求数列通项公式的11种方法

精心整理求数列通项式的11方法方法总述：．利用递推系式求列通项的11种方法：累加法累乘法待定系法、阶差法逐差法迭代法对数变法、倒数变法、换元法目的是去递关系式出现的根号数学归法（少用）不动点（递推式是个数列项的分式表式、特征根二．四基本数列：差数列等比数列、和数列等积数列及广义形。等差数列等比数的求通项公的方法：累加和累，这二方法是求数通项公的最基本方。三．求列通项的方的基本路是：把所数列通变形，代换化为等差数列或等数列。四．求列通项的基方法是累加法和累法。五．数的本质是一函数，定义域是自数集的个函数。一、累法1．用于：a

(n)----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．a

)(n，则

a21a3a

n

f()n两边分别相加得

a

f()例1已知数{}满a

n

an，求数{}的通项公式。n1n精心整理

3n精心整理3n解：

an得

n所以数{}的通项公式

。例2已知数{}满

n

an

n

a，求数{}的通项公式。1n解法一：a

a

则a(an

n

)

n

n

)

)a)a322(2

(22(22(3

n

n

2

1

)

3(1n1

)

n33

nn

所a

解法二a

两边除

，得

nn，n3a2则n，故n331(1na2(n2因此n3322211ann32

，练习1.知数列

的首项为1，且

a

n

an(Nn

*

)

写出数列

的通项公式.案：n

练习.知数列

{}

满足

a

，

an

n

1(n2)n(n

，求此数列的通项公答案：裂项求和

精心整理

nn{a}nnn,类型(有nn{a}nnn,类型(有n得1评注：已知

a1

,

n

f(nn

，其中f(n)可以是关于的一函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n

.①若是关于的一次函，累加后可转化为等差数列求和;②若是关于的二次函，累加后可分组求和;③若是关于的指数函，累加后可转化为等比数列求和;④若是关于的分式函，累加后可裂项求和。例3.已知数列

{}

中,

a

且

1n(2an

,数列

的通项公式.解:由已知

n

1n()2an

得

n

1n(S)2nn

,化简有

S22n

2

,又

Saa1

,以

2

(n

,

a

nn

,,则

nn2(n此题也可以用数学归纳法来求解.二、累法1.用于：

(n)----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。aaa2．若(n，则2f(1)，f(2)，aa2an两边分别相乘得，a(k)a1k

a，f()an例4已知数{}满a精心整理

n

1)5，a，求{}通项公式。n

n1*精心整理n1*解：因

n

1)5

a，，所以a0，则a

，故aan

a32a[2(n

nn

]

][2(1

]n[(n(n

!

(n

所以数{}的通项公式为

n

(

例5.设是首项为1的项数列，且

na2ann（

=1，2，3，…它的通项公式是解：已知等式可化为：

(

n

)n

n

n

a

(

)(n+1)

n

,

nnnn

时，

aa

nn

aaaa

=

n1n2

=

.评注：本题是关于

和

的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到

与

的更为明显的关系式，从而求出

.练习.知

a

n

an1

,数列{an}的通项公式.a(n答案：-1.评注：题解题的关是把原的递推关系

n

n

转化为精心整理

1．形如n1．形如n得n,c1n

n

(n

若令

an

,问题进一步转化为

n

形式而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于

qaf(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列数列的本质是一个函数其定义域是自然数集的一个函数。cad(c0

,中

a

型（1）若c=1时，数列{（2）若d=0，数列{

}等差数列;}等比数列;（3）若

d

时，数{

}线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设

,(c

,题设nn

比较系数得(

,以

dc

,(c0)

所以有：

dda()c因此数列

a

d

构成以为首项，以为公比的等比数列，所以

an

dc

n

即：

da)c

.规律：将递推关系

n

cadn

化为

a

n

da)cc

,造成公比为

c的等比数列

d{}c

从而求得通项公式

dn()c逐项相减阶差法们从递推关系

n

can

中把n换有

an

n

d

,两式相减有

a

n

ann

n

从而化为公比为

c的等比数列

{

}

,进而求得通项公精心整理

，即{}p精心整理，即{}p式.

)2

,利用类型(即可求得通项公式我们看到此方法比较复杂例6知数{}中aaan

n

2)，求数

公式。解法一：

a2an

n

n又

，公比为等比数列1n

an

n

解法二：

n

n

n两式相减得

a

2)n

，故数列

n

n

2公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列n

中，

2,

1

求通项n

。答案：

)2．形如：

其中q是常数，且n0,1)①若时，即：

a

n

qn

n

，累加即可.②若时，即：

a

n

pn

n

，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以

n

.的是把所求数列构造成等差数列即：

nn

nn

p)q

n

,

b

ap

，则

b

1p)p

,后类型1，累加求通项ii.两边同除以

n

.的是把所求数列构造成等差数列。即：

aq

nn

pnqn

,精心整理

nnnnnk令

b

aq

,可化为

1

.后转化为类型5来解，iii.定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设

n

n

(an

n

)

