与y=-x2关于 对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于 ;当a<0时,|a|越大,抛物线的开 ;因此,|a|越大,抛物线的开口越 =3当x= 时,y有最 (1,-2, 二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则 y=ax2y=bx2③y=cx2④比较a、b、c、d的大小,用“>”连接 函数

对称轴 ,当 时,有 二次函数y=mxm22有最低点,则 二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围 六、与小下列说法中,正确的结论 (y=ax²(a≠0)xx<0y=5x²x () B. D. ,顶点1, ,函数解析式5当 时,二次函数y=的图像开口向y=7x²的图像的顶点是 点(填“高”或“低,函数y=-1x²的图像顶5 xOyy=2x²y=1x²32

1),a2y=kx(k>0)y=ax²相交于两点,说明这两点的

y=ax2cy=ax2cy=ax2cy=ax2+c函数yax2的顶点 y2xy2x1yx2yx21yx2yx21yx21x…0123……………可以发现,把抛物线y=x2向 物线y=x2向 得到抛物线y=x2-1.抛物线y=x2,y=x2-1与y=x2+1的形状 抛物线y=x2-1向 线y=x2+1有最高(低)归纳:1有最高(低点a>0时当 y a<0时当 y =2x2向上平移3个单位,就得到抛物线 .因此,把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线 把抛物线y=ax2向下平移k(k>0)个单位就得到抛物线 次函数y=ax2与y=ax2+k的形状 例:1抛物线 1x2-2可由抛物线 1x2+3 平 (0,2, 抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标 ,与x轴的交点坐标 1抛物线y1x23的开 ,对称轴 ,顶点坐标 ,它可以看做3抛物线y1x2 平 个单位得到的.当 时,函数值y随x的增大而减小3当 时,函数值y随x的增大而增大;当 将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式 (0,-3, 抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式 y=ax2+ky=ax2 ( y=kx²+k(k<0)y=-kx+2k(k<0)(抛物线y=ax²+c的对称轴是直 ,顶点坐标y=4x²+3的图像 ,此图像开口 ,函数有 值抛物线y=x²-a与x轴对称的二次函数 ,这个新的二次函数的顶点坐标(0,93,0y=-x²+bQ(-1,3),by=1-2x²y=3是否相交?如果相交。求出交点坐标;如果不

y=a(x+m)2y=a(x+m)2的性质y=a(x+m)2的图像总结出有关性质.y=a(x+m)2的图像性质的应用.函数yax2k的顶点 a<0时,开口 。当k 0,函数yax2k的图像可以由函数yax2的图像向平移得到;当k 0,函数yax2k的图像可以由函数yax2的图像向 猜想函数y 2的图像是否可以由函数y1x2的图像通过平移得到吗2

1

21(x-1)2 x…x…01234…y=1……y=1……y=1y=1

(x+1)2

②把抛物线 1x2 平 1(x+1)2 归纳:1

x2 平 个单位,就得到抛物线

2(x+1)22y=a(x- 不同3把抛物线yax2向左平移m(m>0)个单位就得到抛物 把抛物线y =2y=-5y=3抛物线y=4(x-2)2与y轴的交点坐标 ,与x轴的交点坐标 把抛物线y=3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为 把抛物线y=3x2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为 将抛物线

(x-1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式 (50 3 抛物线y3x2向 个单位得到的。当x 时,函数值y随x的增大而减小;当x 时,函数值y随x的增大而增大。当x= 抛物线y=m(x+n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y=-4(x-4)2,则 (1,-4, y=y=ax-m)2y=ax2xOy3个二次函数:y=1(x-4)²,y

(x-

4)²,它们图像的共同特征 ( ( B.在x轴的正半轴 D.在x轴的负半轴上函数y=-1(x+5)²的图像开 ,对称轴是直2函数y=a(x+k)²,当a>0,x=-k时,函数有 值,图像顶点坐标抛物线y=1x²的图像 平 个单位长度,得到y=1(x- (20xOy⑴y=-x²+1和y=-x²- ⑵y=(x+2)²合y=(x-5,03y=ax2y=a(x+m)2+ky=ax2y=ax2平移的一般方法.1ya(xh)22、函数y1x2的图像 个单位得到函数y1x21的图像, 平 单位得到函数y1x2的图像,那么,将函 12如何平移,就能得到函y

2

y 2(2 解:x…012…y=1……

1

x2 平

图象归y=1

y=a(x-y=a2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形 3、抛物线y=ax2先向上平移|k|(k>0)个单位,再向右平移|h|(h>0)个单位可得抛物 1y=-4(对称轴左侧y=6x2+3与y=6 相同, (-2,3,

1 1 1 1二次函数y=(x-1)2+2的最小值 将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析 若抛物线y=ax2+ky=-2x=1时,y=-3,求a、k(35 y=2y=-2.抛物线y=-3y=2y=-