.过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7知数列

{a}

满足

a

2a

，求数列

的通项公式。解法一（待定系数法设

an，比较系数得

1

2

，则数列

是首项为

a1

，公比为等比数列，所以

n

n

，即

a

解法二（两边同除以

n

两边同时除以

得：

，下面解法略解法三（两边同除以

p

两边同时除以

n

得：

nn

3n)n3

n

，下面解法略练习.2003天津理）设

为常数，且

an

n

(N)

．证明对任意

≥1

，[3

]a

；3．形如

n

knn

其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为

(yp(a

xny)

;解题基本步骤：1、确定精心整理

f)

时，nnn{}12时，nnn{}12n2、设等比列

yn

，公比为p3、列出关式

a)(n

n

xy

,

pb

4、比较系求

x,y5、解得数

(xny

的通项公式6、解得数

的通项公式例8在数列

{}

中，

aa1

n

ann

求通项

.逐项相减法）解：，

a

,

①

n2

n

，两式相减得

a

aan

)

.

,

bb

2利用类型5的方法知

bn

即

②再由累加法可得

5a2

.可联立①②解出

51a2

.例9.在数列n中，

,2annn

,通项n.（待系数法）解：原递推式可化为

2(an

n

x(比较系数可得：上式即为

2bn

n所以n是一个等比数列，首项

bn

92

1,比为.

9b)2

n即：精心整理

)

n0，得精心整n0，得故

nn

.4．形如

a

n

n

其中a,b,c是常数，且)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例知数{}满足

a

，求数{}的通项公式。解：设

a

n

(n2(n)n比较系数得y10,z，所以

n

3(2

nn

2

n由

32ann1则

3(2nnn

，故数列

{n2

为以1

31

为首项，以

2为公比的等比列，因此nn

n

，则

nnn

。5.如a

pa

qa时将a作为f)求解n分析：原推式可化为a

n

n

pa

n

)的形式，比系数可求得列nn

a数列。n例已知数列

{}

满足

a

n

a

n

an2

，求数列

{}

的通项公式。解：设

n

n

(5

n

)n比较系数得

或

，不妨取

取-3结果形式可能不同，但本质相同）则

a

a

3(

a)

，则

n

n

是首项为4公比为3的等比数列精心整理

,满足nnnn222122n,满足nnnn222122nnnnnnnnnan

an

，所以

n

n练习.列

{}

中，若

aa2

an

,

.答案：

.四、迭法

n

rn

其中

p,r为数型例知数列

{}

满足

n

3(nn

，1

，求数列

{}

的通项公式。解：因为

3(n

，所以又

a

，所以数列

{a}

(a3的通项公式为。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.（江卷）已知数列

{的各都是且满足n

a0

n

1(4),N2

，（1）证明

a

;

（2）求数列

{a}

的通项公式解1）略2）

1(4[24],

所以

2(2)nn

211111b(b))bb222

又=－1，所以

1b)2,即22)22

.方法2：题用归纳-猜想证明，也很简捷，请试一试解法：设c

，则c

,化为上面类型（）来解精心整理

aalog1aalog1则n1b112n1an五、对变换法适用

pa

r

其中

p,r为数)型p>0，n

0例14.设项数列

满足1，

2an

n

（n≥2）.数列的通项公式解两边取对数得：，

n

1)

设

bn

a2

n

1

b2

n是以2为公比的等比数列，n，2，2

n1

，∴

a2

2

n

练习数列n中，

a1

a，

n

（n≥2数列的通项公式答案：

n

2

例知数{}满a

n

n

5n

，求数{}的通项公式。解：因

n

2n5a所，an

。两边取常用对数

n

alg3lg2na

n

(5(lga)n

（同类型四）比较系数得，x

lg,ylga1

lg3lglg3lg2lg3lg2lg7lgn，4164416416所以数{lgan

lg3lg3lgn}lg44

lg3lg2为首项，以5为公比的等比数列，则4lgn

lg3lglgn)5n因此416164精心整理

nnn精心整理nnnlg323lglga(lg7464

nlg(3

)

)

lg(3

)

n

n

)则

5n

5

。六、倒变换法适用分式关的递推公式分子只一项2a例知数{}满a，求数{}的通项公式。a解：求倒数得

1111,等差数列，首项a2aa2aannnn

1a

1，公差为，2112(naan七、换法适用于含式的递关系例知数{}满an

116

1，a，求数{}的通项公式。n解：b124a，n

(n

代an

116

aa)得nnb2

因b24，

3b，可化bn精心整理

，

nnnnnnn精心整理nnnnnnn所以{3}是以b24a124为首项，以

为公比的等比数列，因此11b)n)，)n，即a)n，得222111())。43八、数归纳法通过项和递关系式求出列的前n项，猜出数列通项公，再用数学纳法加以明。例知数{}满an