固练.3守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化这一过程可近似地用下列哪幅图表. 将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式 一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线 (六、与小若二次函数y=a(x+m)²+k的顶点在第四象限内,那么m、k的符号 ( B. C. D.y=1x²236所对应的抛物线 (A.y=1 B.y=1(x-3)²- C.y=1(x+3)²- D.y=1(x- 抛物线y=2(x-1)²+3的开 ,对称轴抛物线y=-3(x+2)²-1的顶点坐标 ,图像的 点是它的顶抛物线y=1x²的图像向上平 个单位,得到y= (x-如果函数y=a(a+m)²+k(a>0)有最小值k,那么点(-m,k)一定在对称轴直线 my=(x+m)²+7+mx=-1,求出这个函数解2y轴的交点坐标y=a(x+m)2+ky=a(x+m)2+ky=a(x+m)2+k 的图像 的图像,沿x轴向右平移2个单位,沿y轴向下平移3个单位,得到y=6(x-3)2+5的图像.把二次函数y=6(x-3)2+5的图像,沿x 平 个单位,再沿y轴 平 的图像yy1

y2xy2x y2x1抛物线的y2x2顶点坐标 抛物线y2x12向右平移1个单位后,顶点坐标是 抛物线y2x121的顶点坐标是 yy y2x问题2将抛物 通 平 单位,得到抛物 的图像, yy2x1平 的图像例题1已知抛物 y2x例题1已知抛物 (1)它的开口方向、对称轴和顶点坐标(2)xOy中画出这条抛物线yy2x1 的表达式中a=2>0,m=-1,k=-(2)x…0123…y2x12…7117…y2x2的关y2(x1)21的对称轴和x所取的值应包括m,其他的值成对出现且每一对值的平均数是m.例题 在平面直角坐标系xOy中画出二次y1x22 的图像例题3 已知抛物线y3x2,将这条抛物线平移,当它的顶点移到点M(2,4)的位置时,所得y=(x-1)2+3y=-2(x+3)2-5yyxbx y抛物 cxOyy=3(x-2)²-

1(x-2)²-1,y=(x-2)²-13同特征 (A图像的开口方向相 B.图像的形状相 函数y=(x+a)²+b中,如果0<a<b,则函数图像的顶点 ( 抛物线y=(a+m)²-m+3的对称轴是直线x=2,那么它的开口 二次函数y=(x+m)²-m-3的对称轴是直线x=-2,那么它的最小值是 平移1个单位,再 得y=-(x+2)²+3的对称轴和顶点坐标是直线 y=(x-2)²+3²2y=a(x+m)²+k8y=a(x+m)²+ky=2x²怎么样运动(平移、旋转等)y=ax2+bx+c化成y=a(x+m)2+k的形式,从而确定开口方向、对称轴y=ax2+bx+c用配方法把二次函 化 的形式yax2bx ya(xm)用配方法把二次函 化 的形式特别注意在对ax2bxc进行配方时,不要与解一元二次方程时所用的配方法 y1(x6)2函

的图像

y1x26x2

问题1 把二次函数y=x2的图像向右平移2个单位,得到二次函数 平移1个单位,得到二次函数 问题2 把二次函数y=(x-2)2+1化为一般式是 ,把二次函数y=x2-4x+5通过配方yyaxbx a (其中a、b、c是常数, ,yya(xm)法,把它的解析式化 的形式yya(xm)例题 的形式

y2x24x

y1x22x 解

x

4x2x

2x11 在yax2bxc中,当a1时,配方法与解一元二次方程中的配方相同.但是,当a1时,二次函数的配方法中必须先提取公因式a,而不像解一元二次方程中是先用a除等式两边各项.例题2

yx2xx

1 2 a1 m1 k1 x

∴抛物线开口向上,对称轴是直 2,顶点坐标为(2,4y1x23x51x32

1

y1x3x23x 6 yax2bxcya(xm)2k例题 二次函数yx24x3的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出这个函数的图像yx24x3x22二次函数yax2bxc的图像画法,一般分为三步:第一是利用配方把二次函数yax2bxcya(xm)2k1、抛物线y2x23x4的开 ,对称轴 ,当时,函数值y随x的增大而减小;当 时,函数值y随x的增大而增大。当时,函数有 2.y1x26x212 和配方法求二次函数

x2-2x-11.这节课你学会了什么?通过配方把解析式为

yax2bx的二次函数转化成y的二次函数转化成ya(xm) yaxbx 二次函数y=ax²+bx+c的对称轴位置 (A.只与a有 B.与a、b有 C.与a、c有 D.与a、b、c都有图像的顶点坐标与y=x²+2x+1图像的顶点坐标相同,那么应满足条 (A. B.b=- C.b=2a且 D.二次函数y=-2x²+4x-3中 y=x²-8x+mxm抛物线y=-x²+6x-10图像的对称轴 ,顶点坐标 ,开口方y=2x²+8x+5图像的顶点为中心的重心堆成图形,其函数解析式是y=a(x+m)²+k⑴y=6+4x- ⑵y=2x²-4x-2.用配方法把二次函数y=1x²-2x+3化成y=a(x+m)²+k的形 y=1x²-

26.3(4)ya(xm)2+kyax2bxcya(xm)2+k的形式,从而确定开口方向、对ya(xm)2+kya(xm)2+k图像的研究,总结出二次函数的有关性质我们已经发现,二次函数y2(x3)21的图像,可以由函数y2x2的图像先向平移y2(x3)21的开口,对称轴是,顶点坐标是yx23x

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