8(n8，，求数{}的通项公式。nn29解：a

8(n(2n(2n

8a，得9由此可猜an

nn2

，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）n时a1

(22，所以等式成立。(29（2）假设时等式成立，a由此可知，n时等式也成立。

，则n，根据（1可知，等式对任nN九、阶法（逐项相法）1、推公式既有，又有a

*

都成立。分析：把已知关系通a

SnS,n

转化为数的递推关系，然后采用相应的方法求解。例知数{}的各项均为正数且前n项满(a成等比数n249列，求数{}的通项公式。解：∵对任精心整理

有(⑴

6n222精心整理6n2221∴当n=1时(a，解a111当n≥2时，

S

n

(2)n

⑵⑴⑵整理得：

(a3)nnn{}各项均为正数，∴

nna时a，此

成立a，此a不成立，a舍去n9所练习。知数{a},(

,求数{}的通项公式答案：

S

a

(2a

22、无穷递数列例知数{}满aaa13

a，{a}的通项公式。n解：因aaan13

na(n

①所a

n

a1

n

n

n

②用②式－①式

nan

ana(nnn2)aaa所anaann

a3na2

n!2

③aaan13代入③an精心整理

na(，取n2得aaa又aa，n221n!。2

2精心整理2所以{}的通项公式an

!

.十、不点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点定义函数()的定义为D若存f)使fx成立则称为f()0的不动或称(xf(x))为函数()的不动。0分析：由f(x)求出不动点，在递推公式两边同时减x，在变形求解。0类型一形如qa例知数{}中aaa

n

2)，求数

公式。解：递推关系是对应得递归函数为x，由()，不动点为-1

，……a类型二形如anc分析：递归函数为(x)

（1）若有两个相异的不动点时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得papnknann

，其中，∴

n

(aqpq)ppq)11(a)kn11）有两个相的不动点p则将归关系式两减去动点p然后用得a

12c，其。an例22.设{}满a2,a

42a

,求数{}的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解解：对等式两端同时加参数得：,

a

7ta54(25)a7tnt5)22nnt,解之得t=1,-2代入t

(2t5)n

nn

得精心整理

1n1n4aan以1为首项，以为公比的等1n1n4aan以1为首项，以为公比的等比数列，故)，则1n答案：

n

nan

,

a

,相除得

ann3an

,即{

a1}是首项为，a41公比为的等比数列,=3a2

,解an

4n4n1

.方法2

a

，两边取倒数得

a

1

2a2(33(aa3an

，1令b，则ban

b,化为累加法来求.例知数{}满n

24n，a，求数{}的通项公式。4n解：令x

21x

，4

24x，x函数f(x)的两个不动点。x因为21ana4a2(4a13nnnaa21243(4a99annnn

。所以数列n是a4a49a9n

2(n

。练习1：已{}满足

aa2,(2an

，{}通

n精心整理

33

nn

*答案1）是以1为首项为公*答案1）是以1为首项为公比的等比数列）212练习。已知数{}满a

n

2(nN4n

*

)，求数{}的通

答案：

13n练习3.（2009西卷文）已知数列a}足，

1’

＝nn,2

*

.

nn

，证明：

{}

是等比数列；Ⅱ)求

}

的通项公式。2a()(N)33十一：特征方程法形npanqan(,是常数）的列（已1;

。形如

m,,a2

pa

qa(pq

是常数的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为

…①若①有二异

，则可令

n

2

c1

2

是待定常数）若①有二重则可令

a

)nn2

(,1

2

是待定常数）再利am可求cc，进而求1221

例知数{}满足

1

2,a2

n

n

a(n

*

)

，求数{}的通

解：其特征方程x

2

，解xx2，令2

n1

n

，由

c2c2

，得

，

例知数{}满足

4aa(N*)1nn

，求数{}的通a

解：其特征方程x

2

，解得x，n1

n

，精心整理

2所以．12所以．112由

a()21a)4

，得，an

2n练1已知列

{a}

满足

aa2,4a*)nn

，求数列

{}

的通项练2已知列

{a}

满足a12

n

4a

n

n*)n

，求数列

{}

的通项说明：若方x

px两不同的解则

a

ta(ta

)

,

a

(asa

)

,由等比数列性质可得

ta(ta)21

,

()t2

,t由上两式消

可得

n

taa2.sn1sts

t

n

.若方

px两相等的s，则a

ta

(

ta

)

ta

，a1s2

,差数列，由等差数列性质可知

as

a1s2

，saasa121.nss例数{}，且

a

a2a

254294

求数{}的通项。解a

a2a

252925a244292a44

……①

2925，解，将它们代回①得，精心整理

2nnnn2nnnnnnnf)aan

n2924

……②a

254

25a4292a4

……③，③÷②，得

4a

,则

lg

2525aa44a

，∴数列

25n

成等比数列，首项为1，公比q=2所